2.4.1 圆的标准方程 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册
文档属性
| 名称 | 2.4.1 圆的标准方程 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 55.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-03 10:53:39 | ||
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文档简介
2．4 圆 的 方 程
2.4.1 圆的标准方程
一、 单项选择题
1 (2023乐山期末)已知圆C的圆心在x轴上，且经过A(1，1)，B(2，－2)两点，则圆C的标准方程是( )
A. (x－3)2＋y2＝5
B. (x－3)2＋y2＝17
C. (x＋3)2＋y2＝17
D. x2＋(y＋1)2＝5
2 若方程x2＋y2－2＋a＝0表示两个半径分别为r，2r(r>0)的圆，则实数a的值为( )
A. 1 B. 3 C. D.
3 (2024黄山期末)已知圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1与圆N关于直线x－y＝0对称，则圆N的方程为( )
A. (x＋1)2＋(y＋2)2＝1
B. (x－2)2＋(y＋1)2＝1
C. (x＋2)2＋(y＋1)2＝1
D. (x－1)2＋(y－2)2＝1
4 曲线y＝(a≠0)与x轴围成的封闭图形的面积为( )
A. a2 B. a2
C. a2π D. a2π
5 已知△ABC的外接圆M经过点(0，1)，(0，3)，且圆心M在直线y＝x上．若△ABC的边BC＝2，则sin ∠BAC的值为( )
A. B. C. D.
6 若三角形的三边所在直线的方程分别为x－y＝0，x－3y＝0，3x－y－8＝0，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的标准方程为( )
A. ＋＝
B. ＋＝25
C. (x－2)2＋(y－2)2＝8
D. (x－2)2＋(y－2)2＝32
二、 多项选择题
7 已知三角形的三个顶点分别为O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)，则下列结论中正确的是( )
A. △OMN外接圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25
B. △OMN外接圆的半径长为5
C. △OMN外接圆的圆心坐标为(4，－3)
D. MN大于△OMN外接圆的半径
8 过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的圆的方程为( )
A. (x－2)2＋(y－3)2＝13
B. (x－2)2＋(y－1)2＝5
C. ＋(y－1)2＝
D. ＋＝
三、 填空题
9 在平面直角坐标系中，已知点A(－4，2)是Rt△OAB的直角顶点，O是坐标原点，点B在x轴上，则△OAB的外接圆的方程是______________．
10 已知点P1(x1，y1)在圆x2＋y2＝1上，点P2(x2，y2)在曲线xy＝1上，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为________．
11 (2023全国专题练习)已知x，y满足(x－1)2＋(y－2)2＝16，则x2＋y2的取值范围是________．
四、 解答题
12 (2024南阳期末)已知直线l1：2x＋y－9＝0，l2：mx－y＋3－m＝0过定点A.
(1) 求点A的坐标；
(2) 当m＝2时，l1与l2的交点为B，求以AB为直径的圆的标准方程．
13 (2024上海阶段练习)某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内(包含边界)，则挑战成功，否则挑战失败．已知AB＝24 m，E为AB的中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为θ.
(1) 若θ＝45°，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？(参考数据：sin 20.7°≈，结果精确到0.1°)
(2) 如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？
【答案解析】
2．4 圆 的 方 程
2．4.1 圆的标准方程
1. A 因为圆C的圆心在x轴上，故设圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(r>0).又圆C经过A(1，1)，B(2，－2)两点，所以解得所以圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝5.
2. C 由题意，得x2＋y2－2＋a＝(－r)(－2r)＝0，所以r＋2r＝2，即r＝，则a＝r·2r＝.
3. D 由题意，得圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1的圆心为(2，1)，半径为1.又易知点(2，1)关于直线x－y＝0的对称点是(1，2)，所以圆N的圆心是(1，2)，半径是1，即圆N的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.
4. D 由y＝，得(x－a)2＋y2＝a2(y≥0)，所以曲线y＝ (a≠0)与x轴围成的封闭图形是以(a，0)为圆心，半径为|a|的上半圆，其面积为a2π.
5. A 设点M的坐标为(x，y)，半径为R.因为圆M经过点(0，1)，(0，3)，所以圆心在直线y＝2上．又圆心在直线y＝x上，所以x＝2，则圆心M的坐标为(2，2)，R＝＝，所以＝2R＝2，所以sin ∠BAC＝.
6. C 由题意，得该三角形的三个顶点的坐标分别是(0，0)，(4，4)，(3，1)，易知此三角形为钝角三角形，故所求圆的方程是以最长边为直径的圆的方程. 又最长边的两个端点的坐标分别为(0，0)，(4，4)，所以所求圆的圆心为(2，2)，半径为×＝2，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.
7. ABC 由题意，得OM的中点E，MN的中点 F，则OM的垂直平分线PE的方程为y－＝－①，MN的垂直平分线PF的方程为y－＝－3②.联立①②，得解得则P(4，－3)为PE，PF的交点，即为圆心，OP＝5，即为圆的半径，所以圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，MN＝＝<5.故选ABC.
8. ABC 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，当圆过(0，0)，(4，0)，(－1，1)三点时，则解得所以圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13；当圆过(0，0)，(4，0)，(4，2)三点时，则解得所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5；当圆过(0，0)，(－1，1)，(4，2)三点时，则解得所以圆的方程为＋＝；当圆过(4，0)，(－1，1)，(4，2)三点时，则解得所以圆的方程为＋(y－1)2＝.故选ABC.
9. ＋y2＝ 因为A(－4，2)是Rt△OAB的直角顶点，所以OA⊥AB.又kOA＝＝－，所以kAB＝2，所以直线AB的方程为y－2＝2(x＋4)，所以B(－5，0).因为△OAB的外接圆是以线段OB的中点为圆心，OB长为半径的圆，又OB的中点坐标为，OB＝，所以所求外接圆的方程是＋y2＝.
10. 3－2 由题意，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值就是曲线xy＝1和圆x2＋y2＝1上点的最小距离的平方．如图，由对称性可知，不妨设点P1(x，)(x>0)，则P1O＝≥，当且仅当x＝1时等号成立，即当点P1的坐标为(1，1)时，点P1距离圆心O最近，此时P1O＝，即(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(－1)2＝3－2.
11. [21－8，21＋8] x2＋y2表示圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝16上的动点P(x，y)与原点O(0，0)的距离d的平方．因为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝16的圆心C(1，2)，半径r＝4，所以OC＝＝.因为r－OC≤d≤r＋OC，所以4－≤d≤4＋，则21－8≤d2≤21＋8，即21－8≤x2＋y2≤21＋8，所以x2＋y2的取值范围为[21－8，21＋8].
12. (1) 直线l2：mx－y＋3－m＝0可化为m(x－1)－y＋3＝0，
令解得
所以直线l2过定点A(1，3).
(2) 当m＝2时，l2：2x－y＋1＝0，
联立解得即B(2，5).
因为A(1，3)，所以线段AB的中点，即圆心C的坐标为，
所以r2＝AC2＝＋(4－3)2＝，
故以AB为直径的圆的标准方程为＋(y－4)2＝.
13. (1) 由题意，得AQ＝2EQ，∠AEQ＝135°，
在△AEQ中，由正弦定理，得＝，
则sin ∠QAE＝×sin ∠AEQ＝sin 135°＝，
所以∠QAE≈20.7°，
所以应在矩形区域ABCD内，按照与夹角为20.7°的方向释放机器人乙，才能挑战成功．
(2) 以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－12，0)，E(0，0).
设Q(x，y)(y≥0)，由题意，得AQ＝2EQ，
所以＝2，
化简，得(x－4)2＋y2＝64(y≥0)，
即点Q的轨迹是以(4，0)为圆心，8为半径的上半圆在矩形区域ABCD内的部分，
所以当AD≥8 m时，能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲．
2.4.1 圆的标准方程
一、 单项选择题
1 (2023乐山期末)已知圆C的圆心在x轴上，且经过A(1，1)，B(2，－2)两点，则圆C的标准方程是( )
A. (x－3)2＋y2＝5
B. (x－3)2＋y2＝17
C. (x＋3)2＋y2＝17
D. x2＋(y＋1)2＝5
2 若方程x2＋y2－2＋a＝0表示两个半径分别为r，2r(r>0)的圆，则实数a的值为( )
A. 1 B. 3 C. D.
3 (2024黄山期末)已知圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1与圆N关于直线x－y＝0对称，则圆N的方程为( )
A. (x＋1)2＋(y＋2)2＝1
B. (x－2)2＋(y＋1)2＝1
C. (x＋2)2＋(y＋1)2＝1
D. (x－1)2＋(y－2)2＝1
4 曲线y＝(a≠0)与x轴围成的封闭图形的面积为( )
A. a2 B. a2
C. a2π D. a2π
5 已知△ABC的外接圆M经过点(0，1)，(0，3)，且圆心M在直线y＝x上．若△ABC的边BC＝2，则sin ∠BAC的值为( )
A. B. C. D.
6 若三角形的三边所在直线的方程分别为x－y＝0，x－3y＝0，3x－y－8＝0，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的标准方程为( )
A. ＋＝
B. ＋＝25
C. (x－2)2＋(y－2)2＝8
D. (x－2)2＋(y－2)2＝32
二、 多项选择题
7 已知三角形的三个顶点分别为O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)，则下列结论中正确的是( )
A. △OMN外接圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25
B. △OMN外接圆的半径长为5
C. △OMN外接圆的圆心坐标为(4，－3)
D. MN大于△OMN外接圆的半径
8 过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的圆的方程为( )
A. (x－2)2＋(y－3)2＝13
B. (x－2)2＋(y－1)2＝5
C. ＋(y－1)2＝
D. ＋＝
三、 填空题
9 在平面直角坐标系中，已知点A(－4，2)是Rt△OAB的直角顶点，O是坐标原点，点B在x轴上，则△OAB的外接圆的方程是______________．
10 已知点P1(x1，y1)在圆x2＋y2＝1上，点P2(x2，y2)在曲线xy＝1上，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为________．
11 (2023全国专题练习)已知x，y满足(x－1)2＋(y－2)2＝16，则x2＋y2的取值范围是________．
四、 解答题
12 (2024南阳期末)已知直线l1：2x＋y－9＝0，l2：mx－y＋3－m＝0过定点A.
(1) 求点A的坐标；
(2) 当m＝2时，l1与l2的交点为B，求以AB为直径的圆的标准方程．
13 (2024上海阶段练习)某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内(包含边界)，则挑战成功，否则挑战失败．已知AB＝24 m，E为AB的中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为θ.
(1) 若θ＝45°，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？(参考数据：sin 20.7°≈，结果精确到0.1°)
(2) 如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？
【答案解析】
2．4 圆 的 方 程
2．4.1 圆的标准方程
1. A 因为圆C的圆心在x轴上，故设圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(r>0).又圆C经过A(1，1)，B(2，－2)两点，所以解得所以圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝5.
2. C 由题意，得x2＋y2－2＋a＝(－r)(－2r)＝0，所以r＋2r＝2，即r＝，则a＝r·2r＝.
3. D 由题意，得圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1的圆心为(2，1)，半径为1.又易知点(2，1)关于直线x－y＝0的对称点是(1，2)，所以圆N的圆心是(1，2)，半径是1，即圆N的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.
4. D 由y＝，得(x－a)2＋y2＝a2(y≥0)，所以曲线y＝ (a≠0)与x轴围成的封闭图形是以(a，0)为圆心，半径为|a|的上半圆，其面积为a2π.
5. A 设点M的坐标为(x，y)，半径为R.因为圆M经过点(0，1)，(0，3)，所以圆心在直线y＝2上．又圆心在直线y＝x上，所以x＝2，则圆心M的坐标为(2，2)，R＝＝，所以＝2R＝2，所以sin ∠BAC＝.
6. C 由题意，得该三角形的三个顶点的坐标分别是(0，0)，(4，4)，(3，1)，易知此三角形为钝角三角形，故所求圆的方程是以最长边为直径的圆的方程. 又最长边的两个端点的坐标分别为(0，0)，(4，4)，所以所求圆的圆心为(2，2)，半径为×＝2，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.
7. ABC 由题意，得OM的中点E，MN的中点 F，则OM的垂直平分线PE的方程为y－＝－①，MN的垂直平分线PF的方程为y－＝－3②.联立①②，得解得则P(4，－3)为PE，PF的交点，即为圆心，OP＝5，即为圆的半径，所以圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，MN＝＝<5.故选ABC.
8. ABC 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，当圆过(0，0)，(4，0)，(－1，1)三点时，则解得所以圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13；当圆过(0，0)，(4，0)，(4，2)三点时，则解得所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5；当圆过(0，0)，(－1，1)，(4，2)三点时，则解得所以圆的方程为＋＝；当圆过(4，0)，(－1，1)，(4，2)三点时，则解得所以圆的方程为＋(y－1)2＝.故选ABC.
9. ＋y2＝ 因为A(－4，2)是Rt△OAB的直角顶点，所以OA⊥AB.又kOA＝＝－，所以kAB＝2，所以直线AB的方程为y－2＝2(x＋4)，所以B(－5，0).因为△OAB的外接圆是以线段OB的中点为圆心，OB长为半径的圆，又OB的中点坐标为，OB＝，所以所求外接圆的方程是＋y2＝.
10. 3－2 由题意，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值就是曲线xy＝1和圆x2＋y2＝1上点的最小距离的平方．如图，由对称性可知，不妨设点P1(x，)(x>0)，则P1O＝≥，当且仅当x＝1时等号成立，即当点P1的坐标为(1，1)时，点P1距离圆心O最近，此时P1O＝，即(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(－1)2＝3－2.
11. [21－8，21＋8] x2＋y2表示圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝16上的动点P(x，y)与原点O(0，0)的距离d的平方．因为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝16的圆心C(1，2)，半径r＝4，所以OC＝＝.因为r－OC≤d≤r＋OC，所以4－≤d≤4＋，则21－8≤d2≤21＋8，即21－8≤x2＋y2≤21＋8，所以x2＋y2的取值范围为[21－8，21＋8].
12. (1) 直线l2：mx－y＋3－m＝0可化为m(x－1)－y＋3＝0，
令解得
所以直线l2过定点A(1，3).
(2) 当m＝2时，l2：2x－y＋1＝0，
联立解得即B(2，5).
因为A(1，3)，所以线段AB的中点，即圆心C的坐标为，
所以r2＝AC2＝＋(4－3)2＝，
故以AB为直径的圆的标准方程为＋(y－4)2＝.
13. (1) 由题意，得AQ＝2EQ，∠AEQ＝135°，
在△AEQ中，由正弦定理，得＝，
则sin ∠QAE＝×sin ∠AEQ＝sin 135°＝，
所以∠QAE≈20.7°，
所以应在矩形区域ABCD内，按照与夹角为20.7°的方向释放机器人乙，才能挑战成功．
(2) 以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－12，0)，E(0，0).
设Q(x，y)(y≥0)，由题意，得AQ＝2EQ，
所以＝2，
化简，得(x－4)2＋y2＝64(y≥0)，
即点Q的轨迹是以(4，0)为圆心，8为半径的上半圆在矩形区域ABCD内的部分，
所以当AD≥8 m时，能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲．