2.3.3 点到直线的距离公式 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

2．3.3　点到直线的距离公式
一、 单项选择题
1 (2024北海期末)已知点A(－2，－1)，B(2，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为(　　)
A. －1或0 B. －
C. －1 D. 2
2 “C＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的(　　)
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
3 已知在梯形ABCD中，AB∥CD，点A(4，0)，B(6，6)，C(0，2)，则此梯形的高为(　　)
A. B.
C. D.
4 若直线l经过点(－1，－2)，且原点到直线l的距离为1，则直线l的方程为(　　)
A. 3x－4y－5＝0
B. x＝－1
C. 3x－4y－5＝0或y＝－1
D. 3x－4y－5＝0或x＝－1
5 (2023重庆西南大学附中期末)已知直线l1：mx－y－2m＋4＝0(m∈R)与直线l2：x＋my－2m－4＝0(m∈R)相交于点P，则点P到直线x＋y＝0的距离d的取值范围是(　　)
A. [2，4] B. [2，4)
C. (2，4] D. [2，3]
6 已知直线l：y＝k(x＋2)上存在两个不同点到原点距离等于1，则实数k的取值范围是(　　)
A. (－2，2) B. (－，)
C. (－1，1) D. (－，)
二、 多项选择题
7 (2023河南阶段练习)已知点A(1，3)，B(－5，1)到直线l的距离相等，则直线l的方程可以是(　　)
A. x－3y＋8＝0
B. 3x＋y＋4＝0
C. 3x－y＋6＝0
D. 2x＋y＋2＝0
8 定义点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，则下列命题中为假命题的是　(　　)
A. 若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行
B. 若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l平行
C. 若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D. 若d1d2<0，则直线P1P2与直线l相交
三、 填空题
9 (2023泰州靖江高级中学期中)已知直线l：(m＋1)x－2(m＋2)y＋3m＋1＝0恒过点P，点Q在直线x＋y＋1＝0上，则PQ的最小值为________．
10 已知点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ的距离为d，则d的取值范围是________．
11 过点P(3，0)作直线l，使其被两条相交直线2x－y－2＝0和x＋y＋3＝0所截得的线段恰好被点P平分，则直线l的斜率为________．
四、 解答题
12 (2023全国高二期中)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，1)，B(5，0)，C(1，8).
(1) 求点A到直线BC的距离；
(2) 求边BC上的高所在直线的方程．
13 (2024宁波期末)已知△ABC的三个顶点A(－3，2)，B(2，1)，C(－2，－3).
(1) 求边BC上的中线AD所在直线的方程；
(2) 已知点P(x，y)满足S△PBC＝4，且点P在线段AC的中垂线上，求点P的坐标．
【答案解析】
2．3.3　点到直线的距离公式
1. C　由点到直线的距离公式，得＝，解得a＝－1.
2. B　由点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3，得＝3，解得C＝5或C＝－25，所以“C＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的充分不必要条件．
3. C　根据题意，点A(4，0)，B(6，6)，则直线AB的斜率k＝＝3，则直线AB的方程为y－0＝3(x－4)，即3x－y－12＝0.点C到直线AB的距离d＝＝.在梯形ABCD中，AB∥CD，则此梯形的高就是点C到直线AB的距离，即此梯形的高是.
4. D　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，所以＝1，解得k＝，所以直线l的方程为x－y－＝0，即3x－4y－5＝0.综上，直线l的方程为x＝－1或3x－4y－5＝0.
5. C　由解得可得P(，)，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝＝2.因为m2＋1≥1，所以1<1＋≤2，所以26. D　因为直线l：y＝k(x＋2)上存在两个不同点到原点距离等于1，所以原点到直线的距离小于1，所以<1，解得－7. ABD　由点A(1，3)，B(－5，1)到直线l的距离相等，得直线l过线段AB的中点或l∥AB.对于A，直线AB的方程为＝，即x－3y＋8＝0，故A符合；对于B，将线段AB的中点(－2，2)代入得 3×(－2)＋2＋4＝0，所以直线3x＋y＋4＝0过线段AB的中点，故B符合；对于C，将线段AB的中点(－2，2)代入得3×(－2)－2＋6＝－2≠0，所以直线3x－y＋6＝0不过线段AB的中点，又kl＝3≠kAB，故C不符合；对于D，将线段AB的中点(－2，2)代入得2×(－2)＋2＋2＝0，所以直线2x＋y＋2＝0过线段AB的中点，故D符合．故选ABD.
8. ABC　设点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则d1＝，d2＝.若d1－d2＝0，则d1＝d2，即＝，所以Ax1＋By1＋C＝Ax2＋By2＋C.若d1＝d2＝0，即Ax1＋By1＋C＝Ax2＋By2＋C＝0，则点P1，P2都在直线l上，此时直线P1P2与直线l重合，当d1＝d2＝0时，也满足d1＋d2＝0，故A，B，C均为假命题；当d1d2<0时，点P1，P2在直线的两侧，则直线P1P2与直线l相交，故D为真命题．故选ABC.
9. 　将直线l转化为m(x－2y＋3)＋(x－4y＋1)＝0，令解得点P的坐标为(－5，－1).由题意，得PQ的最小值即为点P到直线x＋y＋1＝0的距离，由点到直线的距离公式，得PQ＝＝.
10. [0，)　直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ的方程可化为x＋y－2＋λ(3x＋2y－5)＝0.由解得所以直线l恒过点B(1，1)，所以当直线l与直线PB垂直时，点P(－2，－1)到直线l的距离d最大，dmax＝PB＝.又因为kPB＝，kl＝－＝－，故kl≠－，所以最大值取不到．当λ＝－时，直线l过点P，此时点P(－2，－1)到直线l的距离d最小，dmin＝0，所以d的取值范围是[0，).
11. 8　设直线l与直线2x－y－2＝0和x＋y＋3＝0的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).因为P为AB的中点，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝0.由得解得所以直线l的斜率为＝8.
12. (1) 由题意，得直线BC的斜率为kBC＝＝－2，
所以直线BC的方程为y－0＝－2(x－5)，即2x＋y－10＝0，
所以点A(2，1)到直线BC的距离为d＝＝.
(2) 由(1)，得直线BC的斜率为kBC＝－2，
所以边BC上的高所在直线的斜率为.
又因为边BC上的高所在直线过点A(2，1)，
所以边BC上的高所在直线的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0.
13. (1) 由题意，得BC的中点为D(0，－1)，
则AD所在直线的斜率k＝＝－1，
所以AD所在直线的方程为y＋1＝－x，
即边BC上的中线AD所在直线的方程为x＋y＋1＝0.
(2) 因为B(2，1)，C(－2，－3)，
所以BC＝＝4，且kBC＝＝1，
所以直线BC的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.
设点P到直线BC的距离为d，则由题意，得S△PBC＝×4d＝4，解得d＝，
所以点P到直线BC的距离d＝＝，
即点P所在直线方程为x－y＋1＝0或x－y－3＝0.
因为A(－3，2)，C(－2，－3)，
所以kAC＝＝－5，线段AC的中点坐标为，
所以线段AC的中垂线为y＋＝，即x－5y＝0.
联立或
解得或
故点P的坐标为或.