2.5.2 圆与圆的位置关系 课时练习（含答案）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

2．5.2　圆与圆的位置关系
一、 单项选择题
1 已知圆C：(x＋3)2＋(y－4)2＝4和两点A(－m，0)，B(m，0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数m的最大值为(　　)
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
2 (2024南京第九中学期末)在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9.若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是(　　)
A. x2＋y2＝81 B. x2＋y2＝64
C. x2＋y2＝49 D. x2＋y2＝36
3 若圆C：x2＋(y－4)2＝18与圆D：(x－1)2＋(y－1)2＝r2的公共弦长为6，则圆D的半径r为(　　)
A. 2 B. 2或2
C. 2 D. 5
4 已知点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：(x＋4)2＋(y－3)2＝9上，则下列结论中正确的是(　　)
A. 两个圆心所在直线的斜率为
B. 两个圆的相交弦所在直线的方程为3x－4y－5＝0
C. 两圆的公切线有两条
D. PQ的最小值为1
5 若存在a∈R，使直线l1：ax－y＋4a＋1＝0与l2：x＋ay－5a＝0的交点P在圆：(x－m)2＋(y－3)2＝1(m>0)上，则实数m的取值范围是　(　　)
A. (0，2－1] B. (0，2－2]
C. (0，2＋1] D. (0，2＋3]
6 已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则下列结论中错误的是(　　)
A. 圆O1和圆O2有两条公切线
B. 直线AB的方程为x－y＋1＝0
C. 圆O2上存在两点P和Q使得PQ>AB
D. 圆O1上的点到直线AB的最大距离为 2＋
二、 多项选择题
7 若圆(x－a)2＋(y－a)2＝1(a>0)上总存在到原点距离为3的点，则实数a的取值可以是(　　)
A. 1 B. C. 2 D. 3
8 (2024河南期末)已知圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，则下列结论中正确的是(　　)
A. 圆O2与x轴相切
B. 两圆公共弦所在直线的方程为x－y＋1＝0
C. 有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线
D. 两圆的公切线段长为
三、 填空题
9 (2024上饶期末)以点C(4，－3)为圆心且与圆x2＋y2＝4外切的圆的方程为________．
10 若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是________．
11 (2023深圳期中)月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见．某学习小组通过单光源实验来演示月球背面．由光源点A(0，－2)射出的两条光线与圆O：x2＋y2＝1分别相切于点M，N，称两射线AM，AN的切点上方部分与优弧MN上方所夹的平面区域(含边界)为圆O的“背面”．若以点B(a，2)(a>0)为圆心，r为半径的圆处于⊙O的“背面”，则当r取得最大值时，实数a的值为________．
四、 解答题
12 (2024扬州期末)已知点A(4，0)，P是圆C：x2＋y2＝4上的一动点，Q(x，y)是线段AP的中点．
(1) 求点Q的轨迹方程；
(2) 已知M，N是直线l：x－y＋2＝0上的两个动点，且MN＝6.若∠MQN恒为锐角，求线段MN的中点G横坐标的取值范围．
13 已知圆C：x2＋y2＋6x－6y＋8＝0，直线x－y＋2＝0是圆E与圆C的公共弦AB所在直线的方程，且圆E的圆心在直线4x－y＝0上．
(1) 求公共弦AB的长度；
(2) 求圆E的方程；
(3) 过点Q(－1，0)分别作直线MN，RS，交圆E于M，N，R，S四点，且MN⊥RS，求四边形MRNS面积的最大值与最小值．
【答案解析】
2．5.2　圆与圆的位置关系
1. B　设P(x，y).因为∠APB＝90°，所以点P在以线段AB为直径的圆上，记该圆为圆M，即此时点P的轨迹方程为x2＋y2＝m2.因为点P在圆C上，所以圆C与圆M有公共点，所以||m|－2|≤≤|m|＋2，解得3≤|m|≤7，故实数m的最大值为7.
2. A　圆C平分圆C1等价于圆C与圆C1的公共弦是圆C1的直径，同理可得圆C与圆C2的公共弦是圆C2的直径．设圆C的圆心为C(a，0)，半径为r，则(x－a)2＋y2＝r2，所以r2＝CC＋1，r2＝CC＋9，即解得所以圆C的方程为x2＋y2＝81.
3. A　两圆方程作差可得公共弦所在直线的方程为2x－6y＋r2－4＝0，则圆心C(0，4)到公共弦所在直线的距离d＝，所以6＝2，解得r2＝28，即r＝2.
4. D　对于A，圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径为r＝1，圆C2：(x＋4)2＋(y－3)2＝9的圆心为C2(－4，3)，半径为R＝3.两个圆心所在直线的斜率为＝－，故A错误；对于B，C，因为C1C2＝＝5，R＋r＝4，所以两圆外离，故没有相交弦，两圆的公切线有4条，故B，C错误；对于D，当点P，Q运动到连心线上时，PQ的最小值为1，故D正确．
5. A　由题意，得直线l1：a(x＋4)－y＋1＝0过定点A(－4，1)，直线l2：x＋a(y－5)＝0过定点B(0，5)，线段AB的中点C(－2，3)，显然a×1＋(－1)×a＝0，即直线l1⊥l2，因此直线l1，l2的交点P在以点C为圆心，AB＝2为半径的圆上(除点(－4，5)外)，则点P的轨迹方程为圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝8(x≠－4且y≠5)，又圆(x－m)2＋(y－3)2＝1(m>0)的圆心M(m，3)，半径为1.由题意，得圆C与圆M有公共点，则有2－1≤MC≤2＋1，而m>0，即2－1≤m＋2≤2＋1，因此06. C　对于A，圆O1的标准方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心为O1(1，0)，半径为r1＝2，圆O2的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，圆心为O2(0，1)，半径为r2＝，所以O1O2＝＝.因为|r1－r2|7. BC　由题意，得到原点距离为3的点的轨迹方程为x2＋y2＝9.若圆(x－a)2＋(y－a)2＝1(a>0)上总存在到原点距离为3的点，则圆(x－a)2＋(y－a)2＝1(a>0)与圆x2＋y2＝9有公共点，所以3－1≤≤3＋1，即2≤a≤4，解得≤a≤2.故选BC.
8. ACD　圆O1：(x－1)2＋y2＝1的圆心为O1(1，0)，半径r1＝1，圆O2：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为O2(－1，2)，半径r2＝2.对于A，显然圆O2与x轴相切，故A正确；对于B，O1O2＝＝2，所以|r1－r2|9. (x－4)2＋(y＋3)2＝9　设圆C的半径为r，圆x2＋y2＝4的圆心为坐标原点O，半径为2，两圆的圆心距为OC＝＝5，故r＝OC－2＝5－2＝3，所以以C(4，－3)为圆心且与圆x2＋y2＝4外切的圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝9.
10. 外切　因为点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，所以a2＋b2＝4.圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a，0)，半径r2＝1，则圆心距C1C2＝＝＝2＝r1＋r2，所以两圆外切．
11. 8－6　如图，易知切线的斜率k存在，设切线为y＝kx－2，即kx－y－2＝0，则圆心到直线的距离d＝＝1，解得k＝±，所以切线AM的方程为x－y－2＝0.当圆B与直线AM相切且与圆O外切时，半径r最大，则又圆心B在切线AM的左上方，故2>a－2，即a－4<0，则＝＋1，解得a＝8－6(舍去负值).
12. (1) 设点P(x0，y0)，因为Q(x，y)是AP的中点，
所以可得
因为点P在圆C上，
所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y)2＝4，
整理，得(x－2)2＋y2＝1，
所以点Q的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1.
(2) 设G(a，b)，则b＝a＋2.
当点P在圆C上运动时，∠MQN恒为锐角等价于以MN的中点G为圆心，3为半径的圆与圆(x－2)2＋y2＝1外离．
又圆(x－2)2＋y2＝1的圆心坐标为(2，0)，半径为1，
所以＝＝>3＋1，解得a<－2或a>2，
所以线段MN的中点G横坐标的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).
13. (1) 由题意，得圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝10的圆心C(－3，3)，r1＝，
则点C到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝2，即AB＝2＝2，
所以公共弦AB的长度是2.
(2) 由题意，得直线CE垂直平分公共弦AB.
因为kAB＝1，所以kCE＝－1，
所以直线CE的方程为x＋y＝0.
由解得即点E(0，0).
又点E到直线AB的距离为d′＝＝，
所以圆E的半径r2＝＝2，
故圆E的方程是x2＋y2＝4.
(3) 由(2)知，点Q(－1，0)在圆E内，设弦MN的中点为F，弦RS的中点为G，当直线MN，RS与x轴都不重合时，有EF⊥MN，EG⊥RS.
又MN⊥RS，所以四边形EFQG是矩形．
令EF＝d1，EG＝d2，则d＋d＝EQ2＝1，
当直线MN，RS之一与x轴重合时，d＋d＝1也成立．
因为MN＝2＝2，
RS＝2＝2，
所以四边形MRNS的面积为
S四边形MRNS＝MN·RS＝2·＝2＝2＝2，
则当d＝，即d1＝d2＝时，(S四边形MRNS)max＝7；当d1＝0，d2＝1或d1＝1，d2＝0时，(S四边形MRNS)min＝4，
所以四边形MRNS面积的最大值为7，最小值为4.