2.4.3 圆的方程习题课 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

2．4.3　圆的方程习题课
一、 单项选择题
1 (2023江苏专题练习)已知点P(a，10)，圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝12，则点P与圆的位置为(　　)
A. 在圆内 B. 在圆上
C. 在圆外 D. 与a的取值有关
2 方程|y|－3＝表示的曲线为(　　)
A. 一个圆 B. 一个半圆
C. 两个半圆 D. 两个圆
3 (2024重庆一模)过点P作圆C：x2＋y2－4x－4y＋15＝0的两条切线，切点分别为A，B，若△PAB为直角三角形，O为坐标原点，则OP取值范围为(　　)
A. (2－，2＋) B. (4－，4＋)
C. D.
4 已知定点A(－1，0)，B(1，0)，动点P满足直线PA，PB的斜率之积为－1，则动点P满足的方程是(　　)
A. x2＋y2＝1
B. x2＋y2＝1(x≠±1)
C. x2＋y2＝1(x≠0)
D. y＝ (x≠±1)
5 如图，已知ACB为一弓形，且点A，B，C的坐标分别为(－4，0)，(4，0)，(0，2)，则弓形ACB所在圆的方程为(　　)
A. x2＋y2＝16
B. x2＋y2＝4
C. x2＋(y＋2)2＝20
D. x2＋(y＋3)2＝25
6 阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆. 若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是(　　)
A. 2 B.
C. D.
二、 多项选择题
7 已知方程x2＋y2＋3ax＋ay＋a2＋a－1＝0，若方程表示圆，则实数a的值可能为(　　)
A. －2 B. 0 C. 1 D. 3
8 已知直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△PAB面积的可能取值是(　　)
A. B. 2
C. 4 D. 6
三、 填空题
9 已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为________．
10 (2024全国专题练习)已知等腰三角形ABC的腰AC上的中线BD的长为3，则△ABC面积的最大值为________．
11 在Rt△ABC中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝5，点P满足PA＝2PB，则△PBC面积的最大值为________．
四、 解答题
12 已知直线l1：2x＋y＋1＝0，直线l2经过点(1，2)且与直线l1平行，设直线l2分别与x轴，y轴交于A，B两点．
(1) 求点A和B的坐标；
(2) 若圆C经过点A和B，且圆心C在直线l1上，求圆C的方程．
13 (2023四川阶段练习)已知圆C过点A(4，0)，B(0，4)，且圆心C在直线l：x＋y－6＝0上．
(1) 若从点M(4，1)发出的光线经过直线y＝－x反射，反射光线l1恰好平分圆C的圆周，求反射光线l1的截距式；
(2) 若点Q在直线l上运动，求QA2＋QB2的最小值．
【答案解析】
2．4.3　圆的方程习题课
1. C　因为(a－1)2＋(10－1)2＝(a－1)2＋81>12，所以点P在圆外．
2. C　由题意，知|y|－3≥0，故y≤－3或y≥3.当y≥3时，方程可化为(x－1)2＋(y－3)2＝1；当y≤－3时，方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝1，故该方程表示两个半圆．
3. D　由题意，得圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1的圆心C(2，2)，半径r＝1.由PA，PB切圆C于点A，B，且△PAB为直角三角形，得∠APB＝90°，PA＝PB.连接AC，BC，则∠CAP＝∠CBP＝90°，即四边形APBC是正方形，且PC＝，因此点P在以点C为圆心，为半径的圆上，而OC＝＝4，于是OPmax＝4＋，OPmin＝4－，所以OP的取值范围为[4－，4＋].
4. B　设点P(x，y)，则kPA＝，kPB＝，所以kPA·kPB＝·＝＝－1，即x2＋y2＝1(x≠±1).
5. D　因为圆心在弦AB的中垂线上，所以圆心在y轴上，可设圆心P(0，b).因为AP＝CP，所以＝|2－b|，解得b＝－3，所以圆心P(0，－3)，半径 r＝CP＝5，所以圆的标准方程为x2＋(y＋3)2＝25.
6. A　以经过点A，B所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－1，0), B(1，0).设P(x, y).因为＝，所以＝，两边平方并整理，得x2＋y2－6x＋1＝0，即(x－3)2＋y2＝8，当点P到AB(x轴)的距离最大时，△PAB的面积最大，此时面积为×2×2＝2.
7. AB　因为方程x2＋y2＋3ax＋ay＋a2＋a－1＝0表示圆，所以(3a)2＋a2－4(a2＋a－1)>0，解得a<1，所以满足条件的只有－2与0.故选AB.
8. BCD　在x＋y＋2＝0中，令y＝0，得x＝－2，令x＝0，得y＝－2，所以A(－2，0)，B(0，－2)，所以AB＝2.由(x－2)2＋y2＝2，知圆心为(2，0)，半径r＝，所以圆心(2，0)到直线x＋y＋2＝0的距离 d＝＝2，所以点P到直线x＋y＋2＝0的距离h的范围为[，3]，所以△PAB面积的取值范围为[2，6]，所以△PAB的面积可以为2，4，6.故选BCD.
9. 6　由题意，得直线x－y＋3＝0经过圆心，即－＋3＝0，所以m＝6.
10. 6　以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为BD＝3，所以B(0，0)，D(3，0)，设A(x，y)，由＝，得＝，可得(x－4)2＋y2＝4(y≠0)，即点A的轨迹是以(4，0)为圆心，半径r＝2的圆除去两点，所以△ABD的面积最大值为BD·r＝×3×2＝3，则△ABC面积的最大值为6.
11. ＋　如图，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(0，5). 设P(x，y).因为PA＝2PB，所以＝2，化简，得＋y2＝，所以点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆．易得直线BC：5x＋2y－10＝0，且BC＝，所以点P到直线BC的最大距离d＝＋＝＋，所以△PBC面积的最大值Smax＝BC·d＝＋.
12. (1) 由题意可设直线l2的方程为2x＋y＋m＝0，将点(1，2)代入，可得m＝－4，
故直线l2的方程为2x＋y－4＝0.
由于直线l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，
令y＝0，得x＝2，故A(2，0)；
令x＝0，得y＝4，故B(0，4).
(2) 设C(a，－2a－1)，由CA＝CB，得(a－2)2＋(－2a－1)2＝a2＋(－2a－1－4)2，
解得a＝－1，
则圆心C(－1，1)，半径CA＝，
故圆C的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝10.
13. (1) 由A(4，0)，B(0，4)，得kAB＝＝－1，线段AB的中点为(2，2)，
故线段AB的垂直平分线方程为y－2＝x－2，即y＝x.
联立解得
即圆心为C(3，3)，半径为r＝＝，
故圆C的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝10.
设点M(4，1)关于直线y＝－x的对称点为N(a，b)，则
解得即N(－1，－4)，
根据光路可逆知，点N(－1，－4)在反射光线l1上．
又反射光线l1恰好平分圆C的圆周，
所以圆心C(3，3)在反射光线l1上，
故kl1＝＝，则直线l1的方程为y－3＝(x－3)，即7x－4y－9＝0，
故反射光线l1的截距式方程为＋＝1.
(2) 因为点Q在直线l：x＋y－6＝0上运动，
所以设Q(t，6－t)，
则QA2＋QB2＝(t－4)2＋(6－t)2＋t2＋(6－t－4)2＝4t2－24t＋56＝4(t－3)2＋20，
故当t＝3时，QA2＋QB2取得最小值20.