2.3.4 两条平行直线间的距离 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

2．3.4　两条平行直线间的距离
一、 单项选择题
1 (2024吉安期末)两平行直线5x－12y＋2＝0和10x－24y－3＝0间的距离为(　　)
A. B. C. D.
2 若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为(　　)
A. 1 B. C. D. 2
3 已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，则的最小值为(　　)
A. B. C. 1 D.
4 设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为(　　)
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5 (2023凉山期中)已知P是直线l：3x－y－6＝0与x轴的交点，直线l绕点P逆时针方向旋转45°得到直线l1，则直线l1与直线4x＋2y＋1＝0之间的距离为(　　)
A. B. C. D.
6 若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)
A. 3 B. 2 C. 3 D. 4
二、 多项选择题
7 (2023内江威远中学期中)下列直线中与直线l：y＝2x－1平行，且与它的距离为2的是(　　)
A. 2x－y＋9＝0
B. 2x－y－11＝0
C. 2x－y－12＝0
D. 2x－y＋10＝0
8 已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程可能为(　　)
A. 2x＋3y－8＝0
B. 4x＋6y＋5＝0
C. 2x＋3y－5＝0
D. 12x＋18y－13＝0
三、 填空题
9 (2023徐州期中)已知直线l1：x＋(m＋1)y＋m－2＝0与l2：2mx＋4y＋16＝0平行，则这两条平行直线之间的距离为________．
10 (2023枣庄一中阶段练习)若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为________．
11 已知直线l经过点P(1，2)，且分别与直线l1：x－y＋1＝0和l2：x－y－3＝0相交于A，B两点，若AB＝4，则直线l的方程为__________________．
四、 解答题
12 已知直线l：x－y－2＝0.
(1) 若直线l1的倾斜角是l的倾斜角的两倍，且l与l1的交点在直线x－y＝2上，求直线l1的方程；
(2) 若直线l2与直线l平行，且l2与l间的距离为3，求直线l2的方程．
13 已知直线l1经过点(0，1)，直线l2经过点(5，0)，且l1∥l2.
(1) 若l1与l2之间的距离最大，并求此时两直线的方程；
(2) 若l1与l2之间的距离为5，求两直线的方程．
【答案解析】
2．3.4　两条平行直线间的距离
1. B　直线5x－12y＋2＝0，即10x－24y＋4＝0，故两平行直线间的距离d＝＝.
2. B　由题意，得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式，得AB＝＝.
3. C　由题意，得(m，n)为直线3x＋4y＝6上的动点，(a，b)为直线3x＋4y＝1上的动点，可理解为两动点间距离的最小值，显然最小值即两平行线间的距离d＝＝1.
4. C　由已知，得两条直线之间的距离是d＝.因为a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个根，所以a＋b＝－1，ab＝c，则|a－b|＝＝.因为0≤c≤，所以≤≤，即≤d≤，故这两条直线之间的距离的最大值为，最小值为.
5. D　由直线3x－y－6＝0，令y＝0，解得x＝2，即直线l与x轴的交点为P(2，0).设直线l的倾斜角为α，可得tan α＝3，则tan (α＋45°)＝＝＝－2，即把直线l绕点P按逆时针方向旋转45°得到的直线l1的斜率为k＝－2，所以直线l1的方程为y＝－2(x－2)，即2x＋y－4＝0.又直线4x＋2y＋1＝0的斜率为－2，所以直线l1与直线4x＋2y＋1＝0平行．故直线l1与直线4x＋2y＋1＝0之间的距离为d＝＝.
6. A　由题意知，AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式，得＝，所以|m＋7|＝|m＋5|，解得m＝－6，所以点M所在直线的方程为x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为＝3.
7. AB　设与直线l：y＝2x－1平行的直线方程为2x－y＋a＝0，则由题意，得＝2，解得a＝9或a＝－11，故所求直线的方程为2x－y＋9＝0或2x－y－11＝0.故选AB.
8. BD　直线l1的方程可化为4x＋6y－2＝0.设直线l到直线l1的距离为d1，直线l到直线l2的距离为d2.设直线l的方程为4x＋6y＋c＝0(c≠－2且 c≠－9)，则d1＝，d2＝.由题意，得＝，即d2＝2d1，所以|c＋9|＝2|c＋2|，化简得c＋9＝2c＋4或c＋9＝－2c－4，解得c＝5或 c＝－，所以直线l的方程为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.故选BD.
9. 　由两直线平行，得1×4－2m×(m＋1)＝0，解得m＝－2或m＝1，当m＝－2时，两直线方程相同，故舍去；当m＝1时，l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y＋8＝0，则两直线间的距离为＝.
10. 15°和75°　因为直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0平行，所以l1与l2之间的距离d＝＝.设直线l与l1，l2的夹角为α(0°≤α≤90°).因为直线l被直线l1与l2截得的线段长为2，所以sin α＝＝，解得α＝30°.因为直线l1，l2的斜率为1，所以其倾斜角为45°，所以直线l的倾斜角的大小为15°和75°.
11. x－y＋5＝0或x＝1　直线l1：x－y＋1＝0和l2：x－y－3＝0之间的距离为d＝＝2，过点A作AC⊥l2于点C，所以AC＝2.因为 AB＝4，所以l与l2的夹角为30°，当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的直线方程为y－2＝k(x－1)，所以tan 30°＝，解得k＝，则直线l的方程为 x－y＋5＝0；当直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为x＝1，与直线l1：x－y＋1＝0和l2：x－y－3＝0的交点分别为(1，＋1)和(1，－3)，又两点间的距离为＝4＝AB，符合题意，所以直线l的方程为x－y＋5＝0或x＝1.
12. (1) 因为直线l的斜率为＝，
所以其倾斜角为.
又因为直线l1的倾斜角是l的倾斜角的两倍，
所以直线l1的倾斜角为，斜率为.
因为直线l：x－y－2＝0与直线x－y＝2的交点为(2，0)，
所以直线l1的方程为y－0＝(x－2)，即x－y－2＝0.
(2) 因为直线l2与直线l平行，
所以设直线l2的方程为x－y＋c＝0.
因为l2与l间的距离为3，所以＝3，解得c＝4或c＝－8，
所以直线l2的方程为x－y＋4＝0或x－y－8＝0.
13. (1) 当直线l1，l2均与两点的连线垂直时，直线l1与l2之间的距离最大，
又两点连线的直线的斜率为＝－，
所以直线l1与l2的斜率均为5，
此时，最大距离为＝，
直线l1的方程为y＝5x＋1，即5x－y＋1＝0，
直线l2的方程为y＝5(x－5)，即5x－y－25＝0.
(2) 若直线l1，l2的斜率都存在，设其斜率为k，
由斜截式，得l1的方程y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.
由点斜式，得l2的方程y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，
则＝5，解得k＝，所以直线l1的方程为y＝x＋1，即12x－5y＋5＝0，
直线l2的方程为y＝(x－5)，即12x－5y－60＝0；
若直线l1，l2的斜率都不存在，则直线l1的方程为x＝0，直线l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，满足条件．
综上，两条直线的方程为l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5.