3.1.1 椭圆及其标准方程(2)课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册
文档属性
| 名称 | 3.1.1 椭圆及其标准方程(2)课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 400.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-03 16:24:25 | ||
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文档简介
3．1.1 椭圆及其标准方程(2)
一、 单项选择题
1 若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A. (5，7)
B. (5，＋∞)
C. (7，＋∞)
D. (5，7)∪(7，＋∞)
2 已知P为椭圆＋＝1上一点，M，N分别是圆(x＋3)2＋y2＝4和(x－3)2＋y2＝1上的点，则PM＋PN的取值范围是( )
A. [7，13] B. [10，15]
C. [10，13] D. [7，15]
3 (2024雅安开学考试)已知经过椭圆C：＋＝1的左焦点F1的直线交椭圆C于A，B两点，F2是椭圆C的右焦点，则△ABF2的周长为( )
A. 24 B. 12 C. 36 D. 48
4 (2024湖北期末)已知椭圆＋＝1(a>)的两焦点分别为F1，F2.若椭圆上有一点P，使∠F1PF2＝120°，则△PF1F2的面积为( )
A. B. C. D. 2
5 (2024济宁期末)若椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上的任意一点，则PF1·PF2的取值范围是( )
A. [1，3] B. [2，3]
C. [，] D. [1，]
6 已知椭圆＋＝1的两个焦点分别是F1，F2，点P在椭圆上．若PF1－PF2＝2，则△PF1F2的面积是( )
A. B. ＋1 C. D. ＋1
二、 多项选择题
7 已知椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值可能是( )
A. 5 B. 8 C. 3 D. 20
8 (2024成都开学考试)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的任意一点，则下列结论中正确的是( )
A. PF1＋PF2＋F1F2＝4＋4
B. PF1·PF2的最大值为8
C. |＋|的最小值为4
D. ·的最大值为4
三、 填空题
9 (2024上海阶段练习)已知椭圆＋＝1的右焦点为F，P是椭圆上的一点，点A(0，2)，当△APF的周长最大时，直线AP的方程为________．
10 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
11 已知点F1(－2，0)，圆F2：(x－2)2＋y2＝36，M是圆F2上一动点，线段MF1的垂直平分线交MF2于点N，则点N的轨迹方程为________．
四、 解答题
12 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点M(1，), F1，F2是椭圆C的两个焦点，F1F2＝2，P是椭圆C上的一个动点．
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若点P在第一象限，且·≤，求点P的横坐标的取值范围．
13 已知椭圆＋＝1上一点M(x0，y0)，且x0<0，y0＝2.
(1) 求x0的值；
(2) 求过点M且与椭圆＋＝1共焦点的椭圆的方程．
【答案解析】
3．1.2 椭圆的简单几何性质(1)
一、 单项选择题
1 已知直线l：x＋y－1＝0经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点和上顶点，则椭圆的离心率为( )
A. B. －1
C. D.
2 若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
3 (2024天津期末)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点，则椭圆C的离心率的最小值为( )
A. B. C. D.
4 如图，椭圆＋y2＝1(a>1)与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，P是过左焦点F1且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点，O为坐标原点，若AB∥OP，则椭圆的焦距为( )
A. B. 2
C. 1 D. 2
5 (2024新乡期末)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，B为y轴上一点，F1在以AB为直径的圆上，且3＝－2，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
6 (2023岳阳期末)2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0，)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则下列说法正确的个数有( )
①椭圆的长轴长为4
②线段AB长度的取值范围是[2，2＋]
③△ABF面积的最小值是3
④△AFG的周长为4＋2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、 多项选择题
7 中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2，0)的椭圆的方程是( )
A. ＋y2＝1 B. x2＋＝1
C. x2＋4y2＝1 D. 4x2＋y2＝16
8 (2024攀枝花期末)已知A是圆C：x2＋(y－2)2＝24上的任意一点，点B(0，－2)，线段AB的垂直平分线交AC于点P，设点P的轨迹为曲线E.直线l与曲线E交于M，N两点，且Q为线段MN的中点，则下列说法中正确的是( )
A. 曲线E的方程为＋＝1
B. 曲线E的离心率为
C. 直线l的方程为3x＋y－2＝0
D. △BMN的周长为4
三、 填空题
9 已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2＝BF2，BF1＝2BF2，则椭圆C的方程为____________．
10 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝，已知点P到椭圆上一点的距离的最大值是，则椭圆的标准方程为____________．
11 (2024太原期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆上两点P，Q满足F1P＝a，且＝，则椭圆C的离心率为________．
四、 解答题
12 若点(x，y)在椭圆＋＝1(b>0)上运动，求x2＋2y的最大值．
13 (2024西城期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为M，P为此圆上一点．
(1) 求椭圆C的离心率；
(2) 记线段MP与椭圆C的交点为Q，求PQ的取值范围．
【答案解析】
3．1.1 椭圆及其标准方程(2)
1. C 由题意，得a－5>2，解得a>7.
2. A 根据椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a＝10，所以7＝10－(1＋2)≤PM＋PN≤10＋(1＋2)＝13，即所求的取值范围是[7，13].
3. A 因为AF1＋AF2＝2a＝12，BF1＋BF2＝2a＝12，所以△ABF2的周长为24.
4. D 如图，不妨设PF1＝m，PF2＝n，由点P在椭圆上，得m＋n＝2a①，由余弦定理，得m2＋n2－2mn cos 120°＝4c2，化简，得m2＋n2＋mn＝4c2②.由①式两边平方再减去②式，得mn＝4a2－4c2＝4b2＝8，所以△PF1F2的面积为mn sin 120°＝×8×＝2.
5. B 方法一：由椭圆＋＝1，得a＝，b＝，故c＝1，F1(－1，0)，F2(1，0)，则PF1∈[－1，＋1]，PF1·PF2＝PF1(2－PF1)＝－PF＋2PF1，故当PF1＝时，取得最大值为3；当PF1＝－1或PF1＝＋1时，取得最小值为2.故PF1·PF2的取值范围是[2，3].
方法二：由椭圆＋＝1，得a＝，b＝，故c＝1，F1(－1，0)，F2(1，0)，设P(cos θ，sin θ)，则PF1＝，PF2＝，故PF1·PF2＝×＝sin2θ＋2.又sinθ∈[－1，1]，sin2θ∈[0，1]，故sin2θ＋2∈[2，3]，即PF1·PF2∈[2，3].
6．C 由题意，得PF1＋PF2＝2a＝4.因为PF1－PF2＝2，所以PF1 ＝3，PF2＝1.又F1F2＝2c＝2，则PF＋F1F＝PF，所以△PF1F2是以∠PF2F1为直角的直角三角形，所以S△PF1F2＝×2×1＝.
7. AC 由题意，得2c＝2，c＝1，则有m－4＝1或4－m＝1，解得m＝5或m＝3.故选AC.
8. ACD 对于A，由椭圆C：＋＝1，得a＝2，b＝2，则c＝＝2.对于A，根据椭圆的定义，得PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝4＋4，故A正确；对于B，由PF1＋PF2＝2a＝4，可得PF1·PF2≤＝8，当且仅当PF1＝PF2＝2时取等号，故B错误；对于C，设点P(2cos θ，2sin θ)，则＝(－2－2cos θ，－2sin θ)，＝(2－2cos θ，－2sin θ)，所以|＋|＝＝∈[4，4]，故C正确；对于D，由C可得·＝8cos 2θ－4＋4sin 2θ＝4cos 2θ∈[0，4]，故D正确．故选ACD.
9. y＝x＋2 由椭圆＋＝1，得a＝3，b＝，c＝2.如图，设椭圆的左焦点为F′(－2，0)，则AF＝＝4＝AF′，PF＋PF′＝2a＝6.因为PA－PF′≤AF′，当A，F′，P三点共线时取等号，所以△APF的周长＝AF＋PA＋PF＝AF＋PA＋6－PF′≤4＋6＋4＝14，当且仅当A，F′，P三点共线时取等号，此时直线AP的方程为－＝1，即y＝x＋2.
10. 3 设PF1＝r1，PF2＝r2.由椭圆的定义，得PF1＋PF2＝r1＋r2＝2a.又由PF1⊥PF2，得r＋r＝4c2，所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，即r1r2＝2b2，所以S△PF1F2＝r1r2＝×2b2＝b2.又因为△PF1F2的面积为9，所以b2＝9，解得b＝3(负值舍去).
11. ＋＝1 圆F2：(x－2)2＋y2＝36的圆心坐标为(2，0)，半径为6.由垂直平分线的性质，得NF1＝MN，所以NF1＋NF2＝MN＋NF2＝MF2＝6.又F1F2＝4，所以点N的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a＝6，2c＝4，即a＝3，c＝2，所以b2＝a2－c2＝9－4＝5，所以点N的轨迹方程为＋＝1.
12. (1) 由已知，得2c＝2，则c＝，
所以F1(－，0)，F2(，0)，
所以MF1＝＝＝，同理MF2＝，
所以2a＝MF1＋MF2＝4，即a＝2，
所以b＝＝1，
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2) 设P(x，y)(x>0，y>0)，则＋y2＝1，＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)，
所以·＝－(3－x2)＋y2≤.
由椭圆方程，得－(3－x2)＋1－≤，
整理，得3x2≤9，所以0即点P的横坐标的取值范围是(0，].
13. (1) 由题意知，点M(x0，2)在椭圆＋＝1上，
则＋＝1，即x＝9.
又x0<0，所以x0＝－3.
(2) 易知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且c2＝9－4＝5，
故可设所求椭圆的方程为＋＝1(a2>5).
由(1)知，点M的坐标为(－3，2)，
将其代入所设方程，得＋＝1(a2>5)，
解得a2＝15或a2＝3(舍去)，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
一、 单项选择题
1 若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A. (5，7)
B. (5，＋∞)
C. (7，＋∞)
D. (5，7)∪(7，＋∞)
2 已知P为椭圆＋＝1上一点，M，N分别是圆(x＋3)2＋y2＝4和(x－3)2＋y2＝1上的点，则PM＋PN的取值范围是( )
A. [7，13] B. [10，15]
C. [10，13] D. [7，15]
3 (2024雅安开学考试)已知经过椭圆C：＋＝1的左焦点F1的直线交椭圆C于A，B两点，F2是椭圆C的右焦点，则△ABF2的周长为( )
A. 24 B. 12 C. 36 D. 48
4 (2024湖北期末)已知椭圆＋＝1(a>)的两焦点分别为F1，F2.若椭圆上有一点P，使∠F1PF2＝120°，则△PF1F2的面积为( )
A. B. C. D. 2
5 (2024济宁期末)若椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上的任意一点，则PF1·PF2的取值范围是( )
A. [1，3] B. [2，3]
C. [，] D. [1，]
6 已知椭圆＋＝1的两个焦点分别是F1，F2，点P在椭圆上．若PF1－PF2＝2，则△PF1F2的面积是( )
A. B. ＋1 C. D. ＋1
二、 多项选择题
7 已知椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值可能是( )
A. 5 B. 8 C. 3 D. 20
8 (2024成都开学考试)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的任意一点，则下列结论中正确的是( )
A. PF1＋PF2＋F1F2＝4＋4
B. PF1·PF2的最大值为8
C. |＋|的最小值为4
D. ·的最大值为4
三、 填空题
9 (2024上海阶段练习)已知椭圆＋＝1的右焦点为F，P是椭圆上的一点，点A(0，2)，当△APF的周长最大时，直线AP的方程为________．
10 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
11 已知点F1(－2，0)，圆F2：(x－2)2＋y2＝36，M是圆F2上一动点，线段MF1的垂直平分线交MF2于点N，则点N的轨迹方程为________．
四、 解答题
12 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点M(1，), F1，F2是椭圆C的两个焦点，F1F2＝2，P是椭圆C上的一个动点．
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若点P在第一象限，且·≤，求点P的横坐标的取值范围．
13 已知椭圆＋＝1上一点M(x0，y0)，且x0<0，y0＝2.
(1) 求x0的值；
(2) 求过点M且与椭圆＋＝1共焦点的椭圆的方程．
【答案解析】
3．1.2 椭圆的简单几何性质(1)
一、 单项选择题
1 已知直线l：x＋y－1＝0经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点和上顶点，则椭圆的离心率为( )
A. B. －1
C. D.
2 若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
3 (2024天津期末)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点，则椭圆C的离心率的最小值为( )
A. B. C. D.
4 如图，椭圆＋y2＝1(a>1)与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，P是过左焦点F1且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点，O为坐标原点，若AB∥OP，则椭圆的焦距为( )
A. B. 2
C. 1 D. 2
5 (2024新乡期末)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，B为y轴上一点，F1在以AB为直径的圆上，且3＝－2，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
6 (2023岳阳期末)2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0，)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则下列说法正确的个数有( )
①椭圆的长轴长为4
②线段AB长度的取值范围是[2，2＋]
③△ABF面积的最小值是3
④△AFG的周长为4＋2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、 多项选择题
7 中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2，0)的椭圆的方程是( )
A. ＋y2＝1 B. x2＋＝1
C. x2＋4y2＝1 D. 4x2＋y2＝16
8 (2024攀枝花期末)已知A是圆C：x2＋(y－2)2＝24上的任意一点，点B(0，－2)，线段AB的垂直平分线交AC于点P，设点P的轨迹为曲线E.直线l与曲线E交于M，N两点，且Q为线段MN的中点，则下列说法中正确的是( )
A. 曲线E的方程为＋＝1
B. 曲线E的离心率为
C. 直线l的方程为3x＋y－2＝0
D. △BMN的周长为4
三、 填空题
9 已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2＝BF2，BF1＝2BF2，则椭圆C的方程为____________．
10 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝，已知点P到椭圆上一点的距离的最大值是，则椭圆的标准方程为____________．
11 (2024太原期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆上两点P，Q满足F1P＝a，且＝，则椭圆C的离心率为________．
四、 解答题
12 若点(x，y)在椭圆＋＝1(b>0)上运动，求x2＋2y的最大值．
13 (2024西城期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为M，P为此圆上一点．
(1) 求椭圆C的离心率；
(2) 记线段MP与椭圆C的交点为Q，求PQ的取值范围．
【答案解析】
3．1.1 椭圆及其标准方程(2)
1. C 由题意，得a－5>2，解得a>7.
2. A 根据椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a＝10，所以7＝10－(1＋2)≤PM＋PN≤10＋(1＋2)＝13，即所求的取值范围是[7，13].
3. A 因为AF1＋AF2＝2a＝12，BF1＋BF2＝2a＝12，所以△ABF2的周长为24.
4. D 如图，不妨设PF1＝m，PF2＝n，由点P在椭圆上，得m＋n＝2a①，由余弦定理，得m2＋n2－2mn cos 120°＝4c2，化简，得m2＋n2＋mn＝4c2②.由①式两边平方再减去②式，得mn＝4a2－4c2＝4b2＝8，所以△PF1F2的面积为mn sin 120°＝×8×＝2.
5. B 方法一：由椭圆＋＝1，得a＝，b＝，故c＝1，F1(－1，0)，F2(1，0)，则PF1∈[－1，＋1]，PF1·PF2＝PF1(2－PF1)＝－PF＋2PF1，故当PF1＝时，取得最大值为3；当PF1＝－1或PF1＝＋1时，取得最小值为2.故PF1·PF2的取值范围是[2，3].
方法二：由椭圆＋＝1，得a＝，b＝，故c＝1，F1(－1，0)，F2(1，0)，设P(cos θ，sin θ)，则PF1＝，PF2＝，故PF1·PF2＝×＝sin2θ＋2.又sinθ∈[－1，1]，sin2θ∈[0，1]，故sin2θ＋2∈[2，3]，即PF1·PF2∈[2，3].
6．C 由题意，得PF1＋PF2＝2a＝4.因为PF1－PF2＝2，所以PF1 ＝3，PF2＝1.又F1F2＝2c＝2，则PF＋F1F＝PF，所以△PF1F2是以∠PF2F1为直角的直角三角形，所以S△PF1F2＝×2×1＝.
7. AC 由题意，得2c＝2，c＝1，则有m－4＝1或4－m＝1，解得m＝5或m＝3.故选AC.
8. ACD 对于A，由椭圆C：＋＝1，得a＝2，b＝2，则c＝＝2.对于A，根据椭圆的定义，得PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝4＋4，故A正确；对于B，由PF1＋PF2＝2a＝4，可得PF1·PF2≤＝8，当且仅当PF1＝PF2＝2时取等号，故B错误；对于C，设点P(2cos θ，2sin θ)，则＝(－2－2cos θ，－2sin θ)，＝(2－2cos θ，－2sin θ)，所以|＋|＝＝∈[4，4]，故C正确；对于D，由C可得·＝8cos 2θ－4＋4sin 2θ＝4cos 2θ∈[0，4]，故D正确．故选ACD.
9. y＝x＋2 由椭圆＋＝1，得a＝3，b＝，c＝2.如图，设椭圆的左焦点为F′(－2，0)，则AF＝＝4＝AF′，PF＋PF′＝2a＝6.因为PA－PF′≤AF′，当A，F′，P三点共线时取等号，所以△APF的周长＝AF＋PA＋PF＝AF＋PA＋6－PF′≤4＋6＋4＝14，当且仅当A，F′，P三点共线时取等号，此时直线AP的方程为－＝1，即y＝x＋2.
10. 3 设PF1＝r1，PF2＝r2.由椭圆的定义，得PF1＋PF2＝r1＋r2＝2a.又由PF1⊥PF2，得r＋r＝4c2，所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，即r1r2＝2b2，所以S△PF1F2＝r1r2＝×2b2＝b2.又因为△PF1F2的面积为9，所以b2＝9，解得b＝3(负值舍去).
11. ＋＝1 圆F2：(x－2)2＋y2＝36的圆心坐标为(2，0)，半径为6.由垂直平分线的性质，得NF1＝MN，所以NF1＋NF2＝MN＋NF2＝MF2＝6.又F1F2＝4，所以点N的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a＝6，2c＝4，即a＝3，c＝2，所以b2＝a2－c2＝9－4＝5，所以点N的轨迹方程为＋＝1.
12. (1) 由已知，得2c＝2，则c＝，
所以F1(－，0)，F2(，0)，
所以MF1＝＝＝，同理MF2＝，
所以2a＝MF1＋MF2＝4，即a＝2，
所以b＝＝1，
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2) 设P(x，y)(x>0，y>0)，则＋y2＝1，＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)，
所以·＝－(3－x2)＋y2≤.
由椭圆方程，得－(3－x2)＋1－≤，
整理，得3x2≤9，所以0
13. (1) 由题意知，点M(x0，2)在椭圆＋＝1上，
则＋＝1，即x＝9.
又x0<0，所以x0＝－3.
(2) 易知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且c2＝9－4＝5，
故可设所求椭圆的方程为＋＝1(a2>5).
由(1)知，点M的坐标为(－3，2)，
将其代入所设方程，得＋＝1(a2>5)，
解得a2＝15或a2＝3(舍去)，
故所求椭圆的方程为＋＝1.