3.1.1 椭圆及其标准方程(1) 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

第三章　圆锥曲线的方程
3．1　椭　　圆
3.1.1　椭圆及其标准方程(1)
一、 单项选择题
1 (2024娄底期末)若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)
A. (3，＋∞)
B. (－∞，－2)
C. (－∞，－2)∪(3，＋∞)
D. (－2，0)∪(0，3)
2 (2024黔南期末)若动点P(x，y)满足方程＋＝6，则动点P的轨迹方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. －＝1
3 若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则实数b的值为(　　)
A. －1 B.
C. －1或1 D. －或
4 (2024毕节期末)“方程＋＝1表示椭圆”是“－3A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5 设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，AF1＝3BF1，若AB＝4，△ABF2的周长为16，则AF2的长为(　　)
A. 7 B. 5 C. 3 D. 1
6 与椭圆＋＝1有相同的焦点，且经过点(5，3)的椭圆的标准方程是(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
二、 多项选择题
7 已知椭圆C：＋＝1(0A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8 (2024全国专题练习)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋y2＝81，动圆C与C1，C2都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
三、 填空题
9 (2024西安二模)若P为椭圆C：＋＝1上的一点，F1，F2为椭圆C的两个焦点，且PF－PF＝16，则PF1＝________．
10 (2024哈尔滨一中期末)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，B为短轴的一个端点，则△BF1F2的周长为________．
11 (2023上海静安阶段练习)如图，已知P为椭圆＋＝1上的任意一点，过椭圆的右顶点A和上顶点B分别作与y轴和x轴的平行线交于点C，过点P引BC，AC的平行线交AC于点N，交BC于点M，交AB于点D，E，矩形PMCN的面积是S1，△PDE的面积是S2，则S1∶S2＝________．
四、 解答题
12 如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.若PF1＝2＋，PF2＝2－，求椭圆的标准方程．
13 (2024全国专题练习)已知方程＋＝1.
(1) 若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围；
(2) 若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围；
(3) 若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围．
【答案解析】
第三章　圆锥曲线的方程
3．1　椭　　圆
3．1.1　椭圆及其标准方程(1)
1. D　因为＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，所以解得－22. A　由动点P(x，y)满足方程＋＝6及椭圆的定义，得点P的轨迹是以(0，2)，(0，－2)为焦点的椭圆，且2a＝6，2c＝4，所以a＝3，c＝2，则b2＝a2－c2＝14，所以动点P的轨迹方程为＋＝1.
3. C　椭圆C的方程可化为x2＋＝1，其焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，代入直线l：2x＋by＋3＝0中，解得b＝1或b＝－1.
4. A　若方程＋＝1表示椭圆，则解得－35. B　由AF1＝3BF1，AB＝4，得AF1＝3.因为△ABF2的周长为16，所以AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝16，所以AF1＋AF2＝2a＝8，所以AF2＝2a－AF1＝8－3＝5.
6. B　椭圆＋＝1的焦点坐标是(±4，0)，又点(5，3)在椭圆上，所以由椭圆的定义，得2a＝＋＝4，所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝40－16＝24，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
7. BD　因为OA＝OF1＝OF2，所以∠OAF1＝∠OF1A，∠OAF2＝∠OF2A.因为∠OAF1＋∠OF1A＋∠OAF2＋∠OF2A＝2∠F1AF2＝π，所以∠F1AF2＝.设AF1＝m，AF2＝n，则S△F1AF2＝2S△OAF1＝mn＝4.由椭圆的定义，得m＋n＝6，所以解得或所以AF1＝2或AF1＝4.故选BD.
8. AB　圆C1：(x＋3)2＋y2＝1的圆心C1(－3，0)，半径为1，圆C2：(x－3)2＋y2＝81的圆心C2(3，0)，半径为9.由于C1C2＝6<9－1，故圆C1内含于圆C2.又动圆C与C1，C2都相切，则圆C与C1外切或内切，与圆C2一定内切，设动圆C的半径为r，当圆C与圆C1外切时，CC1＝r＋1.当圆C与圆C2内切时，CC2＝9－r，故CC1＋CC2＝r＋1＋9－r＝10>C1C2，所以点C的轨迹是以点C1，C2为焦点的椭圆，且长轴长为10，焦距为6，短轴长为8，所以轨迹方程为＋＝1；当圆C与圆C1内切时，CC1＝r－1，当圆C与圆C2内切时，CC2＝9－r，故CC1＋CC2＝r－1＋9－r＝8>C1C2，所以点C的轨迹为以点C1，C2为焦点的椭圆，且长轴长为8，焦距为6，短轴长为2，所以轨迹方程为＋＝1.综上，轨迹方程为＋＝1或＋＝1.故选AB.
9. 5　对于椭圆C：＋＝1，则a2＝16，所以a＝4，所以PF1＋PF2＝2a＝8①.又PF－PF＝16，即(PF1＋PF2)(PF1－PF2)＝16，所以PF1－PF2＝2②，由①②解得PF1＝5.
10. 18　椭圆＋＝1的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，则半焦距c＝＝4，所以BF1＋BF2＝2a＝10，F1F2＝2c＝8，所以△BF1F2的周长为2a＋2c＝18.
11. 1∶1　设点P(x，y)在第一象限．由题意，得A(5，0)，B(0，3)，则直线AB的方程为＋＝1，所以D，所以S△ADN＝×y×＝y2.因为E，所以S四边形ACME＝××(5－x)＝(25－x2).因为点P(x，y)在椭圆上，所以＋＝1，所以y2＝9－，所以y2＝(25－x2)，所以S△ADN＝S四边形ACME，所以S1＝S2，所以S1∶S2＝1∶1.
12. 由椭圆的定义，得2a＝PF1＋PF2＝(2＋)＋(2－)＝4，则a＝2.
设椭圆的焦距为2c.
因为PF1⊥PF2，所以2c＝F1F2＝＝＝2，即c＝，所以b＝＝1，
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
13. (1) 由题意，得解得8故实数m的取值范围为(8，25).
(2) 由题意，得解得－9故实数m的取值范围为(－9，8).
(3) 由题意，得解得－9故实数m的取值范围是(－9，8)∪(8，25).