3.1.2 椭圆的简单几何性质(2)课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

3．1.2　椭圆的简单几何性质(2)
一、 单项选择题
1 (2023北京十二中阶段练习)已知椭圆方程为＋＝1，则椭圆的短轴长为(　　)
A. 2 B. 4
C. 5 D. 10
2 已知焦点在x轴上的椭圆＋＝1(a>0)，则它的离心率的取值范围是(　　)
A. (0，] B. (0，]
C. [，1) D. [，1)
3 (2024鄂尔多斯期末)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的左顶点，点P在过点A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰直角三角形，且∠F1F2P＝90°，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
4 设椭圆＋＝1(a>)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为坐标原点，e为该椭圆的离心率，则该椭圆的标准方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋y2＝1
5 (2023渭南期末)如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心F1为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为R的球体，近地点离地面的距离为r，则远地点离地面的距离l为(　　)
A. 3r＋2R B. 5r＋2R
C. D.
6 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，过点F作一条倾斜角为45°的直线与椭圆C交于A，B两点，若M(－3，2)为线段AB的中点，则椭圆C的离心率是(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2023莆田仙游一中期末)已知P是椭圆E：＋＝1上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法中正确的是(　　)
A. 点P到x轴的距离为
B. ∠F1PF2>90°
C. △F1PF2的周长为4(＋1)
D. △F1PF2的内切圆半径为
8 (2024邯郸期末)法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆(称为椭圆的蒙日圆).已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的动点，Q是该椭圆的蒙日圆上的动点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 该椭圆的蒙日圆的方程为x2＋y2＝35
B. 存在点Q使△F1QF2的面积为25
C. 使∠F1PF2＝90°的点P有四个
D. 直线PA1，PA2的斜率之积kPA1·kPA2＝－
三、 填空题
9 (2024台州期末)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上的点，若∠F1PF2＝60°，PF1＝2PF2，则椭圆的离心率等于________．
10 (2024昭通一中期末)斜率为的直线与椭圆＋＝1(a>b>0)交于A，B两点，M(－2，1)为线段AB的中点，则椭圆的离心率为________．
11 已知F为椭圆Γ：＋＝1的左焦点，P为椭圆Γ上的任意一点，O为坐标原点，则 ·的最大值为________．
四、 解答题
12 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点，AF2＋BF2＝2.
(1) 若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；
(2) 若点M到直线l的距离不小于，求椭圆离心率的取值范围．
13 已知椭圆中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，直线y＝x与椭圆在第一象限交于点M，且点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F2，另一个焦点是F1.
(1) 求椭圆的离心率；
(2) 若·＝2，求椭圆的方程．
【答案解析】
3．1.2　椭圆的简单几何性质(2)
1. B　因为椭圆＋＝1的短半轴长b＝2，所以该椭圆的短轴长2b＝4.
2. B　因为方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，所以4a>a2＋1，解得2－3. A　如图，由椭圆＋＝1(a>b>0)，得左顶点A(－a，0).由点P在过点A且斜率为的直线上，得直线AP的方程为y＝(x＋a).因为△PF1F2为等腰直角三角形，且∠F1F2P＝90°，所以点P的坐标为(c，2c)，代入直线 y＝(x＋a)，得2c＝(c＋a)，整理得3c＝a，所以椭圆的离心率为e＝＝.
4. C　由＋＝，得＋＝，化简，得a2＝4c2.又b2＝3，所以a2－c2＝3c2＝3，则c＝1，a＝2，所以该椭圆的标准方程为＋＝1.
5. D　不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则e＝，且r＝a－c－R，解得a＝，c＝，故该卫星远地点离地面的距离为a＋c－R＝＋－R＝r＋R.又e＝，所以r＋R＝r＋R＝r＋R＝.
6. A　设点A(x1，y1)，B(x2，y2).依题意知，b2x＋a2y＝a2b2，b2x＋a2y＝a2b2，两式相减，得b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.因为直线AB的倾斜角为45°，即直线AB的斜率为＝1.又M(－3，2)为线段AB的中点，则x1＋x2＝－6，y1＋y2＝4，所以4a2－6b2＝0，即＝，所以椭圆C的离心率e＝＝.
7. ACD　由已知条件，得a＝2，b＝2，c＝＝＝2.设P(m，n)，则S△F1PF2＝×4×|n|＝3，解得|n|＝，则点P到x轴的距离为，故A正确；将|n|＝代入＋＝1，得m2＝，则·＝(－2－m，－n)·(2－m，－n)＝m2＋n2－4＝＋－4＝，则cos ∠F1PF2＝>0，且两向量所成角的范围为[0，π]，则∠F1PF2为锐角，故B错误；由椭圆的定义可知PF1＋PF2＝2a＝4，F1F2＝2c＝4，则△F1PF2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝4＋4，故C正确；设△F1PF2的内切圆半径为r，圆心为M，则S△F1PF2＝S△MF1F2＋S△PF2M＋S△PF1M＝F1F2·r＋PF1·r＋PF2·r＝r×4(＋1)＝2r(＋1)＝3，解得 r＝，故D正确．故选ACD.
8. ACD　因为椭圆方程为＋＝1，所以a＝5，b＝，c＝，当椭圆的两条互相垂直的切线，一条斜率不存在，另一条斜率为0时，切线分别经过长轴端点和短轴端点，此时切线的交点为(±5，±)；当椭圆的两条互相垂直的切线斜率均存在时，设两切线交点为M(x0，y0)，x0≠±a，切点为A，B，切线方程设为y＝k(x－x0)＋y0，联立消去y并整理，得(10＋25k2)x2－50k(kx0－y0)x＋25(kx0－y0)2－250＝0，由于直线y＝k(x－x0)＋y0与椭圆相切，故Δ＝2 500k2(kx0－y0)2－4(10＋25k2)[25(kx0－y0)2－250]＝0，即(x－25)k2－2x0y0k＋y－10＝0，由于两切线的斜率即为该方程的两个根，故kMA·kMB＝.又MA⊥MB，所以kMA·kMB＝＝－1，即x＋y＝35，此时两切线交点的轨迹方程为x2＋y2＝35，而(±5，±)也适合该方程，故该椭圆的蒙日圆的方程为x2＋y2＝35，故A正确；当点Q位于圆x2＋y2＝35与y轴的交点处时，S△F1QF2取到最大值，最大值为S△F1QF2＝F1F2×＝×＝5<25，即不存在点Q使△F1QF2的面积为25，故B错误；由于F1F2＝2c＝2，故以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝15，而椭圆的短半轴长为<，故圆x2＋y2＝15与椭圆有四个交点，故C正确；由题意知A1(－5，0)，A2(5，0)，设P(x，y)，x≠±5，则＋＝1，故y2＝(25－x2)，故kPA1·kPA2＝·＝＝－，故D正确．故选ACD.
9. 　由椭圆定义，得PF1＋PF2＝2a，又PF1＝2PF2，故PF1＝，PF2＝.由余弦定理，得 cos ∠F1PF2＝＝＝＝，故－8c2＝，解得＝，故离心率为.
10. 　令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减，得＋＝0，所以＝－.又M(－2，1)为线段AB的中点，且直线AB的斜率为，所以＝－＝，即＝，则e＝＝.
11. 6　设点P的坐标为(x，y)，－2≤x≤2，则由＋＝1，得y2＝3－x2.由题意，得椭圆Γ的左焦点为F(－1，0)，＝(x，y)，＝(x＋1，y)，则·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋3－x2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.因为二次函数f(x)＝(x＋2)2＋2在区间[－2，2]上单调递增，所以f(x)max＝f(2)＝×42＋2＝6，故·的最大值为6.
12. (1) 由题意及椭圆的定义，得2a＝AF2＋AF1＝AF2＋BF2＝2，所以a＝.
又e＝＝，a2＝b2＋c2，
所以c＝1，b＝1.
故椭圆的方程为＋y2＝1.
(2) 设点M的坐标为(0，b)，则点M到直线l的距离为.
由题意知≥，故b≥1，则a2－c2≥1.
因为a＝，所以0所以0<≤，即椭圆离心率的取值范围是.
13. (1) 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).
由题意，得xM＝c，yM＝，
代入直线方程，得c＝＝，
化简，得e2＋e－1＝0，解得e＝(负值舍去)，
故椭圆的离心率为.
(2) 由(1)，得M，F1(－c，0)，F2(c，0)，
所以＝，＝.
因为·＝2，所以＝2，解得c＝2.
因为e＝＝，所以a＝2，
所以b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆的方程为＋＝1.