2.4.2 圆的一般方程 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

2．4.2　圆的一般方程
一、 单项选择题
1 (2024江门期末)若方程x2＋y2＋2x－1－m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－∞，－1) B. (－1，＋∞)
C. (－∞，－2) D. (－2，＋∞)
2 (2024山西期末)已知点A，B在圆C：x2＋y2＋2mx＋2ny＝0上，且A，B两点关于直线y＝x＋2对称，则圆C的半径的最小值为(　　)
A. 2 B. C. 1 D. 3
3 (2024荆门期末)已知圆C的方程为x2＋y2－2mx＋4my＋5m2－3m＋3＝0，若点(1，－2m)在圆外，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－∞，1)∪(4，＋∞)
B. (1，＋∞)
C. (1，4)
D. (4，＋∞)
4 已知点P(x，y)在圆C：x2＋(y－1)2＝16上，则z＝的最小值为(　　)
A. 1 B. C. D. 2
5 (2024全国模拟预测)在平面直角坐标系中，圆E与两坐标轴交于A，B，C，D四点，其中A(－2，0)，B(0，－3)，点C在x轴的正半轴上，点D在y轴的正半轴上，圆E的内接四边形ABCD的面积为，则圆E的方程为(　　)
A. x2＋y2＋x＋y＝2
B. x2＋y2－x＋y＝6
C. x2＋y2－4x－y＝12
D. x2＋y2＋x＋2y＝3
6 若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，－2) B. (－∞，－1)
C. (2，＋∞) D. (1，＋∞)
二、 多项选择题
7 (2023四川泸县一中阶段练习)已知圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，则下列结论中正确的是(　　)
A. 实数k的取值范围是(－，)
B. 实数k的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)
C. 当圆的周长最大时，圆心坐标是(0，－1)
D. 圆的最大面积是π
8 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系Oxy中，A(－2，0)，B(4，0)，点P满足＝.设点P的轨迹为C，则下列结论中正确的是(　　)
A. 轨迹C的方程为(x＋4)2＋y2＝9
B. 在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得＝
C. 当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D. 在轨迹C上存在点M，使得MO＝2MA
三、 填空题
9 圆C经过不同的三点P(k，0)，Q(2，0)，R(0，1)，若圆C在点P处的切线斜率为1，则圆C的一般方程是____________．
10 (2024长春第二实验中学期末)若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则PA2＋PB2的最大值为________．
11 已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且AB＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的坐标是________．
四、 解答题
12 (2023北京丰台期中)赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有1 400多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量.2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为16m，拱高为4m，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．
(1) 求这座圆拱桥的拱圆的方程；
(2) 若该景区游船宽10m，水面以上高3m，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由．(≈1.732)
13 在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆；②锐角三角形ABC的最小覆盖圆就是其外接圆．已知曲线W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4，0)，C(0，2)，D(－4，0)为曲线W上不同的四点．
(1) 求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程；
(2) 求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；
(3) 求曲线W的最小覆盖圆的方程．
【答案解析】
2．4.2　圆的一般方程
1. D　由题意，得D2＋E2－4F＝22－4(－1－m)＝4m＋8>0，即m>－2.
2. B　因为圆C：x2＋y2＋2mx＋2ny＝0化为标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝m2＋n2，设圆C的半径为r，由题意可知，圆心(－m，－n)在直线y＝x＋2上，于是有n＝m－2，则r2＝m2＋n2＝m2＋(m－2)2＝2m2－4m＋4＝2(m－1)2＋2，当m＝1时，r2取得最小值2，故r的最小值为.
3. D　由题意，得圆C的标准方程为(x－m)2＋(y＋2m)2＝3m－3，所以3m－3>0，即m>1.又点(1，－2m)在圆外，所以(1－m)2＋(－2m＋2m)2>3m－3，即m2－5m＋4>0，解得m>4或m<1.综上，实数m的取值范围为(4，＋∞).
4. A　由题意，得圆C：x2＋(y－1)2＝16的圆心为C(0，1)，半径r＝4.因为z＝＝，其几何意义为点(x，y)到点(4，4)的距离．又圆心C到点(4，4)的距离d＝＝5，而点P(x，y)在圆C：x2＋(y－1)2＝16上，所以z的最小值为d－r＝5－4＝1.
5. B　设C(c，0)，D(0，d)(c>0，d>0)，则S四边形ABCD＝(c＋2)(d＋3)＝.因为OA·OC＝2c＝OB·OD＝3d，解得c＝3，d＝2(负值舍去)，所以圆心E(，－)，r2＝，圆E的方程为＋＝，即x2＋y2－x＋y＝6.
6. C　由题意，得曲线C是圆心为(－a，2a)，半径为2的圆．因为曲线C上所有的点均在第二象限内，所以解得a>2.
7. ACD　将圆的方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准式＋(y＋1)2＝1－k2，由1－k2>0，解得－8. BC　对于A，设点P(x，y)，则＝＝，化简并整理，得x2＋y2＋8x＝0，即 (x＋4)2＋y2＝16，故A错误；对于B，假设在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得＝，设点D(m，0)，E(n，0)，所以＝2，化简，得3x2＋3y2－(8m－2n)x＋4m2－n2＝0.由点P的轨迹方程为x2＋y2＋8x＝0，得8m－2n＝－24，4m2－n2＝0，解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4(舍去)，即存在点D(－6，0)，E(－12，0)满足要求，故B正确；对于C，cos ∠APO＝，cos ∠BPO＝，要证PO为角平分线，只需证明cos ∠APO＝cos ∠BPO，即证＝，化简整理，即证PO2＝2AP2－8.设点P(x，y)，则PO2＝x2＋y2，2AP2－8＝2x2＋8x＋2y2＝(x2＋8x＋y2)＋(x2＋y2)＝x2＋y2，则 cos ∠APO＝cos ∠BPO，故C正确；对于D，设点 M(x0，y0)，由MO＝2MA，得＝2，整理，得3x＋3y＋16x0＋16＝0，而点M在圆上，故满足x＋y＋8x0＝0，联立，解得x0＝2，y0无实数解，故D错误．故选BC.
9. x2＋y2＋x＋5y－6＝0　设圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点P，Q，R的坐标分别代入，得k2＋kD＋F＝0①，4＋2D＋F＝0②，1＋E＋F＝0③.因为圆心为C，且圆C在点P处的切线斜率为1，所以＝－1，即D＋E＋2k＝0④，由①②③④可得D＝1，E＝5，F＝－6，k＝－3，所以圆C的一般方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.
10. 16＋8　设P(x，y)，A(－1，0)，B(1，0)，由＝，得＝，即(x－2)2＋y2＝3，则PA2＋PB2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2＋1).由圆的几何性质可知x2＋y2≤(2＋)2＝7＋4，所以PA2＋PB2≤2(8＋4)＝16＋8，即PA2＋PB2的最大值为16＋8.
11. 或　设圆心为M(x，y).由AB＝6知圆M的半径r＝3，则MC＝3，即＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9.因为A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且AB＝6，所以以AB为直径的圆M的圆心M应在圆x2＋y2＝7上，联立解得或所以圆心M的坐标是(，)或.
12. (1) 设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因为该拱圆过点A(－8，0)，B(8，0)，C(0，4)，
所以解得
所以拱圆的一般方程为x2＋y2＋12y－64＝0，即x2＋(y＋6)2＝100.
(2) 当x＝5时，52＋(y＋6)2＝100，
解得y＝5－6≈2.66m<3m，
所以该景区游船不能从桥下通过．
13. (1) 将x＝0代入x2＋y4＝16，
得t＝－2或t＝2(舍去).
因为△ABC为锐角三角形，
所以外接圆就是△ABC的最小覆盖圆.
设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
所以△ABC的最小覆盖圆的方程为 x2＋y2－3x－4＝0.
(2) 因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆，
所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16.
又因为OA＝OC＝2<4，所以点A，C都在圆内，
所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16.
(3) 由题意，得曲线W为中心对称图形．
设点P(x0，y0)，则x＋y＝16，
所以OP2＝x＋y，且－2≤y0≤2，
故OP2＝x＋y＝16－y＋y＝－＋，
所以当y＝时，OPmax＝，
所以曲线W的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝.