第2章 直线和圆的方程 复习 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

第2章 直线和圆的方程 复习
一、 单项选择题
1 若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程为(　　)
A. (x－2)2＋(y＋1)2＝1
B. (x－2)2＋(y－1)2＝1
C. (x－2)2＋(y＋2)2＝1
D. (x＋1)2＋(y－2)2＝1
2 已知M(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2内的一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线l：ax＋by＝r2，则下列说法中正确的是(　　)
A. m∥l且l与圆相交
B. m⊥l且l与圆相离
C. m∥l且l与圆相离
D. m⊥l且l与圆相交
3 已知圆C：x2＋y2－4x－2y＋3＝0，过原点的直线l与圆C相交于A，B两点，则当△ABC的面积最大时，直线l的方程为(　　)
A. y＝0或y＝x B. y＝2x或y＝－x
C. x＝0或y＝x D. y＝x
4 (2024全国专题练习)设m∈R，若过定点A的动直线x＋my－m＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，AB的中点为Q，则PQ的长为(　　)
A. B.
C. D. 与m的取值有关
5 若点M在C：x2＋(y＋1)2＝1上，点P在直线l：x－y＋1＝0上，则下列说法中不正确的是(　　)
A. PM的最小值为－1 B. 若PM与圆C相切，则PM的最小值为1
C. ∠CPM的最大值为 D. ∠CPM的最小值为
6 已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且满足|＋|≥||，则实数k的取值范围是(　　)
A. [，2) B. [，＋∞)
C. [，2) D. [，＋∞)
二、 多项选择题
7 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上. 这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：(x＋3)2＋y2＝r2相切，则下列结论中正确的是(　　)
A. △ABC的“欧拉线”方程为y＝x－1
B. 圆M上点到直线x＋y＋2＝0的最大距离为
C. 若点(x，y)在圆M上，则x＋y的最小值是－3－4
D. 若点(x，y)在圆M上，则的最大值是7
8 若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则下列结论中正确的有(　　)
A. a2＋b2＝1
B. 直线AB的方程为2ax＋2by－3＝0
C. AB的中点的轨迹方程为x2＋y2＝
D. 圆C1与圆C2公共部分的面积为－
三、 填空题
9 在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，A是直线x－y＋2＝0上的一个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的最小值为________．
10 (2024泊头一中期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．已知点P(0，4)，Q为直线y＝x－3上的动点，R为圆O：x2＋y2＝4上的动点，则RQ＋PR的最小值为________．
11 (2024河源期末)《测圆海镜》是金元时期李治所著中国古代数学著作，是中国古代论述容圆的一部专著，如第2卷第8题的“弦外容圆”问题是一个勾股形(直角三角形)外与弦相切的旁切圆问题，已知在Rt△ABC中，AB⊥BC，A(0，2)，B(2，0)，点C在第一象限，直线AC的方程为x－2y＋4＝0，圆E与BA的延长线、BC的延长线及线段AC都相切，则圆E的标准方程为________________．
四、 解答题
12 (2024淄博期末)已知圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，与直线x＋y－2＝0相切于点(－1，).
(1) 求圆C的标准方程；
(2) 过点(2，0)的直线与圆C相交于M，N两点，若△MNC的面积为，求该直线的方程．
13 (2024绍兴期末)已知圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝4，圆N经过点O(0，0)，A(2，0)，B(0，2).
(1) 求圆N的标准方程，并判断两圆的位置关系；
(2) 若由动点P向圆M和圆N所引的切线长相等，求动点P的轨迹方程．
【答案解析】
第2章 直线和圆的方程 复习
1. A　圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－2，1)，半径为1.点(－2，1)关于原点的对称点为C(2，－1)，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
2. C　由kOM＝＝可知以M为中点的弦所在直线m的斜率为－，则直线m的方程为y＝－x＋b＋.直线l的方程可化为y＝－x＋.因为M(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2内一点，所以 a2＋b2＝b＋可知m∥l.圆心O到直线l：ax＋by＝r2的距离d＝，即d＝>r，故直线l与圆相离．
3. A　将圆C化为标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2.因为△ABC为等腰三角形，AC＝BC＝，当∠ACB＝90°时，△ABC的面积最大，此时圆心C到直线l的距离等于r＝1.设直线l的方程为y＝kx，则＝1，解得k＝0或k＝，所以直线l的方程为y＝0或y＝x.
4. A　因为直线x＋my－m＝0过定点(0，1)，所以A(0，1).又直线mx－y－m＋3＝0可变形为m(x－1)－y＋3＝0，所以直线过定点(1，3)，故B(1，3).因为1·m＋m·(－1)＝0，所以两直线垂直，因此△ABP为直角三角形，又AB的中点为Q，所以PQ＝AB＝＝.
5. D　因为圆心C(0，－1)到直线l的距离d＝＝，所以PM的最小值为－1，故A正确；因为PM＝，所以当CP取最小值时，PM最小，且PM的最小值为1，故B正确；在直线l上任取一点P，当PM与圆C相切时，∠CPM最大，又因为P是直线上的动点，所以当CP取最小值时，sin ∠CPM＝＝≤，即∠CPM的最大值为，故C正确，D错误．
6. A　在△ABO中，设AB的中点D，连接OD，如图，则OD⊥AB.因为|＋|≥||，所以2||≥||，所以||≤2||.又因为||2＋||2＝4，所以||2≥1.因为直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，所以||2<4，所以1≤||2<4，即1≤<4，解得2≤k2<8.又k>0，所以≤k<2.
7. ACD　因为AB＝AC，所以由题意，得△ABC的欧拉线为BC的中垂线，由B(－1，3)，C(4，－2)，得BC的中点为，且kBC＝＝－1，所以线段BC的中垂线方程为y－＝x－，即x－y－1＝0，故A正确；因为△ABC的“欧拉线”与圆M: (x＋3)2＋y2＝r2相切，所以圆心(－3，0)到直线x－y－1＝0的距离d＝r＝＝2，所以圆M的方程为(x＋3)2＋y2＝8.因为圆心(－3，0)到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，所以圆M上的点到直线x＋y＋2＝0的距离的最大值为d＋r＝＋2＝，故B错误；令t＝x＋y，所以y＝，代入圆M的方程(x＋3)2＋y2＝8，可得4x2＋(18－2t)x＋t2＋3＝0，因为点(x，y)在圆上，所以方程4x2＋(18－2t)x＋t2＋3＝0有根，则Δ＝(18－2t)2－4×4×(t2＋3)≥0，整理，得t2＋6t－23≤0，解得－3－4≤t≤－3＋4，所以t的最小值为－3－4，即x＋y的最小值为－3－4，故C正确；因为表示圆上的点(x，y)与点(0，1)连线的斜率，设＝k，则y－1＝kx，即kx－y＋1＝0，所以≤2，即k2－6k－7≤0，解得－1≤k≤7，所以的最大值为7，故D正确．故选ACD.
8. BC　两圆的方程相减，得直线AB的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0.因为圆C1的圆心为C1(0，0) ，半径为1，且公共弦AB的长为1，所以圆心C1(0，0)到直线2ax＋2by－a2－b2＝0的距离为＝，所以＝，解得a2＋b2＝3，所以直线AB的方程为2ax＋2by－3＝0，故A错误，B正确；由圆的性质可知，直线C1C2垂直平分线段AB，所以圆心C1(0，0)到直线2ax＋2by－a2－b2＝0的距离即为AB的中点与圆心C1的距离．设AB的中点坐标为(x，y)，则＝，即x2＋y2＝，故C正确；因为AB＝C1A＝C1B＝1，所以∠BC1A＝，即圆C1中弧AB所对的圆心角为，所以扇形AC1B的面积为×π×12＝，△C1AB的面积为×1×1×＝，所以圆C1与圆C2公共部分的面积为2×＝－，故D错误．故选BC.
9. 2　圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心C(2，0)，半径r＝2.圆心C(2，0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝2，所以ACmin＝d＝2.因为 AC·PQ＝PA·PC，所以PQ＝＝＝＝4，所以当AC取最小值2时，PQ取最小值2.
10. 2　由阿波罗尼斯圆的定义，设R(x，y)，定点N(x0，y0)，令RN＝PR，则＝，平方后化简，得x2＋y2－x0x＋y＝.因为此方程与x2＋y2＝4为同一方程，所以解得所以点N(0，1)，所以RQ＋PR＝RQ＋RN≥QN，当且仅当R，Q，N三点共线时，等号成立，即最小值为点N(0，1)到直线y＝x－3的距离d＝＝2.
11. (x－2)2＋(y－8－2)2＝(4＋2)2　由题意可知kAB＝－1，则直线BA的方程为x＋y－2＝0.由AB⊥BC，得kBC＝1，所以直线BC的方程为x－y－2＝0.联立解得C(8，6).由圆E与BA的延长线、BC的延长线及线段AC都相切及对称性，得圆心E在∠ABC的平分线上，即直线x＝2上．如图，设E(2，t)，且t>2，由直线AB，AC与圆E相切，得＝，解得t＝8＋2或t＝8－2(舍去).结合图形可知E(2，8＋2)，此时圆心为E(2，8＋2)，半径为d＝＝4＋2，故圆E的标准方程为(x－2)2＋(y－8－2)2＝(4＋2)2.
12. (1) 由题意，得过点(－1，)且垂直于直线x＋y－2＝0的直线方程为y－＝(x＋1)，
则圆C的圆心C在直线y＝x＋2上．
联立解得即点C(－2，0)，
所以圆C的半径r＝＝2，
所以圆C的标准方程为(x＋2)2＋y2＝4.
(2) 显然直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0，
则点C到直线MN的距离d＝，
MN＝2＝4，
所以△MNC的面积S△MNC＝MN·d＝＝，解得k＝±或k＝±，
所以直线MN的方程为y＝±(x－2)或y＝±(x－2)，即x±y－2＝0或x±y－2＝0.
13. (1) 由题意可知，OA⊥OB，
则圆N是以AB为直径的圆，
所以圆N的圆心为N(1，1)，半径r＝AB＝，
所以圆N的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
又因为圆M的圆心为M(3，4)，半径R＝2，
所以MN＝＝>2＋，
即MN>R＋r，所以两圆外离．
(2) 设圆M上的切点为C，圆N上的切点为D，
由题意，得PC＝PD，即PM2－CM2＝PN2－DN2.
设P(x，y)，则(x－3)2＋(y－4)2－4＝(x－1)2＋(y－1)2－2，
整理，得4x＋6y－21＝0，
所以点P的轨迹方程为4x＋6y－21＝0.