湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题（含答案）

湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题
考试时间：2024年5月29日下午15：00-17：00 试卷满分：150分
注意事项:
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合,则
A. B. C. D.
2.在复平面内,复数满足,则复数的虚部为
A.-1 B. C.-2 D.
3.已知,则
A. B. C. D.
4.对于两条不同直线m,n和两个不同平面,以下结论中正确的是
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
5.一个圆台的上、下底面的半径为1和4,母线为5,则该圆台的体积为
A. B. C. D.
6.若,则
A. B. C. D.
7.已知向量满足,且,则
A. B. C. D.
8.已知函数对都有,若的图象关于直线对称,且对,当时,都有,则下列结论正确的是
A. B.是奇函数 C.是周期为4的周期函数 D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.已知为虚数单位,下列说法正确的是
A.若复数,则 B.若复数满足,则
C.若复数满足,则或
D.若复数满足,则在复平面内对应的点的轨迹为直线
10.对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是
A.函数的图象关于原点对称 B.函数的值域为
C.对于任意的,不等式恒成立
D.不等式的解集为
11.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体也称为“阿基米德多面体”,如图所示的半正多面体由正方体截去八个一样的四面体得到的,其棱长为1,也称为二十四等边体.关于如图所示的二十四等边体,下列说法正确的是
A.和的夹角为 B.该几何体的体积为
C.平面ELI与平面DCG的距离为 D.二十四等边体表面上任意两点间距离最大为2
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.如图,已知的半径为2,弦AB的长度为3,则____________.
13.在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图,四棱锥为阳马，侧棱底面为棱PA的中点,则直线CE与平面PAB所成角的余弦值为____________.
14.如图,在中,分别是边AB,AC上的点,,且,点是线段DE的中点,且,则____________.
四、解答题：本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
已知向量,向量与向量的夹角为.
(1)求的值.
(2)若,求实数的值.
(3)在（2）的条件下,求向量在向量方向上的投影向量的坐标.
16.(15分)
已知函数的最小正周期为.
(1)求的解析式;
(2)求在上的单调增区间.
17.(15分)
如图,在正三棱柱中,分别是的中点.
(1)若点E为矩形内动点,使得面CPN,求线段ME的最小值;
(2)求证:面.
18.(17分)
已知分别为锐角三角形ABC三个内角的对边,且.
(1)求;
(2)若为BC的中点,求中线AD的取值范围.
19.(17分)
已知集合且是定义在上的一系列函数,满足,.
(1)求的解析式;
(2)若为定义在上的函数,且.
①求的解析式;
②若关于的方程有且仅有一个实根,求实数的取值范围.
新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期5月联考
高一数学答案
选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C B A C D D D AD BCD BCD
填空题：
12. 13. 14.
解答题:
15.(13分)
解：（1）由题意得：,
.分
(2),且,即,解得:.分
(3)在（2）的条件下，,
则与向量同向的单位向量,
又向量在向量方向上的投影为:,
向量在向量方向上的投影向量为:.....13分
16.(15分)
解:(1),
因为,所以,所以.分
（1）令,得,
又,所以在上的单调增区间为.……………………15分
17.(15分)
(1)解:连接,在正方形中,因为面面CPN,所以面CPN,在三角形中,
因为面面CPN,所以面CPN.
因为,所以面面CPN.
所以,在中
当时ME最小,所以ME的最小值为;分
(2)在正方形中有,若的交点为,
连接MD、DN,即有矩形MCND,所以,
又,,所以面,所以面,
又面,所以,又,
所以面......15分
18.(17分)
解：（1）根据正弦定理,可得,
即
整理得,即,又
所以,即......6分
(2)因为,两边平方得,,
在中,由余弦定理得,,即,
所以,
在中,由正弦定理得,,
所以,所以
因为为锐角三角形,所以且,得,
所以,所以,所以,
所以中线AD的取值范围是.
19.(17分)
解:(1)因为,所以,
……………………………………………………4分
(2)①由（1）得
又
则②,
由②-③得
由①-④得
所以;.....9分
②由①得,
即,
即,
即,
当时,不成立,
所以,
故,
令,
因为,故,
所以在上仅有一个实根,
令,
则,
即在上仅有一个实根，
如图所示,画出函数的图像,
由图可知,或,
所以或......17分