3.1.2 椭圆的简单几何性质 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

3．1.2　椭圆的简单几何性质(1)
一、 单项选择题
1 已知直线l：x＋y－1＝0经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点和上顶点，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. －1
C. D.
2 若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
3 (2024天津期末)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点，则椭圆C的离心率的最小值为(　　)
A. B. C. D.
4 如图，椭圆＋y2＝1(a>1)与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，P是过左焦点F1且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点，O为坐标原点，若AB∥OP，则椭圆的焦距为(　　)
A. B. 2
C. 1 D. 2
5 (2024新乡期末)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，B为y轴上一点，F1在以AB为直径的圆上，且3＝－2，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
6 (2023岳阳期末)2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0，)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则下列说法正确的个数有(　　)
　
①椭圆的长轴长为4
②线段AB长度的取值范围是[2，2＋]
③△ABF面积的最小值是3
④△AFG的周长为4＋2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、 多项选择题
7 中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2，0)的椭圆的方程是(　　)
A. ＋y2＝1 B. x2＋＝1
C. x2＋4y2＝1 D. 4x2＋y2＝16
8 (2024攀枝花期末)已知A是圆C：x2＋(y－2)2＝24上的任意一点，点B(0，－2)，线段AB的垂直平分线交AC于点P，设点P的轨迹为曲线E.直线l与曲线E交于M，N两点，且Q为线段MN的中点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 曲线E的方程为＋＝1
B. 曲线E的离心率为
C. 直线l的方程为3x＋y－2＝0
D. △BMN的周长为4
三、 填空题
9 已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2＝BF2，BF1＝2BF2，则椭圆C的方程为____________．
10 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝，已知点P到椭圆上一点的距离的最大值是，则椭圆的标准方程为____________．
11 (2024太原期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆上两点P，Q满足F1P＝a，且＝，则椭圆C的离心率为________．
四、 解答题
12 若点(x，y)在椭圆＋＝1(b>0)上运动，求x2＋2y的最大值．
13 (2024西城期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为M，P为此圆上一点．
(1) 求椭圆C的离心率；
(2) 记线段MP与椭圆C的交点为Q，求PQ的取值范围．
【答案解析】
3．1.2　椭圆的简单几何性质(1)
1. D　由椭圆C：＋＝1(a>b>0)，知右焦点(c，0)和上顶点(0，b).因为直线l：x＋y－1＝0经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点和上顶点，所以c＝1，b＝1，所以 e＝＝＝.
2. C　由题意，得b＝c，即b2＝a2－c2＝c2，所以a＝c，所以椭圆的离心率e＝＝.
3. C　由题意知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，要使得圆x2＋y2＝c2与椭圆有交点，需c≥b，即c2≥b2＝a2－c2，得2c2≥a2，即e2≥，由04. D　由题意知，F1(－c，0)，A(a，0)，B(0，1)，则点P，所以直线AB的斜率kAB＝－，直线OP的斜率kOP＝＝－. 由AB∥OP，得kAB＝kOP，所以－＝－，则c＝1，所以椭圆的焦距为2c＝2.
5. D　由3＝－2，可设F2A＝2t，F2B＝3t(t>0)，则AB＝5t，由对称性知F2B＝F1B＝3t.由题可知F1A⊥F1B，则F1A＝4t，cos ∠F1AB＝.由椭圆的定义知AF2＋AF1＝6t＝2a，则t＝.在△F1AF2中，cos ∠F1AF2＝＝，则＝，整理，得＝，故椭圆C的离心率为.
6. C　由题意，得椭圆中b＝c＝，则a＝＝2，故椭圆的长轴长为4，故①正确；AB＝OA＋OB＝＋OA，且≤OA≤2，故AB∈[2，2＋]，故②正确；令∠AOF＝θ，则S△ABF＝S△AOF＋S△OBF＝OA·OF sin θ＋OB·OF sin (π－θ)＝(＋OA)sin θ，若θ＝，此时OA<2，则S△ABF＝(＋OA)<，故③错误；由椭圆定义知AF＋AG＝2a＝4，故△AFG的周长为FG＋4＝2＋4，故④正确．故说法正确的个数为3.
7. AD　椭圆＋y2＝1过点(2，0)，且a＝2，b＝1，c＝，离心率为，故A正确；椭圆x2＋＝1不过点(2，0)，故B错误；椭圆x2＋4y2＝1不过点(2，0)，故C错误；椭圆4x2＋y2＝16过点(2，0)，且a＝4，b＝2，c＝2，离心率为，故D正确．故选AD.
8. ACD　如图，由图可知点P到点C与点B的距离之和PC＋PB＝PC＋PA＝AC始终为定值且AC>BC，故点P的轨迹为以C，B为焦点的椭圆E，可设其方程为＋＝1(a>b>0)，故c＝2，2a＝2，所以a＝，b2＝a2－c2＝6－4＝2，所以椭圆E的方程为＋＝1，故A正确；椭圆E的离心率为e＝＝＝，故B错误；直线l与椭圆E交于M，N两点，且Q为线段MN的中点，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.由点差法，得＋＝0，所以＝－，所以＝－，即kl＝＝－3，所以直线l的方程为y－＝－3(x－)，即3x＋y－2＝0，故C正确；因为直线l：3x＋y－2＝0过椭圆的上焦点C(0，2)，所以△BMN的周长为4a＝4，故D正确．故选ACD.
9. ＋＝1　设BF2＝2m，则AF2＝3m，BF1＝4m.由椭圆的定义，知BF1＋BF2＝AF1＋AF2＝6m，所以AF1＝6m－3m＝3m，所以AF1＝AF2，故A为椭圆的短轴端点．设A(0，b)，由＝，得B(，－b).因为点B在椭圆上，所以＋＝1，解得a2＝5.又由c＝1，得b＝2，故椭圆的方程为＋＝1.
10. ＋y2＝1　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则e2＝＝＝1－＝，所以＝，即a＝2b.设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则d2＝x2＋＝a2(1－)＋y2－3y＋＝－3＋4b2＋3(－b≤y≤b).若－b>－，即011. 　根据椭圆性质，得F1P＋F2P＝2a，F1P＝a，则F2P＝a，则点P位于y轴上，设P(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝.设Q(x0，y0).由＝，得(c，b)＝(x0－c，y0)，即代入椭圆方程，得＋＝1，即e2＋＝1，解得e＝.
12. 因为＋＝1(b>0)表示椭圆，
所以x2＝4≥0，即－b≤y≤b，且b≠2，
所以x2＋2y＝4＋2y＝－＋2y＋4＝－(y－)2＋4＋(b≠2).
若≤b，即0若>b，即b>4，则当y＝b时，x2＋2y取得最大值，最大值为2b.
综上，(x2＋2y)max＝
13. (1) 由题意，得c＝，a2＝b2＋c2，
且·2a·2b＝2ab＝12，即ab＝6，
解得a＝3，b＝2，
所以椭圆C的离心率e＝＝.
(2) 由题意，得PQ＝MP－MQ＝5－MQ.
设Q(x1，y1)，则＋＝1，
所以MQ＝＝＝.
因为x1∈[－3，3]，
所以当x1＝时，MQmin＝；
当x1＝－3时，MQmax＝4，
所以PQ的取值范围为.