黑龙江省牡丹江市第二高级中学2023-2024学年高三下学期考前热身卷数学（三）（pdf版，含解析）

牡丹江市第二高级中学高三年级高考考前热身卷（三）
数学
一 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1 2．已知全集为R ，集合 A x x 5x 6 ，集合 B x x 2 ，则 B RA （ ）
A． 6, B． 6, C． , 1 D． , 1
2．若复数 z满足 z 1 i 1 3i ，则 z （ ）
1 1
A． B． C．1 i D．1 i
1 i 1 i
3．已知向量 a (3, 1) ，b ( 2,m 1)，若 a (a 2b )，则m （ ）
A． 1 B． 2 C．1 D．0
tan 3π 4．已知 2 ，则 tan 2 （ ）
4
3 3 3 3
A． B． C． D．-
4 4 5 5
5．已知不恒为零的函数 f x 为定义在R上的奇函数，且函数 f x 1 为偶函数，则
f 2024 （ ）
A． 1 B．0 C．1 D．2
5π
6．下面关于函数 f x 2cos 2x

叙述中正确的是（ ）
6
π
A．关于直线 x 对称
6
πB．关于点 ,0

6 对称

C．在区间 0,
π
上单调递减 3
D．函数 f x π的零点是 +kπ k Z
6
2 2
7 x y．已知 F1,F2 分别是椭圆C : 2 1(a 0)的左、右焦点，过点F1的直线交C于 A,B两a 6
点，若 AF2 BF2 的最大值为 8，则C的离心率为（ ）.
试卷第 1页，共 4页
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A 3 B 3 6 1． ． C． D．
3 2 3 2
8．在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， ABC为等边三角形， AB 2 3,BB1 2 5 ，则三棱柱
ABC - A1B1C1 的外接球的体积为（ ）
A． 25π B． 29π C．32π D．36π
二 多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分．
9．已知 a,b,c R ，下列选项中是“ a b ”的充分条件的是（ ）
1 1
A． a c b c B． 0
b a
a b
C． 2 2
c2

c2
D． a b
10．已知圆 x2 y2 2x 4y 1 0 关于直线 2ax by 2 0(a,b R) 对称，则下列结论中正
确的是（ ）
A．圆 x2 y2 2x 4y 1 0 的圆心是 ( 1, 2) B．圆 x2 y2 2x 4y 1 0 的半径是 4
1
C．a b 1 D．ab的取值范围是 ,
4
11．设函数 f x 在R 上可导，其导函数为 f x ，且函数 y 1 x f x 的图象如图所示，
则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数 f x 在 2, 上为增函数 B．函数 f x 在 2,1 上为增函数
C．函数 f x 有极大值 f 2 和极小值 f 1 D．函数 f x 有极大值 f 2 和极小值 f 2
三 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．将 5 名志愿者分配到四个社区协助开展活动，每名志愿者只能到 1 个社区，每个社区至
少 1 名，则不同的分配方法数是 .
13．已知等比数列 an 中， a1 3，且 a2 4， a3 4 ， a4 2成等差数列，则数列 an 公比
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABDQiAoggoAJJAAQgCQw2iCACQkAAAAQgOgEAAsAABwQFABAA=}#}
为 .
14．球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截
得的一段叫做球冠的高球体被平面截下的一部分几何体叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂
直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在
的圆面所围成的几何体．如图 1，一个球面的半径为 R，球冠的高是 h，球冠的表面积公式
1
是 S 2πRh 2，与之对应的球缺的体积公式是V πh 3R h ．如图 2，已知C,D是以 AB为
3
π 2
直径的圆上的两点， AOC BOD ,S π扇形COD ，则扇形COD绕直线 AB旋转一周形3 3
成的几何体的表面积为 ，体积为 ．
四 解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步
骤．
15．2024 年 3 月 28 日，小米 SU7 汽车上市，24 小时预定 88898 台.小米集团为了了解小米
手机用户订购小米 SU7 的意愿与用户是小米粉丝是否有关，随机抽取了 200 名小米手机用
户进行调查，得到下表.
已订购小米 SU7 未订购小米 SU7 总计
是小米粉丝 80
非小米粉丝 40 80
总计
(1)补全表中数据，依据小概率值 0.005的独立性检验，是否能够认为小米手机用户订购
小米 SU7 的意愿与用户是小米粉丝有关
(2)小米集团打算从已订购小米 SU7 的用户中采用按比例分配的分层随机抽样的方式抽取 6
人，再从这 6 人中抽取 3 人听取建议，求这 3 人中恰有 2 人是小米粉丝的概率.
2 n(ad bc)2
附: ，其中n a b c d .
(a b)(c d)(a c)(b d)
试卷第 3页，共 4页
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0.010 0.005 0.001
x0 6.635 7.879 10.828
16．如图所示，圆台O1O2 的轴截面 A1ACC1 为等腰梯形， AC 2AA1 2A1C1 4,B为底面圆
周上异于 A,C的点，且 AB BC,P是线段 BC的中点.
(1)求证：C1P / / 平面 A1AB .
(2)求平面 A1AB与平面C1CB夹角的余弦值.
2 2
17．已知椭圆C : x y 1 a b 0 过点 0, 3 ，直线 l过C的上顶点和右焦点，l的倾斜
a2 b2
角为 ，且满足 tan tan 2 0 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设 A,B两点为椭圆C的左、右顶点，点 P（异于左、右顶点）为椭圆C上一动点，直线 PA，
PB的斜率分别为 k1， k2 ，求证： k1 k2 为定值.
x
18 x．已知函数 f x
ex
ae ,a R ．
(1)当 a 0时，求 f x 在 x 1处的切线方程；
(2)当 a 1时，求 f x 的单调区间和极值；
(3) x 1若对任意 x R ，有 f x e 恒成立，求 a的取值范围．
19．设 a1,a2 , ,an为1,2,3, ,n的一个排列，若该排列中有且仅有一个 i满足 ai ai 1，
i {1,2, ,n 1}，则称该排列满足性质T .对任意正整数 n，记 dn为满足性质T的排列
a1,a2 , ,an的个数.
(1)求d1,d2 ,d3 的值；
(2)若n 4，求满足性质T的所有排列的情形；
(3)求数列 dn 的通项公式.
试卷第 4页，共 4页
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参考答案：
1 2．C【详解】 A x x 5x 6 x 1 x 6 ，则 RA x | x 1或 x 6 ，
所以 B RA , 1 .故选：C.
2．D
2 2(1 i)
【详解】由 z(1 i) |1 3i |，得 z(1 i) 12 ( 3)2 ，则 z 1 i1 i (1 i)(1 i) ，
所以 z 1 i .故选：D

3．D【详解】因为 a (3, 1) ，b ( 2,m 1) a ，所以 2b ( 1, 3 2m)，
a

因为 (a 2b )，所以 a a 2b 0 ，即 1 3 1 3 2m 0，解得m 0 .
故选:D．
3π 1 tan 1
4．B【详解】由已知 tan 2 ，得 2，解得 tan ，
4 1 tan 3
2 1
所以 tan 2α
2 tan α 3 3= = =
1- tan 2 α 2 4 .故选：骣 B．
1 1-琪
桫3
5．B【详解】由于函数 f x 1 为偶函数，则 f x 1 f x 1 ，即 f x 2 f x ，
又 f x 为定义在R 上的奇函数，所以 f 0 0，且 f x f x ，
所以 f x 2 f x ，则 f x 4 f x 2 f x ，
故 f x 的一个周期为 4，则 f 2024 f 506 4 0 f 0 0 .故选：B．
π
6 B
5π π
． 【详解】由 f 2cos 2 0，所以 A 错，B 对；
6 6 6
由 f x 2cos 5π 2x

2cos 2x
5π

6 6
，

2kπ 2x 5π 2kπ π, k Z kπ 5π 11π所以 x kπ , k Z ，
6 12 12
0, π 5π 11π 又 3 不是
, 子集，故 C 错；
12 12
cos 2x 5π 0 x 1 2π由 kπ , k Z ，故 D 错；
6 2 3
故选：B
高三年级·数学·试题 第 5 页 共 12 页
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7．A【详解】由椭圆的定义，可知 AB AF2 BF2 AF1 AF2 BF1 BF2 4a，
所以当 AB 最小时， AF2 BF2 最大，
由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，
2b2 12
当直线 AB垂直于 x轴时， AB 取得最小值 ，此时 AF2 BF2 4a
12
8 ，
a a a
2 2 2
由 a 0解得 a 3 c a b 3 6 3，此时C的离心率 e .故选：A.
a a 3 3
8．D【详解】如图，N ,M 分别是正三棱柱上、下底面中心，MN是棱柱的高，则MN的中点
O是该三棱柱外接球的球心，
1
外接球半径 R OA (AM )2 (OM )2 ．其中OM BB1 5 M 点为 ABC外接圆圆心，2
AM 为外接圆半径， ABC 2 2 3为正三角形， AM AE 2 3 2（ E是 BC边中点）．
3 3 2
R 3 V 4 πR 3 4所以外接球半径 ．从而外接球体积为 π 27 36π ．故选：D．
3 3
9．【答案】ABC【详解】对于 A，因为 a c b c，所以 a b，故 A 符合题意；
1 1 0 1 1 a b对于 B，因为 ，所以 0，所以 a b 0，即 a b，故 B 符合题意；
b a b a ab
a b
C a b a b对于 ，因为 2 c c2
，所以 2 2 2 0，即 a b，故 C 符合题意；c c c
对于 D，取 a 1 b 0，但有 a2 1 b2 0 ，故 D 不符合题意.
故选：ABC.
高三年级·数学·试题 第 6 页 共 12 页
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10．ACD【详解】将圆的方程化为标准方程可得 (x 1)2 (y 2)2 4 ，所以该圆的圆心为 ( 1, 2)，
半径为 2，故选项 A 正确，选项 B 不正确．
由已知可得，直线 2ax by 2 0经过圆心，所以 2a ( 1) 2b 2 0 ，整理可得 a b 1，故
2
C C b 1 a ab a(1 a) 1 1 1选项 正确．由选项 知 ，所以 a

2
，所以 ab的取值范
4 4
1
围是 , ，故选项 D 正确．故选：ACD．
4
11．【详解】由图可知当 x 2时 1 x f x 0 ，所以 f (x) > 0 ，
当1 x 2时 1 x f x 0，所以 f x 0，
当 2当 x< 2时 1 x f x 0 ，所以 f (x) > 0 ，
所以 f x 在 2, 上为增函数，在 1,2 上为减函数，在 2,1 上为减函数，
在 , 2 上为增函数，故 A 正确，B 错误，
则 f x 在 x 2处取得极大值， x 2处取得极小值，
即函数 f x 有极大值 f 2 和极小值 f 2 ，故 C 错误，D 正确.
故选：AD
12 2．【答案】240【详解】把 5 名志愿者分成 4 组，有C5 种分法，
4
再把每一种分法的 4 组分配到 4 个社区有A4 种方法，
C2A4所以不同的分配方法数是 5 4 240 .
故答案为：240.
13 n 1． 2 【详解】设等比数列 an 的公比为q，则 an 3q ，
由已知 2 a3 4 a2 4 a 2 2 3 24 ，所以 2 3q 4 3q 3q 2 ，即 q 2 q 1 0，
解得 q= 2 .故答案为： 2
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16
14． 8π 4 3π π3
【详解】因为 AOC
π π π
BOD ，所以 DOC π 2 ，
3 3 3
1 π
设圆的半径为 R，又 S COD R
2 2 π
扇形 ，解得 R 2，2 3 3
过点C作CE AB交 AB于点 E，过点D作DF AB交 AB于点 F ，
π 3 π R
则CE OCsin R，OE OCcos ，
3 2 3 2
将扇形COD绕直线 AB旋转一周形成的几何体为一个半径 R 2 的球中上下截去两个球缺所
R R 3
剩余部分再挖去两个圆锥，其中球缺的高 h ，圆锥的高 h1 ，底面半径2 r R
，
2 2
2 2 2
则其中一个球冠的表面积 S1 2πRh πR 4π，球的表面积 S2 4πR 4π 2 16π，
3
圆锥的侧面积 S3 π R R 2 3π，所以几何体的表面积 S S2 2S1 2S3 8π 4 3π ．2
球的体积V
4
1 πR
3 4 π 32 8 π ，一个球缺的体积
3 3 3
V 1 πh 2 3R h 1 π R
2
3R R 5
1 2
2 3 0 0
π ，圆锥的体积V π ( 3) 1 π ，
3 2 2 3
3 3
V V 2V 2V 32 5所以几何体的体积 1 2 3 π 2 π
16
2 π π ．
3 3 3
16
故答案为：8π 4 3π ； π3
15【详解】（1）
已订购小米 SU7 未订购小米 SU7 总计
是小米粉丝 80 40 120
非小米粉丝 40 40 80
总计 120 80 200
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零假设为H0 :小米手机用户订购小米 SU7 的意愿与用户是小米粉丝没有关联，
200(80 40 40 40) 2
由列联表中的数据，得 2 5.556 7.879 x
120 80 120 80 0,005
，
依据小概率值 0.005的独立性检验，没有充分证据推断H0 不成立，因此可以认为H0 成立，
即能够认为小米手机用户订购小米 SU7 的意愿与用户是小米粉丝没有关联；
（2）从已订购小米 SU7 的用户中按比例分配的分层随机抽样的方式抽取 6 人，其中小米粉丝
80 40
有6 4人，非小米粉丝有 6 2人.
40 80 40 80
C2C1 3
设 3 人中恰有 2 人是小米粉丝为事件A ，则 P(A) 4 23 ．C6 5
16．【详解】（1）取 AB的中点H，连接 A1H , PH，如图所示，
1
因为 P为 BC的中点，所以PH / / AC,PH AC .2
1
在等腰梯形 A1ACC1 中， A1C1 / / AC, A1C1 AC，2
所以HP / / A1C1,HP A1C1，所以四边形 A1C1PH 为平行四边形，
所以C1P / / A1H ，又 A1H 平面 A1AB,C1P 平面 A1AB，所以C1P / / 平面 A1AB .
（2）因为 AB BC ,故O2B AC，以直线O2A,O2B，O2O1分别为 x, y, z轴，建立空间直角坐
标系，如图所示，
AC AC 2
在等腰梯形 A1ACC1 中， AC 2AA1 2A1C1 4，此梯形的高为 h AA2 1 1 1 3 .
2
1
因为 A1C1 AC, A1C1 / / AC，2
则O2 0,0,0 ,A 2,0,0 ,A1 1,0, 3 ,B 0,2,0 , C 2,0,0 ,C1 1,0, 3 ，

所以 BC1 ( 1, 2, 3),BC ( 2, 2,0), AB ( 2,2,0), A1B ( 1,2, 3) .
高三年级·数学·试题 第 9 页 共 12 页
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2x 2y 0,
设平面 A1AB

的法向量为m x, y, z 3，则 令 y 1，得m 1,1, .
x 2y 3z 0, 3

设平面C1CB的法向量为 n

a,b,c a 2b 3c 0, ，则 令 a 3，得 n ( 3, 3, 1) .
2a 2b 0,
m n
3

A AB C CB 1设平面 1 与平面 1 的夹角为 ，则 cos cosm ,n 3 .m n 7 7
7
3
2 tan
17．【详解】（1）因为 tan tan 2 tan
1 tan 2
0 ，

π
由题意可知： , π ，则 tan 0，
2
可得1
2
2 0，解得1 tan tan 3
或 tan 3（舍去），即 l的斜率为 3 ，

b 3
a 2
b 2 2
由题意可知： 3 ，解得 b 3
x y
，所以椭圆方程为 1 .
c 4 3
a2 b2 c
2 c 1
（2）由（1）可知 A 2,0 ,B 2,0 ，
2 2
设 P x0 , y , y 0 x y 2
3 2
0 0 ，由
0 0 1可得 y0 x 44 0 ，4 3
3
y y y 2 x20 4 3则 k k 0 0 0 3 4 ，所以 k1 k2 为定值 .1 2 x 2 x 2 x 2 4 x 20 0 0 0 4 4 4
f x x f x 1 x18．【详解】（1）当 a 0时， ，则 ， f x x 1 0， f 1
1
，
e e e
1
所以切线方程为 y ．
e
2 a 1 f x xe x ex f x 1 1 x e
2x
（ ）当 时， ， x e x ex
ex
．
令 g x 1 x e2x，g x 1 2e2x 0，故 g x 在 R 上单调递减，而 g 0 0，因此 0 是 g x
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在 R 上的唯一零点，即：0 是 f x 在 R 上的唯一零点
当 x变化时， f x ， f x 的变化情况如下表：
x ,0 0 0,
f x 0
f x 极大值
f x 的单调递减区间为： 0, ；递增区间为： ,0
f x 的极大值为 f 0 1，无极小值
x x 1 x 1
（3）由题意知 xe x aex xe e ex 1，即 a ，即 a 2x ，ex e e
e2x 2xe2x 1 2x
设m x x 1 ，则m x 12x 2x 2 e2x ，令m x 0，解得 x ，e e e 2

当 x ,
1
，m x 0
1
，m x 单调递增，当 x ,

，m x 0，m x 单调递减，
2 2
所以m x m 1 1 1 1
1
max ，所以a 2 2e e 2e 2e
19．【详解】（1）由性质T的定义可知：
当 n 1时，由 1 构成的排列不满足性质，故 d1＝0；
当 n 2时，由1, 2 构成的排列 2,1 满足性质T，故 d2＝1；
当 n 3时，由1, 2,3构成的所有排列为： 1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,2,1),(3,1,2)， (
其中满足仅存在一个 i 1,2,3 ，使得 ai ai 1的排列有： 1,3,2 , 2,1,3 , 2,3,1 , 3,1,2 ，所以
d3 4；
（2）若 n 4，由1,2,3,4 4构成的所有A4 24种排列中，
符合性质T的排列有： (1,2 4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3),(2,1,3,4), ,
(2,3,1,4), (2,3,4,1), (2,4,1,3), (3,1,2,4), (3,4,1,2), (4,1,2,3)，故 d4 11；
（3）由（1）、（2）可得： d1 0,d2 1,d3 4,d4 11 ，同理可得 d5 26 ；
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∴归纳出 d 2nn n 1，
证明：∵在1,2,...,n的所有排列 a1,a2 , ,an 中，
若 a1 n， (1 i n 1)，从 n 1个数1,2,3, ,n 1中选 i 1个数，
从小到大排列为： a1,a2 , ,a i 1 ，
其余的则按从小到大的顺序排列在余下位置，
i 1
∴满足题意的排列个数为Cn 1，
若 ai n 1，则满足题意的排列个数为 dn 1，
n 1
d d Ci 1 n 1 n 1综上： n n 1 n 1 dn﹣1 2 1，即 dn dn 1 2 1，
i 1
∴ dn dn dn﹣1 dn﹣1 dn﹣2 d2 d1
21 22 2n 1 n 1 1
2 1 2n 1
＝ 1 n
1 2
＝2n n 1，
故数列 dn 的通项公式为 dn 2n n 1．
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