2.3.2 两点间的距离公式 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

2．3.2　两点间的距离公式
一、 单项选择题
1 (2023哈尔滨双城兆麟中学期中)设m∈R，过定点A的直线x＋my－m＝0和过定点B的直线mx－y－m＋3＝0交于点P，线段AB的中点为Q，则PQ的长为(　　)
A. B.
C. D. 与m的取值有关
2 在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分别为(0，4)，(3，3)，则点B的坐标可能是(　　)
A. (2，0)或(4，6) B. (2，0)或(6，4)
C. (4，6) D. (0，2)
3 对于平面直角坐标系内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义它们之间的一种“新距离”：||AB||＝|x2－x1|＋|y2－y1|. 给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则||AC||＋||CB||＝||AB||；②在△ABC中，若∠C＝90°，则||AC||2＋||CB||2＝||AB||2；③在△ABC上，||AC||＋||CB||>||AB||.其中的真命题为(　　)
A. ①③ B. ①② C. ① D. ③
4 若在直线y＝－2上有一点P，它到点A(－3，1)和点B(5，－1)的距离之和最小，则该最小值为(　　)
A. 2 B. 5 C. 4 D. 10
5 已知三角形的三个顶点A(2，4)，B(3，－6)，C(5，2)，则边BC上中线的长为(　　)
A. 2 B. C. 11 D. 3
6 (2023枣庄一中阶段练习)已知点A(4，1)，B(0，4)，直线l：3x－y－1＝0，点P在直线l上，则|PB－PA|的最大值为(　　)
A. B. 2 C. D. 2
二、 多项选择题
7 已知点A(－2，1)，B(3，－2)，C，D(1，6)，则下列结论中正确的是(　　)
A. AB∥CD B. AB⊥AD
C. AC＝BD D. AC⊥BD
8 著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点M(x，y)与N(a，b)的距离加以考虑．结合综上观点，对于函数f(x)＝|－|，则下列说法中正确的是(　　)
A. y＝f(x)的图象是轴对称图形
B. y＝f(x)的值域是[0，4]
C. y＝f(x)先减后增
D. 方程f(f(x))＝－有且仅有一个解
三、 填空题
9 (2024宜宾期末)过定点A的直线mx－y＋1＝0与过定点B的直线x＋my－3＝0交于点P，则PA2＋PB2＝________．
10 已知点A(－4，0)，B(0，－3)，点P(x，y)在线段AB(含端点)上移动，则的最小值为________．
11 函数y＝＋的最小值为________．
四、 解答题
12 (2023滁州中学阶段练习)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到原点P，光线QR经过△ABC的重心．
(1) 建立适当的坐标系，并求△ABC的重心G的坐标；
(2) 求点P的坐标；
(3) 求△PQR的周长．
13 (2023九江同文中学阶段练习)已知动点P到x轴的距离等于它到y轴的距离的2倍．
(1) 求动点P的轨迹C的方程，并说明轨迹C是什么图形；
(2) 若直线l与曲线C交于E，F两点，且A(2，1)是线段EF的中点，求直线l的方程．
【答案解析】
2．3.2　两点间的距离公式
1. A　因为直线x＋my－m＝0经过定点(0，1)，所以A(0，1).又直线mx－y－m＋3＝0可变形为m(x－1)－y＋3＝0，所以直线经过定点(1，3)，故B(1，3)，且两直线垂直，因此△ABP为直角三角形，又因为Q为AB的中点，所以PQ＝AB＝×＝.
2. A　设点B的坐标为(x，y)，直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC.由题意，得即解得或所以点B的坐标可能是(2，0)或(4，6).
3. C　对于①，若点C在线段AB上，设点C的坐标为(x0，y0)，则x0在x1，x2之间，y0在y1，y2之间，则||AC||＋||CB||＝|x0－x1|＋|y0－y1|＋|x2－x0|＋|y2－y0|＝|x2－x1|＋|y2－y1|＝||AB||成立，故①正确；对于②，在△ABC中，若∠C＝90°，则AC2＋CB2＝AB2是几何距离而非题目定义的“新距离”，所以②不正确；对于③，在△ABC中，||AC||＋||CB||＝|x0－x1|＋|y0－y1|＋|x2－x0|＋|y2－y0|≥|(x0－x1)＋(x2－x0)|＋|(y0－y1)＋(y2－y0)|＝|x2－x1|＋|y2－y1|＝||AB||.当x0－x1与x2－x0同号，且y0－y1与y2－y0同号时，等号成立，故③不一定成立．因此只有命题①成立．
4. C　点A(－3，1)关于直线y＝－2的对称点为A′(－3，－5).若直线y＝－2上有一点P，它到点A(－3，1)和点B(5，－1)的距离之和最小，则点P为直线A′B与直线y＝－2的交点，所以该最小值为A′B＝＝＝4.
5. A　设BC的中点为D(x，y)，由中点坐标公式，得即D(4，－2)，所以AD＝＝2.
6. C　如图，作出点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长交直线l于点P，此时点P使|PB－PA|取得最大值．根据点关于直线的对称图形特征，知PB＝PB′，此时|PB－PA|＝|PB′－PA|＝B′A，在直线l上另取点P1，连接P1A，P1B，P1B′，则P1B＝P1B′，|P1B－P1A|＝|P1B′－P1A|7. AB　kAB＝＝－，kCD＝＝－，kAD＝＝，kAC＝＝，kBD＝＝－4.因为kAB＝kCD＝－，所以AB∥CD，故A正确；因为kAB·kAD＝－×＝－1，所以AB⊥AD，故B正确；因为kAC·kBD＝×(－4)≠－1，所以AC与BD不垂直，故D错误；因为AC＝＝，BD＝＝2，所以AC≠BD，故C错误．故选AB.
8. ACD　f(x)＝|－|＝|－|，此函数即为x轴上的点P(x，0)到B(5，3)与A(1，3)两点距离之差的绝对值，故其图象关于直线x＝3轴对称，故A正确；当x＝3时，函数的最小值为0，当x趋近于＋∞时，函数值无限接近于4，其值域为[0，4)，故B错误；由f(x)＝|PA－PB|，得当x∈(3，＋∞)时，PA－PB随x的增大而增大，故当f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增，由A，得f(x)在区间(－∞，3)上单调递减，故C正确；当t＝0或t＝6时，f(t)＝－，而当f(x)＝0时，x＝3，当f(x)＝6时，x无解，所以方程f(f(x))＝－有且仅有一个解x＝3，故D正确．故选ACD.
9. 10　由题意，得y－1＝mx，则A(0，1).由－my＝x－3，则B(3，0).又当m＝0时，两直线垂直；当m≠0时，两直线斜率之积等于－1，所以直线mx－y＋1＝0和直线x＋my－3＝0垂直，则PA2＋PB2＝AB2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10.
10. 5　的几何意义为点P(x，y)与点C(4，0)间的距离，由图形可得B，C两点的距离最短，故所求最小值为＝5.
11. 　y＝＋＝＋，它表示x轴上的点P(x，0)到点A(0，2)和B(－3，－3)的距离之和. 连接AB，易知当点P为线段AB与x轴的交点时，y取得最小值，则ymin＝AB＝＝.
12. (1) 以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，
故△ABC的重心G的坐标为(，)，即点G的坐标为.
(2) 设P(a，0)，点P关于直线BC，AC的对称点分别设为P1，P2，则P2(－a，0)，设P1(x0，y0).
又直线BC的方程为x＋y－4＝0，
则解得即P1(4，4－a).
由光的反射原理可知P1，Q，R，P2共线，且光线QR经过△ABC的重心，
故＝，解得a＝或a＝0(舍去)，故点P的坐标为.
(3) 由(2)，得P1，P2.
由题意可知，PQ＝QP1，PR＝RP2，
故△PQR的周长PQ＋PR＋RQ＝QP1＋RP2＋RQ＝P1P2＝＝.
13. (1) 设点P(x，y)，则由题意知，|y|＝2|x|，
即y＝±2x，
所以动点P的轨迹C的方程为y＝±2x，它表示两条直线．
(2) 由(1)知，不妨设E(a，2a)，F(b，－2b)，如图所示，
则解得
所以E，F，
则kAE＝＝8，
所以直线l的方程为y－1＝8(x－2)，
即8x－y－15＝0.