吉林省松原市宁江区吉林油田第十二中学2023-2024学年八年级下学期开学数学试题
一、选择题，看完四个选项后再做决定！(每题2分,共12分)
1．（2024八下·宁江开学考）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2018八上·黑龙江期末）下列三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，3，3 B．3，3，6 C．3，2，5 D．3，2，6
3．（2019八上·新疆期末）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八下·宁江开学考）如图，在△ABC和△DBE中，BC=BE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DBE，则不能添加的一组条件是（ ）
A．AC=DE，∠C=∠E B．BD=AB，AC=DE
C．AB=DB，∠A=∠D D．∠C=∠E，∠A=∠D
5．（2019八上·新疆期末）已知 是一个完全平方式，则k的值是
A．12 B． C．6 D．
6．（2021八上·吴兴期末）用直角三角板作△ABC的高，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题，要注意认真审题！（(每题3分,共24分)
7．（2024八下·宁江开学考）化简= ．
8．（2020八上·铁力期末）已知 ， ，则 的值为 ．
9．（2024八下·宁江开学考）分解因式：a3b﹣ab3= .
10．（2024八下·宁江开学考）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是
11．（2016八上·永城期中）若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是 ．
12．（2024八下·宁江开学考）将一副直角三角尺ABC和CDE按如图方式放置，其中直角顶点C重合，∠D=45°，∠A=30°．若DE∥BC，则∠1的大小为 度．
13．（2024八下·宁江开学考）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一条直线上，BF=CE，AC∥DF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是 （填一个即可）
14．（2024八下·宁江开学考）计算：0.25×（﹣2）﹣2÷（16）﹣1﹣（π﹣3）0=
三、简答题，要注意认真审题呀！(每题5分,共20分)
15．（2015八上·丰都期末）解分式方程： +1= ．
16．（2024八下·宁江开学考）先化简，再求值：（2x﹣1）2﹣（2x+1）（2x﹣1）+（x+1）（x﹣3），其中x＝2．
17．（2021八上·揭西期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥AC，∠B＝50°，∠EDC＝30°.求∠ADC的度数．
18．（2024八下·宁江开学考）如图，BD、CE是△ABC的高，且AE=AD，求证：AB=AC.
四、简答题，相信自己，我做得最好！(每题7分,共28分)
19．（2024八下·宁江开学考）育才文具店第一次用4000元购进某款书包，很快卖完，临近开学，又用3600元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个，求第一次每个书包的进价是多少元？
20．（2024八下·宁江开学考）如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E，点A的坐标为（﹣2，5），求线段DE的长。
21．（2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册第五章 生活中的轴对称 达标检测卷）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
22．（2024八下·宁江开学考）先化简，再求值：，其中x=5。
五、简答题，开动脑筋，我能行！(每题8分,共16分)
23．（2024八下·宁江开学考）如图1，P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连接PQ交AC于点D．
（1）求证：PD=DQ；
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=2，求DE的长．
24．（2019八上·陵县月考）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 （填序号）．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？ ．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
六、简答题，大显身手，你能行！(每题10分,共20分)
25．（2024八下·宁江开学考）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2的阴影部分的正方形的边长是 ．
（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
【方法1】S阴影＝ ；
【方法2】S阴影＝ ；
（3） 观察如图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：
若x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．
26．（2023八上·长春净月高新技术产业开发期中）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD=BD，AC=6．
（1）求证：OB=AC；
（2）若∠ABO=25°，则∠EOD= °，∠ACB= °
（3）点F是射线BC上一点，且CF=AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，直接写出t的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义：“把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形”分析可知，A、C、D选项中的图形都是轴对称图形，只有B中的图形不是轴对称图形.
故选B.
【分析】本题考查轴对称图形的定义.根据轴对称图形的定义可知，A，C，D为轴对称图形，通过排除法可选出选项.
2．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】选项B， 3+3=6； 选项C， 3+2=5；选项D， 3+2<6．根据三角形的三边关系可得选项B、C、D不能构成三角形，
故答案为：A．
【分析】根据三角形的三边关系可求解。
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】A、a5+a5=2a5，故错误；
B、3a3 2a2=6a5，故错误；
C、a6÷a2=a4，故错误；
D、 ，故正解.
故答案为：D.
【分析】A、合并同类项时，将系数相加减，字母及字母的指数不变，据此解答即可.
B、根据单项式乘以单项式法则进行计算，然后判断即可.
C、同底幂相除，底数不变，指数相减，据此判断即可.
D、积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此判断即可.
4．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A. 已知BC=BE，再加上条件AC=DE，∠C=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DBE，故此选项不合题意，A错误；
B. 已知BC=BE，再加上条件BD=AB，AC=DE可利用SSS证明△ABC≌△DBE，故此选项不合题意，B错误；
C. 已知BC=BE，再加上条件AB=DB，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DBE，故此选项符合题意，C正确；
D. 已知BC=BE，再加上条件∠C=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DBE，故此选项不合题意，D错误；
故选C.
【分析】本题考查全等三角形的判定.A答案，添加条件后利用SAS可判定三角形全等；B答案，添加条件后利用SSS可判定三角形全等；D答案，添加条件后利用ASA可判定三角形全等.通过排除法可选出选项.
5．【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】 是一个完全平方式，
，即
，
故答案为：B.
【分析】由(a b)2=a2 2ab+b2知完全平方公式展开即是首平方a2，尾平方b2，加上或减去2ab， 从而可得kxy= 2·x·6y，继而求出k值.
6．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、B、D都不是高线，故错误；
C是高线，故正确.
故答案为：C.
【分析】从三角形一个端点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和它对边垂足之间的线段称三角形这条边上的高.
7．【答案】x+2
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：+
=
=
=
=.
【分析】本题考查分式的化简求值．先将分母化为同分母，再根据分式的加法，进行加法运算，对分子进行因式分解，约分后可以化简出式子．
8．【答案】4
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【解析】【解答】∵2a=18，2b=3，
∴2a-2b+1
=2a÷（2b）2×2
=18÷32×2
=4．
故答案为：4．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而得出答案．
9．【答案】ab(a+b)(a-b)
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：a3b﹣ab3=ab（a2﹣b2）=ab（a+b）（a﹣b）；
故答案为：ab（a+b）（a﹣b）．
【分析】本题考查因式分解．因式分解第一步先提取公因式，即先提取公因式ab，再利用平方差公式可分解出因式．
10．【答案】SSS
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是
证明如下：
由题意得，，
在和中，
，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查全等三角形的判定在实际生活中的应用．根据题意可推出：，再结合题目条件，据此可知利用判定两个三角形全等．
11．【答案】9
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9．
【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
12．【答案】105
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由题意得：DEBC
故答案为：．
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质．已知DEBC，利用平行线的性质可得∠E=∠ECB=45，根据余角的含义可求出∠B的度数，利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的另个内角的和，据此可求出∠1的度数．
13．【答案】或或
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①添加，根据定理，即，
可得；
②添加，根据定理，即，
可得；
③添加，根据定理，即，
可得
综上所述，添加一个适当的条件：或或，
故答案为：或或．
【分析】本题考查全等三角形的判定．添加，利用可判定两个三角形全等；添加，利用可判定两个三角形全等；添加，利用可判定两个三角形全等.综上可得出答案.
14．【答案】0
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】本题考查含有乘方的有理数的混合运算．先算乘方可求出的值，再根据零指数幂的意义可求出的值，再将除法运算变为乘法运算，再后算加减可求出答案．
15．【答案】解：去分母得：4x+2（x+3）=7，
解得：x= ，
经检验x= 是原方程的解，
则原方程的解是x= ．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验即可得到分式方程的解．
16．【答案】解：原式，
将代入，原式．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】本题考查整式的加减——化简求值．先利用完全平方公式、平方差公式，多项式乘以多项式的运算法则将括号进行展开、再利用合并同类项的法则进行合并同类项可求出化简后的式子：原式，最后把x的值代入化简后的式子可求出答案．
17．【答案】解：∵DE∥AC，∠EDC=30°，∴∠ACD=∠EDC=30°．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ACD=2×30°=60°．
在△ABC中，∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°．
在△ACD中，∠ADC=180°﹣∠ACD﹣∠A=180°﹣30°﹣70°=80°．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠ACD=∠EDC=30° ，根据角平分线的定义可得∠ACB=2∠ACD=60°，根据三角形的内角和定理可得∠A=170°，∠ADC=80°。
18．【答案】证明：BD，CE是△ABC的高，
，
在△ABD 和△ACE中，
（ASA）.
AB=AC．
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．先利用高线的性质可推出∠ADB=∠AEC，利用全等三角形的判定的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可证明结论．
19．【答案】解：设第一次每个书包的进价是x元，则第二次每个书包的进价是1.2x元，
根据题意列方程得：，
解得：．
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：第一次每个书包的进价是50元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题考查分式方程的应用．设第一次每个书包的进价是x元，根据题意可得等量关系为：第一次购进的书包数量－第二次购进的书包数量=20，可列出分式方程，解方程可求出解，再检验方程的解，进而求出问题的答案．
20．【答案】解：∵A（-2，5），AD⊥x轴，
∴AD=5，OD=2，
∵△ABO为等腰直角三角形，
∴OA=BO，∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠DAO=∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠DAO=∠BOE，
在△ADO和△OEB中，
，
∴△ADO≌△OEB（AAS），
∴AD=OE=5，OD=BE=2，
∴DE=OD+OE=5+2=7．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．先根据点A的坐标可得：AD=5，OD=2，再利用等腰直角三角形的性质可推出OA=BO，∠DAO=∠BOE，进而证明△ADO≌△OEB（AAS），根据全等三角形的性质可推出AD=OE=5，OD=BE=2，利用线段的运算可求出答案．
21．【答案】（1）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB=15cm
（2）解：∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 AM=CM，BN=CN， 根据三角形周长的计算方法及线段的和差等量代换即可，由 CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB， 即可算出答案；
（2）根据三角形的内角和得出 ∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°， 根据对顶角相等得出 ∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF， 故 ∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°， 根据直角三角形两锐角互余及角的和差，得出 ∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°， 根据等边对等角得出 ∠A=∠ACM，∠B=∠BCN， 最后根据三角形的内角和，由 ∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B） 即可算出答案。
22．【答案】解：
当时，
原式.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值．根据分式的运算法则：先算括号内的，先进行通分，再将除法运算转化为乘法运算，因式分解可得：原式，再进行约分可求出式子化简后的式子，再将x的值代入原式可求出答案．
23．【答案】（1）证明：如图1，过点P作PF∥BC交AC于点F；
∵PF∥BC，
∴△APF∽△ABC，
又∵△ABC是等边三角形，
∴△APF是等边三角形，
∴∠APF=∠BCA=60°，AP=PF=AF=CQ，
∴∠FDP=∠DCQ，∠FDP=∠CDQ，
∵在△PDF和△QDC中，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴PD=DQ；
（2）解：如图2，过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
由（1）可知∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE= AC，又∵AC=2，
∴DE=1．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质．
（1）过点P作PF∥BC交AC于点，据此可证明△APF∽△ABC，据此可证明△APF是等边三角形，利用全等三角形的性质可推出AP=PF=AF=CQ，∠FDP=∠DCQ，∠FDP=∠CDQ，进而证明△PDF≌△QDC，利用全等三角形的性质可证明结论；
（2）过P作PF∥BC交AC于F，据此可得出等边三角形APF，利用全等三角形的性质可得：AP=PF=QC，根据等腰三角形性质可推出EF=AE，进而证明△PFD≌△QCD，利用全等三角形的性质可得：FD=CD，利用线段的运算可求出答案．
24．【答案】（1）C
（2）否；（x﹣2）4
（3）解：设为x2﹣2x＝t，
则原式=t（t+2）+1
=t2+2t+1
=（t+1）2
=（x2﹣2x+1）2
=（x﹣1）4.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故答案为：C；（2）这个结果没有分解到最后，
原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；
故答案为：否，（x﹣2）4；
【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；（3）将 看作整体进而分解因式即可．
25．【答案】（1）
（2）；
（3）
（4）解：由（2）知
∵，，
∴
∴或．
【知识点】完全平方公式的几何背景；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）图2中阴影部分为边长为的正方形
（2）（方法1）图2中阴影部分为边长为的正方形，
；
（方法2）图2中阴影部分可看成在边长为的正方形中减去4个长为、宽为的长方形，
．
故答案为：；．
（3）解：由（1）可知：
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景、正方形的面积公式，长方形的面积公式．
（1）观察图2可得阴影正方形的边长等于；
（2）（方法1）图2中阴影部分为边长为的正方形，利用正方形的面积公式可求出；
（方法2）图2中阴影部分可看成在边长为的正方形中减去4个长为、宽为的长方形，利用正方形及长方形的面积公式可求出；
（3）由阴影部分的面积相等可得出：；
（4）由（3）知，代入数据可求出答案．
26．【答案】（1）证明：∵
∴
∴
∵
∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS）
∴OB=AC
（2）110；70
（3）t=1.2或2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；三角形全等及其性质；多边形内角与外角；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：（2）∵AD=BD，AD⊥BC
∴
∴
∴
故答案为：110，70
（3）①当点F在BC延长线上时，设t时刻，P，Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ
∵
∴当△AOP≌△FCQ时，OP=CQ
∵OP=t，CQ=6-4t
∴t=6-4t
解得：t=1.2
②当F在BC之间时，设t时刻，P，Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ
∵
∴当△AOP≌△FCQ时，OP=CQ
∵OP=t，CQ=4t-6
∴t=4t-6
解得：t=2
综上所述，t=1.2或2
【分析】（1）根据对顶角相等，三角形的高的性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得Rt△BDO≌Rt△ADC，则OB=AC，即可求出答案.
（2）由AD=BD，AD⊥BC可得，可求出，再根据三角形外角性质和四边形内角和定理即可求出答案.
（3）分当点F在BC延长线上，F在BC之间，根据全等三角形性质即可求出答案.
1 / 1吉林省松原市宁江区吉林油田第十二中学2023-2024学年八年级下学期开学数学试题
一、选择题，看完四个选项后再做决定！(每题2分,共12分)
1．（2024八下·宁江开学考）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义：“把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形”分析可知，A、C、D选项中的图形都是轴对称图形，只有B中的图形不是轴对称图形.
故选B.
【分析】本题考查轴对称图形的定义.根据轴对称图形的定义可知，A，C，D为轴对称图形，通过排除法可选出选项.
2．（2018八上·黑龙江期末）下列三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，3，3 B．3，3，6 C．3，2，5 D．3，2，6
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】选项B， 3+3=6； 选项C， 3+2=5；选项D， 3+2<6．根据三角形的三边关系可得选项B、C、D不能构成三角形，
故答案为：A．
【分析】根据三角形的三边关系可求解。
3．（2019八上·新疆期末）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】A、a5+a5=2a5，故错误；
B、3a3 2a2=6a5，故错误；
C、a6÷a2=a4，故错误；
D、 ，故正解.
故答案为：D.
【分析】A、合并同类项时，将系数相加减，字母及字母的指数不变，据此解答即可.
B、根据单项式乘以单项式法则进行计算，然后判断即可.
C、同底幂相除，底数不变，指数相减，据此判断即可.
D、积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此判断即可.
4．（2024八下·宁江开学考）如图，在△ABC和△DBE中，BC=BE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DBE，则不能添加的一组条件是（ ）
A．AC=DE，∠C=∠E B．BD=AB，AC=DE
C．AB=DB，∠A=∠D D．∠C=∠E，∠A=∠D
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A. 已知BC=BE，再加上条件AC=DE，∠C=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DBE，故此选项不合题意，A错误；
B. 已知BC=BE，再加上条件BD=AB，AC=DE可利用SSS证明△ABC≌△DBE，故此选项不合题意，B错误；
C. 已知BC=BE，再加上条件AB=DB，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DBE，故此选项符合题意，C正确；
D. 已知BC=BE，再加上条件∠C=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DBE，故此选项不合题意，D错误；
故选C.
【分析】本题考查全等三角形的判定.A答案，添加条件后利用SAS可判定三角形全等；B答案，添加条件后利用SSS可判定三角形全等；D答案，添加条件后利用ASA可判定三角形全等.通过排除法可选出选项.
5．（2019八上·新疆期末）已知 是一个完全平方式，则k的值是
A．12 B． C．6 D．
【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】 是一个完全平方式，
，即
，
故答案为：B.
【分析】由(a b)2=a2 2ab+b2知完全平方公式展开即是首平方a2，尾平方b2，加上或减去2ab， 从而可得kxy= 2·x·6y，继而求出k值.
6．（2021八上·吴兴期末）用直角三角板作△ABC的高，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、B、D都不是高线，故错误；
C是高线，故正确.
故答案为：C.
【分析】从三角形一个端点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和它对边垂足之间的线段称三角形这条边上的高.
二、填空题，要注意认真审题！（(每题3分,共24分)
7．（2024八下·宁江开学考）化简= ．
【答案】x+2
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：+
=
=
=
=.
【分析】本题考查分式的化简求值．先将分母化为同分母，再根据分式的加法，进行加法运算，对分子进行因式分解，约分后可以化简出式子．
8．（2020八上·铁力期末）已知 ， ，则 的值为 ．
【答案】4
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【解析】【解答】∵2a=18，2b=3，
∴2a-2b+1
=2a÷（2b）2×2
=18÷32×2
=4．
故答案为：4．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而得出答案．
9．（2024八下·宁江开学考）分解因式：a3b﹣ab3= .
【答案】ab(a+b)(a-b)
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：a3b﹣ab3=ab（a2﹣b2）=ab（a+b）（a﹣b）；
故答案为：ab（a+b）（a﹣b）．
【分析】本题考查因式分解．因式分解第一步先提取公因式，即先提取公因式ab，再利用平方差公式可分解出因式．
10．（2024八下·宁江开学考）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是
【答案】SSS
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是
证明如下：
由题意得，，
在和中，
，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查全等三角形的判定在实际生活中的应用．根据题意可推出：，再结合题目条件，据此可知利用判定两个三角形全等．
11．（2016八上·永城期中）若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是 ．
【答案】9
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9．
【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
12．（2024八下·宁江开学考）将一副直角三角尺ABC和CDE按如图方式放置，其中直角顶点C重合，∠D=45°，∠A=30°．若DE∥BC，则∠1的大小为 度．
【答案】105
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由题意得：DEBC
故答案为：．
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质．已知DEBC，利用平行线的性质可得∠E=∠ECB=45，根据余角的含义可求出∠B的度数，利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的另个内角的和，据此可求出∠1的度数．
13．（2024八下·宁江开学考）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一条直线上，BF=CE，AC∥DF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是 （填一个即可）
【答案】或或
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①添加，根据定理，即，
可得；
②添加，根据定理，即，
可得；
③添加，根据定理，即，
可得
综上所述，添加一个适当的条件：或或，
故答案为：或或．
【分析】本题考查全等三角形的判定．添加，利用可判定两个三角形全等；添加，利用可判定两个三角形全等；添加，利用可判定两个三角形全等.综上可得出答案.
14．（2024八下·宁江开学考）计算：0.25×（﹣2）﹣2÷（16）﹣1﹣（π﹣3）0=
【答案】0
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】本题考查含有乘方的有理数的混合运算．先算乘方可求出的值，再根据零指数幂的意义可求出的值，再将除法运算变为乘法运算，再后算加减可求出答案．
三、简答题，要注意认真审题呀！(每题5分,共20分)
15．（2015八上·丰都期末）解分式方程： +1= ．
【答案】解：去分母得：4x+2（x+3）=7，
解得：x= ，
经检验x= 是原方程的解，
则原方程的解是x= ．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验即可得到分式方程的解．
16．（2024八下·宁江开学考）先化简，再求值：（2x﹣1）2﹣（2x+1）（2x﹣1）+（x+1）（x﹣3），其中x＝2．
【答案】解：原式，
将代入，原式．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】本题考查整式的加减——化简求值．先利用完全平方公式、平方差公式，多项式乘以多项式的运算法则将括号进行展开、再利用合并同类项的法则进行合并同类项可求出化简后的式子：原式，最后把x的值代入化简后的式子可求出答案．
17．（2021八上·揭西期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥AC，∠B＝50°，∠EDC＝30°.求∠ADC的度数．
【答案】解：∵DE∥AC，∠EDC=30°，∴∠ACD=∠EDC=30°．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ACD=2×30°=60°．
在△ABC中，∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°．
在△ACD中，∠ADC=180°﹣∠ACD﹣∠A=180°﹣30°﹣70°=80°．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠ACD=∠EDC=30° ，根据角平分线的定义可得∠ACB=2∠ACD=60°，根据三角形的内角和定理可得∠A=170°，∠ADC=80°。
18．（2024八下·宁江开学考）如图，BD、CE是△ABC的高，且AE=AD，求证：AB=AC.
【答案】证明：BD，CE是△ABC的高，
，
在△ABD 和△ACE中，
（ASA）.
AB=AC．
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．先利用高线的性质可推出∠ADB=∠AEC，利用全等三角形的判定的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可证明结论．
四、简答题，相信自己，我做得最好！(每题7分,共28分)
19．（2024八下·宁江开学考）育才文具店第一次用4000元购进某款书包，很快卖完，临近开学，又用3600元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个，求第一次每个书包的进价是多少元？
【答案】解：设第一次每个书包的进价是x元，则第二次每个书包的进价是1.2x元，
根据题意列方程得：，
解得：．
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：第一次每个书包的进价是50元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题考查分式方程的应用．设第一次每个书包的进价是x元，根据题意可得等量关系为：第一次购进的书包数量－第二次购进的书包数量=20，可列出分式方程，解方程可求出解，再检验方程的解，进而求出问题的答案．
20．（2024八下·宁江开学考）如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E，点A的坐标为（﹣2，5），求线段DE的长。
【答案】解：∵A（-2，5），AD⊥x轴，
∴AD=5，OD=2，
∵△ABO为等腰直角三角形，
∴OA=BO，∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠DAO=∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠DAO=∠BOE，
在△ADO和△OEB中，
，
∴△ADO≌△OEB（AAS），
∴AD=OE=5，OD=BE=2，
∴DE=OD+OE=5+2=7．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．先根据点A的坐标可得：AD=5，OD=2，再利用等腰直角三角形的性质可推出OA=BO，∠DAO=∠BOE，进而证明△ADO≌△OEB（AAS），根据全等三角形的性质可推出AD=OE=5，OD=BE=2，利用线段的运算可求出答案．
21．（2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册第五章 生活中的轴对称 达标检测卷）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
【答案】（1）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB=15cm
（2）解：∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 AM=CM，BN=CN， 根据三角形周长的计算方法及线段的和差等量代换即可，由 CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB， 即可算出答案；
（2）根据三角形的内角和得出 ∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°， 根据对顶角相等得出 ∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF， 故 ∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°， 根据直角三角形两锐角互余及角的和差，得出 ∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°， 根据等边对等角得出 ∠A=∠ACM，∠B=∠BCN， 最后根据三角形的内角和，由 ∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B） 即可算出答案。
22．（2024八下·宁江开学考）先化简，再求值：，其中x=5。
【答案】解：
当时，
原式.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值．根据分式的运算法则：先算括号内的，先进行通分，再将除法运算转化为乘法运算，因式分解可得：原式，再进行约分可求出式子化简后的式子，再将x的值代入原式可求出答案．
五、简答题，开动脑筋，我能行！(每题8分,共16分)
23．（2024八下·宁江开学考）如图1，P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连接PQ交AC于点D．
（1）求证：PD=DQ；
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=2，求DE的长．
【答案】（1）证明：如图1，过点P作PF∥BC交AC于点F；
∵PF∥BC，
∴△APF∽△ABC，
又∵△ABC是等边三角形，
∴△APF是等边三角形，
∴∠APF=∠BCA=60°，AP=PF=AF=CQ，
∴∠FDP=∠DCQ，∠FDP=∠CDQ，
∵在△PDF和△QDC中，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴PD=DQ；
（2）解：如图2，过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
由（1）可知∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE= AC，又∵AC=2，
∴DE=1．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质．
（1）过点P作PF∥BC交AC于点，据此可证明△APF∽△ABC，据此可证明△APF是等边三角形，利用全等三角形的性质可推出AP=PF=AF=CQ，∠FDP=∠DCQ，∠FDP=∠CDQ，进而证明△PDF≌△QDC，利用全等三角形的性质可证明结论；
（2）过P作PF∥BC交AC于F，据此可得出等边三角形APF，利用全等三角形的性质可得：AP=PF=QC，根据等腰三角形性质可推出EF=AE，进而证明△PFD≌△QCD，利用全等三角形的性质可得：FD=CD，利用线段的运算可求出答案．
24．（2019八上·陵县月考）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 （填序号）．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？ ．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【答案】（1）C
（2）否；（x﹣2）4
（3）解：设为x2﹣2x＝t，
则原式=t（t+2）+1
=t2+2t+1
=（t+1）2
=（x2﹣2x+1）2
=（x﹣1）4.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故答案为：C；（2）这个结果没有分解到最后，
原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；
故答案为：否，（x﹣2）4；
【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；（3）将 看作整体进而分解因式即可．
六、简答题，大显身手，你能行！(每题10分,共20分)
25．（2024八下·宁江开学考）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2的阴影部分的正方形的边长是 ．
（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
【方法1】S阴影＝ ；
【方法2】S阴影＝ ；
（3） 观察如图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：
若x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．
【答案】（1）
（2）；
（3）
（4）解：由（2）知
∵，，
∴
∴或．
【知识点】完全平方公式的几何背景；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）图2中阴影部分为边长为的正方形
（2）（方法1）图2中阴影部分为边长为的正方形，
；
（方法2）图2中阴影部分可看成在边长为的正方形中减去4个长为、宽为的长方形，
．
故答案为：；．
（3）解：由（1）可知：
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景、正方形的面积公式，长方形的面积公式．
（1）观察图2可得阴影正方形的边长等于；
（2）（方法1）图2中阴影部分为边长为的正方形，利用正方形的面积公式可求出；
（方法2）图2中阴影部分可看成在边长为的正方形中减去4个长为、宽为的长方形，利用正方形及长方形的面积公式可求出；
（3）由阴影部分的面积相等可得出：；
（4）由（3）知，代入数据可求出答案．
26．（2023八上·长春净月高新技术产业开发期中）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD=BD，AC=6．
（1）求证：OB=AC；
（2）若∠ABO=25°，则∠EOD= °，∠ACB= °
（3）点F是射线BC上一点，且CF=AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，直接写出t的值．
【答案】（1）证明：∵
∴
∴
∵
∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS）
∴OB=AC
（2）110；70
（3）t=1.2或2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；三角形全等及其性质；多边形内角与外角；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：（2）∵AD=BD，AD⊥BC
∴
∴
∴
故答案为：110，70
（3）①当点F在BC延长线上时，设t时刻，P，Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ
∵
∴当△AOP≌△FCQ时，OP=CQ
∵OP=t，CQ=6-4t
∴t=6-4t
解得：t=1.2
②当F在BC之间时，设t时刻，P，Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ
∵
∴当△AOP≌△FCQ时，OP=CQ
∵OP=t，CQ=4t-6
∴t=4t-6
解得：t=2
综上所述，t=1.2或2
【分析】（1）根据对顶角相等，三角形的高的性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得Rt△BDO≌Rt△ADC，则OB=AC，即可求出答案.
（2）由AD=BD，AD⊥BC可得，可求出，再根据三角形外角性质和四边形内角和定理即可求出答案.
（3）分当点F在BC延长线上，F在BC之间，根据全等三角形性质即可求出答案.
1 / 1
