2.5.1 直线与圆的位置关系(3) 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

2．5.1　直线与圆的位置关系(3)
一、 单项选择题
1 设P(x，y)为圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上任意一点，A(－1，5)，则AP的最小值是 (　　)
A. B. 4 C. 6 D. 3
2 (2024芜湖期末)“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20 m，拱高约5 m．现有一船，水面以上高 3 m，欲通过圆拱桥，船宽最长约为(　　)
A. 12 m B. 13 m C. 14 m D. 15 m
3 在平面直角坐标系Oxy中，直线y＝kx＋4与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且·＝0，则实数k的值为(　　)
A. －或 B. －或 C. －或 D. －或
4 已知AB为圆O：x2＋y2＝12的一条弦，若△PAB为等边三角形，则PO的最大值为(　　)
A. 4 B. 6 C. 4 D. 2
5 (2024盐城期末)在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为x2＋y2＝1，河岸所在直线的方程为x＋y＝3，将军从点A(0，2)处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，若将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为(　　)
A. B. －1 C. D. －1
6 (2023乐山期末)已知P(x，y)是直线y＝2x＋3上一动点，PM与PN是圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN面积的最小值为(　　)
A. 4 B. 2 C. 2 D. 1
二、 多项选择题
7 (2024盐城期末)已知圆M：x2＋y2－2x－3＝0，直线l：x＋y＋λ＝0与圆M交于C，D两点，则下列结论中正确的是(　　)
A. λ的取值范围是(－2－1，2－1)
B. 若直线l经过圆M的圆心，则λ的值为－1
C. 当直线l过原点O时，圆M上的动点到直线l的最大距离为
D. 若∠CMD＝60°，则λ＝－1
8 (2023宁德一中阶段练习)已知直线l：mx＋(m－2)y＋1－m＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝4相交于A，B两点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l恒过定点
B. 过点(4，1)且与圆C相切的直线方程为3x＋4y－16＝0
C. 圆心C到直线l的最大距离是
D. ·的最大值为1
三、 填空题
9 已知直线kx－y＋2＝0与圆(x－1)2＋y2＝9交于A，B两点，当弦AB最短时，实数k的值为________．
10 (2024全国专题练习)某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100 m的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50 m的速度从设备正东方向50 m的A处出发，沿A处西北方向走向位于设备正北方向的B处，则这名工作人员被持续监测的时长为________min.
11 (2023北京阶段练习)“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知P(x，y)是阴影部分(包括边界)的动点，则的最小值为________．
四、 解答题
12 已知圆C：(x－2)2＋y2＝9.
(1) 若直线l1过点D(－1，1)，且与圆C相切，求直线l1的方程；
(2) 设直线l2：x＋y－1＝0与圆C相交于M，N两点，P为圆C上的一动点，求△PMN面积S的最大值．
13 如图，已知圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴的正半轴相交于A，B两点(点A在点B的上方)，且AB＝3.
(1) 求圆C的方程；
(2) 直线BT上是否存在点P满足PA2＋PB2＋PT2＝12，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3) 如果圆C上存在E，F两点，使得射线AB平分∠EAF，求证：直线EF的斜率为定值．
【答案解析】
2．5.1　直线与圆的位置关系(3)
1. B　点A(－1，5)与圆心(2，1)的距离为＝5，则点A在圆外，所以AP的最小值为5－1＝4.
2. B　如图为拱形桥ACB，以AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－10，0)，B(10，0)，C(0，5)，且圆心在y轴上，设为E(0，b)，则有AE＝CE，即＝|5－b|，整理，得2b＋15＝0，解得b＝－，所以圆心为E，半径为CE＝|5－b|＝，所以圆E的方程为x2＋＝.设D(x，3)，则有x2＋＝，解得x＝，所以要使小船通过圆拱桥，船宽最长为2 m．因为6.5<<7，所以13<2<14.
3. D　因为·＝0，所以OA⊥OB，所以在Rt△OAB中，点O到AB的距离为，即d＝＝，解得k＝±.
4. A　因为AB为圆O：x2＋y2＝12的一条弦，△PAB为等边三角形，所以AB的垂直平分线经过点O，P，所以∠OPB＝30°.在△OPB中，＝，即＝，故OP＝4sin ∠OBP，故当∠OBP＝90°，即sin ∠OBP＝1时，OPmax＝4.
5. D　如图，设将军去河岸的点B喝水，再回到军营的点C，则需求出AB＋BC的最小值即可．圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径r＝1.设A(0，2)关于直线x＋y＝3的对称点为M(a，b)，则解得所以M(1，3)，此时AB＋BC＝MB＋BC≥MO－r＝－1＝－1，所以“将军饮马”的最短路程为－1.
6. C　由题意知，圆C：(x－1)2＋y2＝1的圆心C(1，0)，半径r＝1.因为PM与PN是圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，所以PM＝PN，PM2＝PC2－MC2＝PC2－1，则PM＝，当PC最小时，PM也最小．又P(x，y)是直线y＝2x＋3上一动点，圆心C(1，0)到直线y＝2x＋3的距离d＝＝，即PC的最小值为，此时PMmin＝2，故四边形PMCN的面积S＝2S△PCM＝2×PM×MC＝PM，即面积的最小值为S＝2.
7. AB　对于A，圆M：x2＋y2－2x－3＝0的标准方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心为M(1，0)，半径r＝2，因为直线l：x＋y＋λ＝0与圆M交于C，D两点，所以圆心M到直线l的距离d8. ACD　对于A，直线l：mx＋(m－2)y＋1－m＝0可转化为直线l：m(x＋y－1)＋1－2y＝0，联立解得x＝，y＝，所以直线l恒过定点，故A正确；对于B，由圆C：(x－2)2＋y2＝4，得圆心C(2，0)，半径r＝2，当直线的斜率不存在，即直线方程为x＝4时，圆心到该直线的距离等于2，即等于半径r，故直线x＝4也与圆C相切，故B错误；对于C，由题意，得圆心C(2，0)到直线l的最大距离即为圆C到直线l所过的定点的距离，则最大距离为＝，故C正确；对于D，·＝2×2×cos ∠ACB，要使·取到最大值，只需cos ∠ACB取最大，在△ABC中，cos ∠ACB＝＝，所以当cos ∠ACB最大时，弦长AB最短，当直线AB与过圆心C和点的直线垂直时，弦长AB最短，又因为圆心C到点的距离为，此时AB＝2＝，cos ∠ACB＝＝，所以(·)max＝4×＝1，故D正确．故选ACD.
9. 　由题意，得直线kx－y＋2＝0过定点D(0，2)，圆心为C(1，0)，半径r＝3，直线kx－y＋2＝0与圆(x－1)2＋y2＝9交于A，B两点，当D为AB的中点时，AB与CD垂直，AB最短，此时kCD＝＝－2，则k＝.
10. 2　以设备的位置为坐标原点O，其正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，则A(50，0)，B(0，50)，所以直线kAB＝＝－1，则直线AB：x＋y＝50，即x＋y－50＝0，圆O：x2＋y2＝10 000.记工作人员从N处开始被监测，到M处监测结束，因为O到直线AB的距离为OO′＝＝50(m)，所以MN＝2＝100(m)，故监测时长为＝2(min).
11. －　记A(2，0)，则k＝为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆x2＋(y－1)2＝1(x>0)相切时，斜率k最小，设lAP：y＝k(x－2)，则＝1，解得k＝－或k＝0(舍去)，即的最小值为－.
12. (1) 由题意，得C(2，0)，圆C的半径为3.
当直线l1的斜率存在时，设直线l1的方程为y－1＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋1＝0，
由直线l1与圆C相切，得＝3，解得 k＝，所以直线l1的方程为4x－3y＋7＝0；
当直线l1的斜率不存在时，则直线l1的方程为x＝－1，显然与圆C相切．
综上，直线l1的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0.
(2) 由题意，得圆心C到直线l2的距离d＝＝.
又圆C的半径r＝3，
所以MN＝2×＝.
又点P到直线l2距离的最大值为r＋d＝，
所以△PMN面积的最大值Smax＝×MN×(r＋d)＝××＝.
13. (1) 由22＋＝，得圆C的半径为，
所以圆C的方程为(x－2)2＋＝.
(2) 在(x－2)2＋＝中，
令x＝0，则y＝1或y＝4，
所以A(0，4)，B(0，1)，
所以直线BT的方程为x＋2y－2＝0.
设P(2－2y，y)，由PA2＋PB2＋PT2＝12，
得(2－2y)2＋(y－4)2＋(2－2y)2＋(y－1)2＋(2－2y－2)2＋y2＝12，
化简，得15y2－26y＋13＝0，
因为Δ＝262－4×15×13＝－104<0，
所以方程无解，
故不存在这样的点P.
(3) 由题意，得∠EAB＝∠BAF，
所以∠ECB＝∠BCF，
所以BC⊥EF，所以kEF·kBC＝－1，
即kEF·＝－1，解得kEF＝－，
所以直线EF的斜率为定值．