2.5.1 直线与圆的位置关系(2) 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册
文档属性
| 名称 | 2.5.1 直线与圆的位置关系(2) 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 79.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-03 10:56:35 | ||
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文档简介
2．5.1 直线与圆的位置关系(2)
一、 单项选择题
1 直线l：ax＋y－2＝0与圆M：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的位置关系为( )
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 无法确定
2 已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )
A. (x＋1)2＋(y－1)2＝2
B. (x－1)2＋(y＋1)2＝2
C. (x－1)2＋(y－1)2＝2
D. (x＋1)2＋(y＋1)2＝2
3 已知圆x2＋y2－2x＋2y＋a＝0截直线x＋y－4＝0所得弦的长度小于6，则实数a的取值范围是( )
A. (2－，2＋)
B. (2－，2)
C. (－15，＋∞)
D. (－15，2)
4 已知直线l：x＋ay－1＝0(a为实数)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为P，则PA等于( )
A. 6 B. 4 C. 7 D. 8
5 若过x轴上一点P作圆C：x2＋y2－4y＋3＝0的两条切线，切点为A，B，则当切线长PA最短时，劣弧长等于( )
A. B. C. D.
6 (2024北京西城期末)在直角坐标系Oxy内，圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1，若直线l：x＋y＋m＝0绕原点O顺时针旋转90°后与圆C存在公共点，则实数m的取值范围是( )
A. [－，]
B. [－4－，－4＋]
C. [－2－，－2＋]
D. [－2＋，2＋]
二、 多项选择题
7 已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是( )
A. 圆M的圆心为(4，－3)
B. 圆M被x轴截得的弦长为8
C. 圆M的半径为25
D. 圆M被y轴截得的弦长为6
8 (2024重庆九龙坡期末)已知P(x0，y0)是圆C：x2＋y2－4x－4y＋6＝0上的动点，则下列说法中正确的是( )
A. 圆的半径为2
B. 的最小值为2－
C. x＋y＋2x0＋3的最大值为17＋2
D. x0＋y0的最大值为6
三、 填空题
9 已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0相交于A，B两点(C为圆心)，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为________．
10 在平面直角坐标系Oxy中，若圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，则实数a的值为________．
11 (2024全国模拟预测)已知圆C：(x－2)2＋(y＋a)2＝2(a∈R)关于直线2x＋y－3＝0对称，过点P(－2，－1)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则圆心C到直线AB的距离为________．
四、 解答题
12 (2024广东期末)已知圆C：x2＋(y－1)2＝4，直线l过点M(－2，4).
(1) 若直线l的斜率为－2，求直线l被圆C所截得的弦长；
(2) 若直线l与圆C相切，求直线l的方程．
13 (2024深圳期末)已知圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4.
(1) 过点P(3，2)作圆C的切线l，求直线l的方程；
(2) 若Q为直线l′：3x－4y＋13＝0上的动点，过点Q作圆C的切线，记切点为M，当QM取最小值时，求∠CQM的大小．
【答案解析】
2．5.1 直线与圆的位置关系(2)
1. C 因为圆M：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，所以圆心M(1，2)，半径r＝1，所以圆心M到直线l的距离为 d＝＝<1，故直线l与圆M相交．
2. B 因为直线x－y＝0与直线x－y－4＝0平行，直线x－y＝0与直线x－y－4＝0都与圆C相切，所以圆C的圆心C在直线x－y－2＝0上．由得C(1，－1).又直线x－y＝0与直线x－y－4＝0的距离为＝2，所以圆C的半径为，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
3. D 由题意，知圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2－a，则圆心为(1，－1)，半径为，则2－a>0，解得a<2.又圆心到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝2，所以2<6，解得a>－15.综上，实数a的取值范围是(－15，2).
4. A 根据题意，得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，可知圆心C的坐标为(2，1)，半径为r＝2.因为直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以直线l经过圆心C(2，1)，则2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以A(－4，－1)，则AC2＝(2＋4)2＋(1＋1)2＝40，所以PA＝＝＝6.
5. D 将圆C的方程标准化，得x2＋(y－2)2＝1，则圆心C(0，2)，半径r＝1.又点C(0，2)到x轴的距离d＝2，所以PC≥2，当且仅当点P与原点重合时取等号，显然PA⊥AC，则PA＝＝≥＝，当PA＝时，tan ∠ACP＝，则∠ACP＝，圆心角∠ACB＝2∠ACP＝，所以劣弧长＝r＝.
6. A 在直线l上任意取一点P，并连接OP.设∠POx＝θ(即以x轴正方向为始边，OP为终边的角).由题意，得对于直线l：x＋y＋m＝0上任意一点P(x，y)，存在a＝，θ∈R，使得P(a cos θ，a sin θ)，则直线l：x＋y＋m＝0绕原点O顺时针旋转90°后，点P(a cos θ，a sin θ)对应点为P1(a cos ，a sin )，即P1(a sin θ，－a cos θ).因为点P(a cos θ，a sin θ)在直线l：x＋y＋m＝0上，所以满足a cos θ＋a sin θ＋m＝0，设x1＝a sin θ，y1＝－a cos θ，所以－y1＋x1＋m＝0，即点P1(a sin θ，－a cos θ)所在直线方程为l1：x－y＋m＝0，而圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1的圆心为(2，2)，半径r＝1.若直线l：x＋y＋m＝0绕原点O顺时针旋转90°后与圆C存在公共点，所以圆心C(2，2)到直线l1：x－y＋m＝0的距离d＝≤r＝1，解得－≤m≤.
7. ABD 由圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，得圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，所以圆M的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，故A正确，C不正确；对于B，令(x－4)2＋(y＋3)2＝25中的y＝0，得(x－4)2＝16，所以x－4＝±4，所以x＝0或x＝8，所以圆M被x轴截得的弦长为8，故B正确；对于D，令(x－4)2＋(y＋3)2＝25中的x＝0，得(y＋3)2＝9，所以y＋3＝±3，所以y＝0或y＝－6，所以圆M被y轴截得的弦长为6，故D正确．故选ABD.
8. BCD 对于A，圆C：x2＋y2－4x－4y＋6＝0的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2，其半径为，故A错误；对于B，＝，其表示点P(x0，y0)和坐标原点(0，0)连线的斜率，当过点(0，0)的直线与圆C相切时，分别取最大值和最小值．设过点(0，0)的直线为y＝kx，则＝，解得k＝2±，故的最小值为2－，故B正确；对于C，x＋y＋2x0＋3＝(x0＋1)2＋y＋2，其中表示点P(x0，y0)与(－1，0)的距离，则的最大值为＋＝＋，则x＋y＋2x0＋3＝(x0＋1)2＋y＋2≤(＋)2＋2＝17＋2，故C正确；对于D，令x0＋y0＝t，则y0＝t－x0，代入圆的方程得x＋(t－x0)2－4x0－4(t－x0)＋6＝0，整理，得2x－2tx0＋t2－4t＋6＝0，得Δ＝4t2－8(t2－4t＋6)≥0，解得2≤t≤6，即x0＋y0的最大值为6，故D正确．故选BCD.
9. ± 因为△ABC为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离等于半径的.由题意，得圆C的方程为(x－a)2＋(y－1)2＝a2－1，圆心为(a，1)，半径为(a2>1)，故＝×，解得a＝±.
10. －1 由消去y并整理，得2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0，Δ＝(2a－8)2－8(a2－2a＋1)＝4(－a2－4a＋14)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4－a，x1x2＝.因为OA⊥OB，所以·＝x1x2＋y1y2＝0，所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋a)(x2＋a)＝2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝a2＋2a＋1＝0，解得a＝－1，此时Δ>0，所以实数a的值为－1.
11. 方法一：圆C：(x－2)2＋(y＋a)2＝2(a∈R)是以C(2，－a)为圆心，为半径的圆．由题意知，直线2x＋y－3＝0经过圆心C(2，－a)，所以4－a－3＝0，解得a＝1，所以点C(2，－1)，圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.因为直线PA，PB是圆C的两条切线，所以PA⊥CA，PB⊥CB，所以点A，B在以PC为直径的圆E上，因为P(－2，－1)，C(2，－1)，所以E(0，－1)，PC＝4，所以圆E：x2＋(y＋1)2＝4，所以直线AB的方程为x＝，所以圆心C到直线AB的距离为.
方法二：圆C：(x－2)2＋(y＋a)2＝2(a∈R)是以C(2，－a)为圆心，为半径的圆．由题意知，直线2x＋y－3＝0经过圆心C(2，－a)，所以4－a－3＝0，解得a＝1，所以点C(2，－1)，圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.又因为P(－2，－1)，所以PC＝4.因为直线PA，PB是圆C的两条切线，所以PA⊥AC，PB⊥BC，AC＝BC＝，所以PA＝PB＝＝，记直线AB与PC交于点D，则由等面积法知BD＝AD＝，所以在Rt△BCD中，CD＝＝.
12. (1) 由题意，得直线l的斜率为－2，且过点M(－2，4)，所以直线l的方程为y－4＝－2(x＋2)，即2x＋y＝0.
又圆C：x2＋(y－1)2＝4的圆心为(0，1)，半径r＝2，
所以圆心(0，1)到直线2x＋y＝0的距离为d＝＝，
故直线l被圆C所截得的弦长为2＝2＝.
(2) 若直线l的斜率不存在，此时直线l的方程为x＝－2，
圆心(0，1)到x＝－2的距离为d＝|0－(－2)|＝2＝r，即直线l与圆C相切，满足题意；
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y－4＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋4＝0.
若直线l与圆C相切，则圆心(0，1)到直线kx－y＋2k＋4＝0的距离为d＝＝2，
解得k＝－，则此时直线l的方程为y－4＝－(x＋2)，即5x＋12y－38＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或5x＋12y－38＝0.
13. (1) 由题意，得圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4的圆心为C(1，－1)，半径r＝2，
当切线l的斜率不存在时，l：x＝3与圆C相切，满足题意；
当切线l的斜率存在时，设切线l的方程为y－2＝k(x－3)，
即kx－y＋2－3k＝0.
又l与圆C相切，所以圆心C(1，－1)到l的距离为＝2，解得k＝，
所以l的方程为5x－12y＋9＝0.
综上，切线l的方程为x＝3或5x－12y＋9＝0.
(2) 因为QM2＝QC2－CM2＝QC2－4，
所以当QC最短，即CQ⊥l′时，QM取得最小值，
此时QC＝＝4，
所以sin ∠CQM＝＝.
又0°<∠CQM<90°，所以∠CQM＝30°.
一、 单项选择题
1 直线l：ax＋y－2＝0与圆M：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的位置关系为( )
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 无法确定
2 已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )
A. (x＋1)2＋(y－1)2＝2
B. (x－1)2＋(y＋1)2＝2
C. (x－1)2＋(y－1)2＝2
D. (x＋1)2＋(y＋1)2＝2
3 已知圆x2＋y2－2x＋2y＋a＝0截直线x＋y－4＝0所得弦的长度小于6，则实数a的取值范围是( )
A. (2－，2＋)
B. (2－，2)
C. (－15，＋∞)
D. (－15，2)
4 已知直线l：x＋ay－1＝0(a为实数)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为P，则PA等于( )
A. 6 B. 4 C. 7 D. 8
5 若过x轴上一点P作圆C：x2＋y2－4y＋3＝0的两条切线，切点为A，B，则当切线长PA最短时，劣弧长等于( )
A. B. C. D.
6 (2024北京西城期末)在直角坐标系Oxy内，圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1，若直线l：x＋y＋m＝0绕原点O顺时针旋转90°后与圆C存在公共点，则实数m的取值范围是( )
A. [－，]
B. [－4－，－4＋]
C. [－2－，－2＋]
D. [－2＋，2＋]
二、 多项选择题
7 已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是( )
A. 圆M的圆心为(4，－3)
B. 圆M被x轴截得的弦长为8
C. 圆M的半径为25
D. 圆M被y轴截得的弦长为6
8 (2024重庆九龙坡期末)已知P(x0，y0)是圆C：x2＋y2－4x－4y＋6＝0上的动点，则下列说法中正确的是( )
A. 圆的半径为2
B. 的最小值为2－
C. x＋y＋2x0＋3的最大值为17＋2
D. x0＋y0的最大值为6
三、 填空题
9 已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0相交于A，B两点(C为圆心)，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为________．
10 在平面直角坐标系Oxy中，若圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，则实数a的值为________．
11 (2024全国模拟预测)已知圆C：(x－2)2＋(y＋a)2＝2(a∈R)关于直线2x＋y－3＝0对称，过点P(－2，－1)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则圆心C到直线AB的距离为________．
四、 解答题
12 (2024广东期末)已知圆C：x2＋(y－1)2＝4，直线l过点M(－2，4).
(1) 若直线l的斜率为－2，求直线l被圆C所截得的弦长；
(2) 若直线l与圆C相切，求直线l的方程．
13 (2024深圳期末)已知圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4.
(1) 过点P(3，2)作圆C的切线l，求直线l的方程；
(2) 若Q为直线l′：3x－4y＋13＝0上的动点，过点Q作圆C的切线，记切点为M，当QM取最小值时，求∠CQM的大小．
【答案解析】
2．5.1 直线与圆的位置关系(2)
1. C 因为圆M：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，所以圆心M(1，2)，半径r＝1，所以圆心M到直线l的距离为 d＝＝<1，故直线l与圆M相交．
2. B 因为直线x－y＝0与直线x－y－4＝0平行，直线x－y＝0与直线x－y－4＝0都与圆C相切，所以圆C的圆心C在直线x－y－2＝0上．由得C(1，－1).又直线x－y＝0与直线x－y－4＝0的距离为＝2，所以圆C的半径为，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
3. D 由题意，知圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2－a，则圆心为(1，－1)，半径为，则2－a>0，解得a<2.又圆心到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝2，所以2<6，解得a>－15.综上，实数a的取值范围是(－15，2).
4. A 根据题意，得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，可知圆心C的坐标为(2，1)，半径为r＝2.因为直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以直线l经过圆心C(2，1)，则2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以A(－4，－1)，则AC2＝(2＋4)2＋(1＋1)2＝40，所以PA＝＝＝6.
5. D 将圆C的方程标准化，得x2＋(y－2)2＝1，则圆心C(0，2)，半径r＝1.又点C(0，2)到x轴的距离d＝2，所以PC≥2，当且仅当点P与原点重合时取等号，显然PA⊥AC，则PA＝＝≥＝，当PA＝时，tan ∠ACP＝，则∠ACP＝，圆心角∠ACB＝2∠ACP＝，所以劣弧长＝r＝.
6. A 在直线l上任意取一点P，并连接OP.设∠POx＝θ(即以x轴正方向为始边，OP为终边的角).由题意，得对于直线l：x＋y＋m＝0上任意一点P(x，y)，存在a＝，θ∈R，使得P(a cos θ，a sin θ)，则直线l：x＋y＋m＝0绕原点O顺时针旋转90°后，点P(a cos θ，a sin θ)对应点为P1(a cos ，a sin )，即P1(a sin θ，－a cos θ).因为点P(a cos θ，a sin θ)在直线l：x＋y＋m＝0上，所以满足a cos θ＋a sin θ＋m＝0，设x1＝a sin θ，y1＝－a cos θ，所以－y1＋x1＋m＝0，即点P1(a sin θ，－a cos θ)所在直线方程为l1：x－y＋m＝0，而圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1的圆心为(2，2)，半径r＝1.若直线l：x＋y＋m＝0绕原点O顺时针旋转90°后与圆C存在公共点，所以圆心C(2，2)到直线l1：x－y＋m＝0的距离d＝≤r＝1，解得－≤m≤.
7. ABD 由圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，得圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，所以圆M的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，故A正确，C不正确；对于B，令(x－4)2＋(y＋3)2＝25中的y＝0，得(x－4)2＝16，所以x－4＝±4，所以x＝0或x＝8，所以圆M被x轴截得的弦长为8，故B正确；对于D，令(x－4)2＋(y＋3)2＝25中的x＝0，得(y＋3)2＝9，所以y＋3＝±3，所以y＝0或y＝－6，所以圆M被y轴截得的弦长为6，故D正确．故选ABD.
8. BCD 对于A，圆C：x2＋y2－4x－4y＋6＝0的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2，其半径为，故A错误；对于B，＝，其表示点P(x0，y0)和坐标原点(0，0)连线的斜率，当过点(0，0)的直线与圆C相切时，分别取最大值和最小值．设过点(0，0)的直线为y＝kx，则＝，解得k＝2±，故的最小值为2－，故B正确；对于C，x＋y＋2x0＋3＝(x0＋1)2＋y＋2，其中表示点P(x0，y0)与(－1，0)的距离，则的最大值为＋＝＋，则x＋y＋2x0＋3＝(x0＋1)2＋y＋2≤(＋)2＋2＝17＋2，故C正确；对于D，令x0＋y0＝t，则y0＝t－x0，代入圆的方程得x＋(t－x0)2－4x0－4(t－x0)＋6＝0，整理，得2x－2tx0＋t2－4t＋6＝0，得Δ＝4t2－8(t2－4t＋6)≥0，解得2≤t≤6，即x0＋y0的最大值为6，故D正确．故选BCD.
9. ± 因为△ABC为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离等于半径的.由题意，得圆C的方程为(x－a)2＋(y－1)2＝a2－1，圆心为(a，1)，半径为(a2>1)，故＝×，解得a＝±.
10. －1 由消去y并整理，得2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0，Δ＝(2a－8)2－8(a2－2a＋1)＝4(－a2－4a＋14)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4－a，x1x2＝.因为OA⊥OB，所以·＝x1x2＋y1y2＝0，所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋a)(x2＋a)＝2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝a2＋2a＋1＝0，解得a＝－1，此时Δ>0，所以实数a的值为－1.
11. 方法一：圆C：(x－2)2＋(y＋a)2＝2(a∈R)是以C(2，－a)为圆心，为半径的圆．由题意知，直线2x＋y－3＝0经过圆心C(2，－a)，所以4－a－3＝0，解得a＝1，所以点C(2，－1)，圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.因为直线PA，PB是圆C的两条切线，所以PA⊥CA，PB⊥CB，所以点A，B在以PC为直径的圆E上，因为P(－2，－1)，C(2，－1)，所以E(0，－1)，PC＝4，所以圆E：x2＋(y＋1)2＝4，所以直线AB的方程为x＝，所以圆心C到直线AB的距离为.
方法二：圆C：(x－2)2＋(y＋a)2＝2(a∈R)是以C(2，－a)为圆心，为半径的圆．由题意知，直线2x＋y－3＝0经过圆心C(2，－a)，所以4－a－3＝0，解得a＝1，所以点C(2，－1)，圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.又因为P(－2，－1)，所以PC＝4.因为直线PA，PB是圆C的两条切线，所以PA⊥AC，PB⊥BC，AC＝BC＝，所以PA＝PB＝＝，记直线AB与PC交于点D，则由等面积法知BD＝AD＝，所以在Rt△BCD中，CD＝＝.
12. (1) 由题意，得直线l的斜率为－2，且过点M(－2，4)，所以直线l的方程为y－4＝－2(x＋2)，即2x＋y＝0.
又圆C：x2＋(y－1)2＝4的圆心为(0，1)，半径r＝2，
所以圆心(0，1)到直线2x＋y＝0的距离为d＝＝，
故直线l被圆C所截得的弦长为2＝2＝.
(2) 若直线l的斜率不存在，此时直线l的方程为x＝－2，
圆心(0，1)到x＝－2的距离为d＝|0－(－2)|＝2＝r，即直线l与圆C相切，满足题意；
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y－4＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋4＝0.
若直线l与圆C相切，则圆心(0，1)到直线kx－y＋2k＋4＝0的距离为d＝＝2，
解得k＝－，则此时直线l的方程为y－4＝－(x＋2)，即5x＋12y－38＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或5x＋12y－38＝0.
13. (1) 由题意，得圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4的圆心为C(1，－1)，半径r＝2，
当切线l的斜率不存在时，l：x＝3与圆C相切，满足题意；
当切线l的斜率存在时，设切线l的方程为y－2＝k(x－3)，
即kx－y＋2－3k＝0.
又l与圆C相切，所以圆心C(1，－1)到l的距离为＝2，解得k＝，
所以l的方程为5x－12y＋9＝0.
综上，切线l的方程为x＝3或5x－12y＋9＝0.
(2) 因为QM2＝QC2－CM2＝QC2－4，
所以当QC最短，即CQ⊥l′时，QM取得最小值，
此时QC＝＝4，
所以sin ∠CQM＝＝.
又0°<∠CQM<90°，所以∠CQM＝30°.