黑龙江省牡丹江市第二高级中学2023-2024学年高三下学期考前热身卷数学（二）（含解析）

牡丹江市第二高级中学高三年级高考考前热身卷（二）
数学
一 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1 A x x2．已知集合 2x 3 0 ， B x x 1 ，则 A B （ ）
A． 1,3 B． 3,1 C． 1,1 D． 1,3
2．若复数 z满足 1 i z 3 4i，则复数 z的共轭复数的虚部为（ ）
1 7 7 7
A． B． C． i D．
2 2 2 2
3．记等差数列 an 的前 n项和为 Sn .若a5 7， a10 2，则 S14 （ ）
A．49 B．63 C．70 D．126

4．已知向量 a m 1,1 ,b m 1,1 ，且 a b，则m （ ）
A．1 B． 1 C． 2 D．0
5．8位选手参加射击比赛， 最终的成绩(环数) 分别为 42，38，45，43，41，47，44，
46，其75%分位数是（ ）
A．44.5 B．45 C．45.5 D．46
6．已知直线 m,n和平面 ,n ，m ，则“m//n ”是“m / / ”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不
必要
7．下列函数中在区间 (0, )上单调递减的是（ ）
A． y cos x B． y 2 x C． y = x-2 D． y x2 1
8 C : x
2 y2
．已知双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F1， F2，过F1的直线与 y轴a b

相交于M 点，与双曲线C在第一象限的交点为 P，若 F1M 2MP， F1P F2P 0，则双
曲线C的离心率为（ ）
A B 3 3． 2 ． 3 C． D． 3 1
2
二 多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的
得 0 分．
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABBQiEggCAAIJAAQgCQw3SCACQkBCAAYgOhEAEoAABgRFABAA=}#}
9．函数 f x 的定义域为 R，它的导函数 y f x 的部分图象如图所示，则下面结论正
确的是（ ）
A．在 1,2 上函数 f x 为增函数 B．在 3,5 上函数 f x 为增函数
C．在 1,3 上函数 f x 有极大值 D． x 3是函数 f x 在区间 1,5 上的极
小值点
10．直线 l过点 P 1,2 且与直线 x ay 3 0平行．若直线 l被圆 x2 y2 4截得的弦长
为 2 3，则实数 a的值可以是（ ）
3 4 4
A．0 B． C． D．
4 3 3
11．已知函数 f x 2cos x 的部分图象如图所示，则（ ）
A． f x 的最小正周期为 π
5π π
B． f x 在 , 上单调递增 12 12
C． f x 的图象可由 g x 2sin 2x π的图象向左平移 个单位长度得到
3
F x f x π f x π 9D．函数 的最小值为
2 24 6 4
三 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．已知一平面截球O所得截面圆的半径为 2，且球心O到截面圆所在平面的距离为 1，
则该球的体积为 ．
sin π 313．若 ，则 sin2 .
4 5
14．已知 F 是抛物线 y2 4x的焦点， A,B是该抛物线上的两点， AF BF 8，则线
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABBQiEggCAAIJAAQgCQw3SCACQkBCAAYgOhEAEoAABgRFABAA=}#}
段 AB的中点到 y轴的距离为 ．
四 解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明 证明过程或演
算步骤．
15．已知函数 f x 3 sin 2x 2cos2 x 2.
(1)求 f x 的单调递减区间；
(2)将 y f x 的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的 2倍，再向右平
π π π
移 个单位得到 y g x 的图象，当 x
6
, 时，方程 g x m有解，求实数m的 6 4
取值范围.
16．在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，O1是底面 A1B1C1D1的中心，底面边长为 2，正四
棱柱的体积为 16
(1)求证：直线 AO1平行于平面 BDC1
(2)求BC1与平面 ACC1A1所成的角的正弦值.
17．中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市
民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地 100位不同年龄段的市民发放了有
关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示：
规定成绩在 0,60 内代表对中医药文化了解程度低，成绩在 60,100 内代表对中医药文
化了解程度高.
(1)从这 100位市民中随机抽取 1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率；
(2)将频率视为概率，现从该地 41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取 3人，记 X 为对中
医药文化了解程度高的人数，求 X 的分布列和期望.
试卷第 3页，共 4页
{#{QQABBQiEggCAAIJAAQgCQw3SCACQkBCAAYgOhEAEoAABgRFABAA=}#}
18．已知函数 f x 2lnx mx 2 .
(1)若m 3，求曲线 y f x 在 x 1处的切线方程；
(2)若 x 0, , f x 0，求实数m的取值范围.
2 2
19 x y．已知双曲线C : A 3,2 y 2x
a2 b2
1(a 0,b 0)经过点 ，其右焦点为 F ，且直线 是
C的一条渐近线.
(1)求C的标准方程；
M m,n C l : mx ny(2)设 是 上任意一点，直线 2 2 1 .证明： l与双曲线C相切于点M ；a b

(3)设直线PT 与C相切于点T，且 FP FT 0，证明：点 P在定直线上.
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABBQiEggCAAIJAAQgCQw3SCACQkBCAAYgOhEAEoAABgRFABAA=}#}
参考答案：
1．D【详解】解不等式 x2 2x 3 0可得 1 x 3，即 A 1,3 ；
又 B x x 1 1, ，因此 A B 1,3 .故选：D
3 4i 1 i
2．D【详解】由 1 i z 3 4i z 3 4i 1 7i 1 7 i，
1 i 1 i 1 i 2 2 2
所以 z 1 7 7 i，虚部为： .故选：D
2 2 2
14(a a )
3．B【详解】因 an 是等差数列，故a a a 1 141 14 5 a10 9，于是 S14 63.2
故选：B

4．D 2【详解】由题意知 a b m 1 m 1 1 m 0 ，所以m 0 .故选：D
5．C【详解】将最终的成绩(环数)从小到大重新排列：38，41，42，43，44，45，46，47，
45 46
8 75% 6，则75%分位数为 45.5 .故选：C.
2
6．A【详解】根据线面平行的判定定理知,若m//n ,则m / / ,故充分性成立；
若m / / ,则直线 m,n有可能平行或者异面,故必要性不成立.
所以“m//n ”是“m / / ”的充分不必要条件.故选：A.
7．C【详解】对于 A，因为 y cos x是周期函数，在 0, 上不单调，故 A错误；
对于 B， y 2 x 在 0, 上是 y 2x ，单调递增，故 B错误；
D 2对于 ， y x 1是二次函数，图象是开口向上的抛物线，对称轴为 y轴，
所以它在 0, 上为增函数，故 D错误；
C y = x-2 1对于 ，只有 = 2 这个函数在 0, 上单调递减，故 C正确. 故选：Cx
8．D
【详解】
高三年级·数学·试题 第 5 页 共 10 页
{#{QQABBQiEggCAAIJAAQgCQw3SCACQkBCAAYgOhEAEoAABgRFABAA=}#}
设 PF1F2 ， 为锐角，
3
因为 F1M 2MP， F1P F2P 0，所以PF1 PF2， PF1 MF ，2 1
MF c 3 3c1 ， | PF | |MF | ，又 | PF | 2c sin ，cos 1 2 1 2cos 2
| PF |2 | PF |2 | FF |2 9c
2
4c21 2 1 2 ， 2 sin
2 4c2 ， 9 16sin 2 cos 2 16cos 2 ，
4cos
3
9 16(1 cos2 )cos2 16cos2 3， 9 16cos 4 0 ， cos2 ， cos （负值舍去）， 30 ，4 2
| PF | 3 |MF | 3c 1 1 3c ， | PF2 2cos 2
| 2c sin c，
e 2c
| F1F2 | 2c 双曲线C的离心率 3 1．2a | PF1 | | PF2 | 3c c
故选：D．
9．AC【详解】由图象可知 f x 在区间 1,2 和 4,5 上 f ' x 0， f x '递增；在区间 2, 4 上 f x 0， f x
递减.所以 A选项正确，B 选项错误.
在区间 1,3 上， f x 有极大值为 f 2 ，C选项正确.
在区间 1,5 上， x 4是 f x 的极小值点，D选项错误. 故选：AC
10．AD【详解】设直线 l的方程为 x ay c 0，过点 P 1,2 ，故 c 1 2a
2 2
所以直线 l的方程为 x ay 2a 1 0 ，圆 x y 4的圆心 (0,0)，半径为 2，
直线 l被圆 x2 y2 4截得的弦长为 2 3，半弦长为 3，则弦心距为 1，
| 2a 1 | 4
圆心到直线的距离 d 1，解得 a 0或 a ，故选：AD.
a2 1 3
11．ABD
【详解】
3T 13π π 2π由图可得： A 2，又 , 0， T π，又T= , =2，
4 12 3
13π 13π
y 2cos(2x ) ，将 , 2 代入 y 2cos(2x ) cos

得 1，
12 6
13π
即 2kπ ， k Z，即
13π
2kπ， k Z，
6 6
f (x) 2cos 2x 13π 2kπ

2cos
2x π 2π ，对于 A，最小正周期T =π ，故正确；
6 6 2
高三年级·数学·试题 第 6 页 共 10 页
{#{QQABBQiEggCAAIJAAQgCQw3SCACQkBCAAYgOhEAEoAABgRFABAA=}#}
2kπ π 2x π 2kπ k Z kπ 5π对于 B，令 ， ，解得 x kπ+ π ， k Z，
6 12 12
5π π 5π π
可得 f (x) 的单调递增区间为 kπ ,kπ+ ， k Z，当 k 0时，单调递增区间为 , ，故 B正确； 12 12 12 12
π
对 于 C ， 函 数 y 2sin 2x 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 长 度 ， 所 得 到 的 函 数 解 析 式 为 ：
3
y π 2sin 2(x ) 2sin(2x 2π ) 2cos(2x π ) f x ，故 C不正确；
3 3 6
对于 D， F x f x π f x
π
2cos
x π 2sin 2x 2 cosx sinx 4sinx cosx ，
2 24 6 4
令 t cos x sin x π 2 sin x

2, 2 ，所以
4
2

F x 2 cosx sin x 2 9 4sin x cosx 2t 2 t 2 1 2t 2 2t 2 2 t 4 ， 4
9
故最小值为 ，D正确，
4
故选：ABD
20 5π
12． 【详解】由球的截面圆性质可知球的半径 R 12 22 5 ，
3
4π 3 20 5π 20 5π
则该球的体积为 ( 5) .故答案为： .
3 3 3
7 π 3
13． 【详解】已知 sin ，25 4 5
sin π 由两角和的正弦公式得： sin cos
π
cos sinπ 2 (sin cos ) 3 ，
4 4 4 2 5
即 sin 3 cos 2 18，两边平方得：1+2sin cos 1 sin 2 ，
5 25
7 7
解得： sin2 ，故答案是： .
25 25
14．3【详解】由抛物线方程知： F 1,0 ；
设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ，由抛物线定义知： AF BF x1 1 x2 1 8， x1 x2 6，
x x线段 AB 的中点到 y轴的距离为 1 2 3 .故答案为：3 .
2
2 π 15．【详解】（1）因为 f x 3 sin 2x 2cos x 2 3 sin 2x cos 2x 3 2sin 2x 3，
6
π 2kπ 2x π 3π π 2π由 2kπ,k Z ，解得 kπ x kπ,k Z ，
2 6 2 6 3
高三年级·数学·试题 第 7 页 共 10 页
{#{QQABBQiEggCAAIJAAQgCQw3SCACQkBCAAYgOhEAEoAABgRFABAA=}#}
所以 f x π 2π 的递减区间为

kπ, kπ ，k Z ；6 3
f x 2sin 2x π （2）由（1）知 3 ，那么将 f x 图象上各点纵坐标保持不变，
6
π
横坐标伸长到原来的 2倍，再向右平移 个单位，得到 g x 2sin x 3．
6
x π π
1 2
当 , 时， sin x 6 4
, , g x 2,3 2 ， 2 2
由方程 g x m有解，可得实数m的取值范围为 2,3 2 ．
16．【详解】（1）连结 AC，BD，设交点为 O，连结O1C1，∵O1C1 //AC
1
，且O1C1 AC，2
故四边形 AOC1O1为平行四边形，则 AO1 // OC1，
又 AO1 平面 BDC1 ，OC1 平面 BDC1 ，故直线 AO1平行于平面 BDC1
（2）由题易知，OA,OB,OO1两两互相垂直，
故分别以OA,OB,OO1为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，如图：
正四棱柱的体积为 16 2，则 2 OO1 16, OO1 4 ，
故 B 0, 2,0 ,C1 2,0,4 ,BC1 2, 2,4 ，

易知m 0,1,0 为平面 ACC1A1的一个法向量，设 BC1与平面 ACC1A1 所成的角为 ，

则 sin cos BC ,m 2 10 101 ，所以 BC1与平面 ACC1A1 所成的角的正弦值为 .2 5 10 10
17．【详解】（1）由表格可知，成绩在 60,100 的人数为9 6 22 18 55，
55 11
所以，抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为 .
100 20
（2）根据表格可知，41岁~50岁年龄段中，成绩在 0,60 内的人数为2 8 10 20，成绩在 60,100 内的人数为
高三年级·数学·试题 第 8 页 共 10 页
{#{QQABBQiEggCAAIJAAQgCQw3SCACQkBCAAYgOhEAEoAABgRFABAA=}#}
22 18 40，
40 2 20 1
则随机抽取 1人，这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率 P ，了解程度低的概率1 P .由题意
60 3 60 3
X B 2 可知 3, ，则 X 的可能取值为0,1,2,3，
3
1 3 0P X 0 C0 2 1
2
则 ， P X 1 C1 2 1 23 3 3 27 3 3
，
3 9
2 0 3
P X 2 C2 2 1 4 1 2 83 P X 3 C3

，
3 3 9 3
3
，
3 27
故 X 的分布列为
X 0 1 2 3
1 2 4 8
P
27 9 9 27
1 2 4 8
所以 X 的数学期望 E X 0 1 2 3 2 .
27 9 9 27
2
18．【详解】（1） f x 2lnx 3x 2 f x 3，因此 f 1 1，而 f 1 1，
x
故所求切线方程为 y 1 x 1 ，即 x y 0；
2lnx 2
（2）依题意， 2lnx mx 2 0 ，故m 对任意 x 0, 恒成立.
x
g x 2lnx 2 2lnx令 x 0 ，则 g x ，令 g 2 x 0，解得 x 1 .x x
故当 x 0,1 时， g x 0, g x 单调递增；当 x 1, 时， g x 0, g x 单调递减，
则当 x 1时， g x 取到极大值，也是最大值 2.故实数m的取值范围为 2, .
x2 y2
19．【详解】（1）因为双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)经过点 A 3,2 ，且直线 y 2x是C的一条渐近线，a b
9 4
2 2 1 a b
所以 ，解得 a2 8,b2 32，
b 2
a
C x
2 y2
所以 的标准方程为 1；
8 32
高三年级·数学·试题 第 9 页 共 10 页
{#{QQABBQiEggCAAIJAAQgCQw3SCACQkBCAAYgOhEAEoAABgRFABAA=}#}
（2）
m n m 2 n 2 m 2 n 2
首先设M m,n 是C上任意一点，所以有 2 m ，a b2 n a2 2 1b 8 32
这表明了点M m,n 也在直线 l上，也可以得到 4m2 n2 32，
x2 y2
1
l C 8 32联立直线 的方程与椭圆 的方程有 ，
mx ny 1
8 32
2 2 2
化简并整理得 n 4m x 64mx 256 8n2 0，
2
而 n2 4m2 32 0，且Δ 64m 4 n2 4m2 8 n2 32 64m 2 322 4m2 0，
这也就是说 l与双曲线C相切于点M ；
（3）
T m,n ,P p,q mx ny 1 P p,q mx ny不妨设 ，由（2）可知过点T 的直线 PT 的方程为 ，点 在直线 1上，
8 32 8 32
mp nq
所以 1，即有 nq 4mp 32，又 2
8 32 a b
2 40，从而 F 2 10,0 ，

所以 FP p 2 10,q ,FT m 2 10,n ，

若 FP FT 0，则 FP FT p 2 10 m 2 10 qn pm 2 10 p m 40 4 pm 32
5pm 2 10 p m 8 0，整理得 5p 5m 2 2 2 2 5m 2 2 ，
因为 m a 2 2 2 2 2 10，所以m ，也就是说 5m 2 2 0 ，
5 5
p 2 2 2 10 2 10从而 ，所以点 P在定直线上 x 上.
5 5 5
高三年级·数学·试题 第 10 页 共 10 页
{#{QQABBQiEggCAAIJAAQgCQw3SCACQkBCAAYgOhEAEoAABgRFABAA=}#}