2.5.1 直线与圆的位置关系(1) 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2．5　直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1　直线与圆的位置关系(1)
一、 单项选择题
1 (2024长沙期末)已知点P(a，b)在圆x2＋y2＝4外，则直线ax＋by－4＝0与圆的位置关系是(　　)
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 以上皆有可能
2 自点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线，则切线长为(　　)
A. B. 3 C. D. 5
3 已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点，则“a＝”是“OA⊥OB”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4 (2024深圳外国语学校期末)已知P是直线3x－4y＋5＝0上的一动点，过点P作圆C：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为(　　)
A. B. 2 C. 4 D. 8
5 设有一组圆Ck：(x－1)2＋(y－k)2＝k4(k∈N*)，给出下列两个命题：①存在k，使圆与x轴相切；②所有的圆均不经过原点．其中正确的命题序号是(　　)
A. ① B. ②
C. ①② D. 都不正确
6 (2024广东一模)已知直线l1：kx－y＋1－k＝0(k∈R)与直线l2：x＋ky＋＋k＝0(k∈R)相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线l：x－y＋b＝0的距离为1，则实数b的值为(　　)
A. ±1 B. ± C. ± D. ±2
二、 多项选择题
7 (2024周口西华县一中阶段练习)过点(0，3)作与圆x2＋y2－2x＝0相切的直线l，则直线l的方程为(　　)
A. 4x－3y－9＝0 B. 4x＋3y－9＝0
C. x＝0 D. x＝1
8 (2023开封一模)已知圆M：(x－1)2＋(y＋2)2＝2，直线l：x－3y＋3＝0，P是直线l上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A，则当切线长PA取最小值时，下列结论中正确的是(　　)
A. PA＝2
B. PA＝
C. 切线PA的方程可以是y＝－x＋1
D. 切线PA的方程可以是y＝7x＋1
三、 填空题
9 已知直线l：x cos α＋y sin α＝1(α∈R)与圆C：x2＋y2＝r2(r>0)相交，则实数r的取值范围是________．
10 直线y＝x＋b与曲线x＝有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围是________．
11 (2024东莞期末)若一条光线从点A(0，1)射出，经直线y＝x反射后与圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝1相切，则反射光线所在直线的方程为________．
四、 解答题
12 已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1) 当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2) 当直线l与圆C相交于A，B两点，且 AB＝2时，求直线l的方程．
13 (2024北京期中)已知圆Q：(x－6)2＋y2＝4，l为过点P(0，2)且斜率为k的直线．
(1) 若直线l与圆Q相切，求直线l的方程；
(2) 若直线l与圆Q相交于不同的两点A，B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
【答案解析】
2．5　直线与圆、圆与圆的位置关系
2．5.1　直线与圆的位置关系(1)
1. A　由题意，得圆x2＋y2＝4的圆心O(0，0)，半径r＝2，由点P(a，b)在圆x2＋y2＝4外，得a2＋b2>4，则圆心到直线ax＋by－4＝0的距离d＝<2，即d2. B　由题意，得圆心为(2，3)，半径为1，圆心到点A的距离d＝＝，由直线与圆相切的位置关系可知，切线长为＝3.
3. A　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x并整理，得5y2－4ay＋a2－2＝0，因此y1＋y2＝，y1y2＝，由Δ＝16a2－20(a2－2)>0，解得a2<10.因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，所以(2y1－a)(2y2－a)＋y1y2＝0，即5y1y2－2a(y1＋y2)＋a2＝0，所以5×－2a×＋a2＝0，解得a＝±，故“a＝”是“OA⊥OB”的充分不必要条件．
4. B　由题意，得圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝1的圆心C(2，－1)，半径r＝1，点C到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，显然PC≥d＝3.因为PA，PB切圆C于点A，B，所以PA＝＝，则四边形PACB的面积S＝2S△PAC＝2××PA×AC＝≥＝2，当且仅当直线PC垂直于直线3x－4y＋5＝0时取等号，所以四边形PACB面积的最小值为2.
5. C　①中，当k＝1时，圆心为(1，1)，半径为1，满足圆与x轴相切，故①正确．②中，若点(0，0)在圆上，则1＋k2＝k4，而k∈N*，若k是奇数，则左式是偶数，右式是奇数，方程无解；若k是偶数，则左式是奇数，右式是偶数，方程无解，故所有的圆均不经过原点，故②正确．综上，①②正确．
6. B　由l1：kx－y＋1－k＝0(k∈R)，得k(x－)－y＋1＝0，即直线l1过定点A(，1).由l2：x＋ky＋＋k＝0(k∈R)，得x＋＋k(y＋1)＝0，即直线l2过定点B(－，－1).又易知l1⊥l2，所以点M的轨迹是以AB为直径的圆(不含点(，－1))，其中圆心为(0，0)，半径为r＝OA＝2.若圆上恰有3个不同的点M到直线l：x－y＋b＝0的距离为1，只需圆心到直线l的距离等于1，即d＝＝1，解得b＝±，此时点(，1)到直线l：x－y＋b＝0的距离不为1，故b＝±符合．
7. BC　由题意，得圆x2＋y2－2x＝0的圆心C(1，0)，半径r＝1，过点(0，3)且斜率不存在的直线方程为x＝0，显然点C(1，0)到直线x＝0的距离为1，即直线x＝0与圆C相切；当切线l的斜率存在时，设切线l的方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，所以＝1，解得k＝－，此时切线l的方程为4x＋3y－9＝0，所以直线l的方程为x＝0或4x＋3y－9＝0.故选BC.
8. ACD　圆M：(x－1)2＋(y＋2)2＝2的圆心为M(1，－2)，半径r＝，则圆心M到直线l的距离d＝＝，因为P是直线l上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A，则切线长PA的最小值为PAmin＝＝2，故A正确，B错误；设过点M(1，－2)与直线l垂直的直线方程为3x＋y＋n＝0，则3－2＋n＝0，解得n＝－1，即3x＋y－1＝0.由解得所以P(0，1)，显然过点P(0，1)的切线的斜率存在，设切线PA的方程为y＝kx＋1，则＝，解得k＝－1或k＝7，所以切线PA的方程为y＝－x＋1或y＝7x＋1.故选ACD.
9. (1，＋∞)　由题意，得圆心到直线的距离为d＝＝110. {b|－111. x＝1或15x－8y－15＝0　设A(0，1)关于直线y＝x对称的点为B(a，b)，所以解得即点B(1，0).当反射光线的斜率存在时，设其所在直线的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.因为反射光线与圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝1相切，所以圆心C(2，4)到反射光线的距离d＝＝r，即＝1，解得k＝，所以反射光线所在直线的方程为15x－8y－15＝0；当反射光线的斜率不存在时，设其所在直线的方程为x＝1，满足反射光线与圆相切，故反射光线所在直线的方程为x＝1或15x－8y－15＝0.
12. (1) 由圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，得x2＋(y－4)2＝4，其圆心为C(0，4)，半径r＝2.
若直线l与圆C相切，则圆心C(0，4)到直线l：ax＋y＋2a＝0的距离d＝＝r＝2，即4a＝－3，解得a＝－.
(2) 由(1)知，圆心C到直线l的距离d＝.
因为＋d2＝r2，即＋d2＝22，
所以d＝，
所以d＝＝，整理，得a2＋8a＋7＝0，
解得a＝－1或a＝－7，
则直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.
13. (1) 由圆Q：(x－6)2＋y2＝4，得圆心Q(6，0)，半径r＝2.
设过点P(0，2)且斜率为k的直线方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.
因为直线l与圆Q相切，则圆心Q到直线l的距离d＝＝2，
解得k＝0或k＝－，
故切线方程为l：y＝2或3x＋4y－8＝0.
(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2),
联立
消去y并整理，得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.
因为直线与圆交于两个不同的点A，B，
所以Δ＝16(k－3)2－4(1＋k2)·36>0，
解得－由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，
则y1＋y2＝kx1＋2＋kx2＋2＝k(x1＋x2)＋4＝，
所以＋＝(x1＋x2，y1＋y2)＝.
又P(0，2)，Q(6，0)，所以＝(6，－2).
若＋与共线，则＋＝λ，
即＝λ(6，－2),
即解得k＝－.
因为－所以没有符合题意的常数k，使得向量＋与共线．