3.1.2 椭圆的简单几何性质(3)课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册
文档属性
| 名称 | 3.1.2 椭圆的简单几何性质(3)课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 106.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-03 15:32:33 | ||
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文档简介
3．1.2 椭圆的简单几何性质(3)
一、 单项选择题
1 若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率是，则的最小值为( )
A. B. 1 C. D. 2
2 德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比为29∶30，则地球运行轨道所在椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
3 (2023济南莱芜一中阶段练习)已知椭圆＋y2＝1，P是椭圆上任意一点，则点P到直线x－y＋＝0的距离的最大值是( )
A. B.
C. D.
4 已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E. 若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
5 (2023哈尔滨三中期末)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆M的上焦点F作斜率为k(k>0)的直线l，直线l交椭圆M于A，B两点，若＝4，则k的值为( )
A. B.
C. D.
6 设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，PF1＝λPF2，∠F1PF2＝，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. (0，] B.
C. D. [，1)
二、 多项选择题
7 (2024南京期末)椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1和F2，P为椭圆上一点，则下列说法中正确的有( )
A. 过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为16
B. 若PF1⊥F1F2，则△F1PF2的面积为
C. 椭圆C上存在点P，使得PF1⊥PF2
D. PF1的取值范围是[2－，2＋]
8 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，A1，A2分别为左、右顶点，B1，B2分别为上、下顶点，F1，F2分别为左、右焦点，P为椭圆上的一点，则下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有( )
A. A1F1·F2A2＝F1F
B. ∠F1B1A2＝90°
C. PF1⊥x轴，且PO∥A2B1
D. 四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2
三、 填空题
9 (2023北京三十五中阶段练习)过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同焦点的椭圆方程是____________．
10 已知椭圆＋＝1内有一点P(1，－1)，F是椭圆的右焦点，M是椭圆上的一点，则MP＋MF的最小值为________．
11 过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交椭圆M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆M的方程为______________．
四、 解答题
12 (2024盐城期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，椭圆的离心率为e＝，短轴长为2.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若过点D(1，0)的直线l与椭圆交于M，N两点，且点M在第一象限，判断是否存在常数λ，使得kBN＝λkAM恒成立；若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
13 (2024汉中期末)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，焦距为2.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 过椭圆的左焦点F1，且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，求△OAB的面积．
【答案解析】
3．1.2 椭圆的简单几何性质(3)
1. A 由题意，得＝，即c＝a，所以b2＝a2－c2＝，则＝＝＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝时取等号，所以的最小值为.
2. A 设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c.由题意，得＝，整理，得a＝59c，即＝，所以地球运行轨道所在椭圆的离心率是.
3. A 联立消去y并整理，得5x2＋8x＋16＝0，则Δ＝(8)2－4×5×16＝0，所以直线x－y＋＝0与椭圆＋y2＝1相切，且在椭圆上方．设直线方程为x－y＋m＝0，联立消去y并整理，得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，故Δ＝0，即64m2－4×5(4m2－4)＝0，解得m＝(舍去)或m＝－，则x－y－＝0，故点P到直线x－y＋＝0的距离的最大值为d＝＝.
4. A 如图，由题意，得A(－a，0)，B(a，0)，F(－c，0).设E(0，m)，由PF∥OE，得＝，则MF＝①.又由OE∥MF，得＝，则MF＝②，由①②，得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，则e＝＝.
5. A 因为长轴长是短轴长的2倍，所以a＝2b, c＝＝b，则F(0，b).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋b(k>0)，代入椭圆方程，得＋＝1，整理，得(kx＋b)2＋4x2－4b2＝0，即(k2＋4)x2＋2kbx－b2＝0.因为Δ＝(2kb)2－4(k2＋4)(－b2)＝16k2b2＋16b2>0，所以x1＋x2＝－，x1·x2＝.因为＝4，所以－x1＝4x2，所以x2＝，x＝，则＝，即＝，化简，得16k2＝3(k2＋4)，解得k2＝.因为k>0，所以k＝.
6. B 设F1(－c，0)，F2(c，0).由椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a，设PF2＝t，则PF1＝λt，所以(λ＋1)t＝2a①.由∠F1PF2＝，得PF＋PF＝4c2，即(λ2＋1)t2＝4c2②.由①②，得e2＝.令m＝λ＋1，则λ＝m－1，所以＝＝2＋.由≤λ≤2，得≤m≤3，即≤≤，则当m＝2时，e2取得最小值；当m＝或m＝3时，e2取得最大值，即≤e2≤，所以≤e≤，即椭圆离心离的取值范围是.
7. BCD 由＋y2＝1，得a＝2，b＝1，c＝.对于A，△ABF1的周长为AF1＋F1B＋AB＝AF1＋F1B＋AF2＋F2B＝AF1＋AF2＋F1B＋F2B＝4a＝8，故A错误；对于B，令x＝－，则y＝±，所以PF1＝，所以△F1PF2的面积为S＝PF1·F1F2＝××2＝，故B正确；对于C，若PF1⊥PF2，则点P在以F1F2为直径的圆上，即圆x2＋y2＝3.因为a＝2>，b＝1<，所以圆x2＋y2＝3与椭圆＋y2＝1有交点，所以椭圆C上存在点P，使得PF1⊥PF2，故C正确；对于D，因为a＋c＝2＋，a－c＝2－，所以PF1的取值范围是[2－，2＋]，故D正确．故选BCD.
8. BD 因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)，所以A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，－b)，F1(－c，0)，F2(c，0).对于A，若A1F1·F2A2＝F1F，则(a－c)2＝(2c)2，所以a－c＝2c，所以e＝，不满足题意，故A不符合条件；对于B，因为∠F1B1A2＝90°，所以A2F＝B1F＋B1A，所以(a＋c)2＝a2＋a2＋b2，所以c2＋ac－a2＝0，所以e2＋e－1＝0，解得e＝或 e＝(舍去)，故B符合条件；对于C，因为PF1⊥x轴，且PO∥A2B1，所以P.因为kPO＝kA2B1，所以＝，解得b＝c.因为a2＝b2＋c2，所以a＝c，所以e＝＝＝，不满足题意，故C不符合条件；对于D，因为四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2，即四边形A1B2A2B1的内切圆的半径为c，所以ab＝c，所以c4－3a2c2＋a4＝0，所以e4－3e2＋1＝0，解得e2＝(舍去)或e2＝，所以e＝，故D符合条件．故选BD.
9. ＋＝1 根据题意，得椭圆4x2＋9y2＝36的标准方程为＋＝1，其焦点坐标为(±，0)，则所求的椭圆的焦点坐标为(±，0)，设其左、右焦点为F1，F2.又椭圆经过点(3，－2)，所以2a＝PF1＋PF2＝＋＝2，则a＝.又c＝，所以b2＝a2－c2＝10，则所求椭圆的方程为＋＝1.
10. 4 由题意，椭圆的右焦点F(1，0)，设点M(x，y)，－≤x≤，则＋＝1，则MF＝·＝·＝＝5－x.过点M作直线x＝5的垂线，垂足为N，则MN＝MF，所以当P，M，N三点共线(点M在线段PN上)时，(MP＋MF)min＝(MP＋MN)min＝5－1＝4.
11. ＋＝1 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则＋＝1，＋＝1，＝－1，由此可得 ＝－＝1.因为x2＋x1＝2x0，y2＋y1＝2y0，＝，所以a2＝2b2.又由题意可知，椭圆M 的右焦点为(，0)，所以a2－b2＝3，所以a2＝6，b2＝3，所以椭圆M的方程为＋＝1.
12. (1) 由题意，得e＝＝，即a＝2c，2b＝2，且a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，c＝1.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 方法一：当直线l的斜率不存在时，M，N，A(－2，0)，B(2，0)，
则kBN＝，kAM＝，所以kBN＝3kAM；
当直线l的斜率存在时，不妨设l：y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立直线和椭圆方程，消去y并整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，显然Δ>0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以＝＝＝＝＝3.
综上，存在常数λ＝3，使得kBN＝3kAM恒成立．
方法二：不妨设l：x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2，0)，B(2，0)，
联立直线和椭圆方程，消去x并整理，得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，显然Δ>0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
所以kAM·kAN＝＝＝＝－.
又kBN·kAN＝·＝＝＝－，故kBN＝3kAM.
故存在常数λ＝3，使得kBN＝3kAM恒成立．
13. (1) 由题意，得焦距为2c＝2，离心率e＝＝，则c＝1，a＝.
又由b2＝a2－c2，得b2＝4，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) 由(1)知左焦点为F1(－1，0)，
则直线l的方程为y＝x＋1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y并整理，得9x2＋10x－15＝0，
则Δ＝102－4×9×(－15)>0，且x1＋x2＝－，x1x2＝－.
由弦长公式，得AB＝·|x1－x2|＝·
＝·＝.
又点O到直线AB的距离d＝＝，
所以S△OAB＝AB·d＝××＝.
一、 单项选择题
1 若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率是，则的最小值为( )
A. B. 1 C. D. 2
2 德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比为29∶30，则地球运行轨道所在椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
3 (2023济南莱芜一中阶段练习)已知椭圆＋y2＝1，P是椭圆上任意一点，则点P到直线x－y＋＝0的距离的最大值是( )
A. B.
C. D.
4 已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E. 若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
5 (2023哈尔滨三中期末)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆M的上焦点F作斜率为k(k>0)的直线l，直线l交椭圆M于A，B两点，若＝4，则k的值为( )
A. B.
C. D.
6 设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，PF1＝λPF2，∠F1PF2＝，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. (0，] B.
C. D. [，1)
二、 多项选择题
7 (2024南京期末)椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1和F2，P为椭圆上一点，则下列说法中正确的有( )
A. 过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为16
B. 若PF1⊥F1F2，则△F1PF2的面积为
C. 椭圆C上存在点P，使得PF1⊥PF2
D. PF1的取值范围是[2－，2＋]
8 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，A1，A2分别为左、右顶点，B1，B2分别为上、下顶点，F1，F2分别为左、右焦点，P为椭圆上的一点，则下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有( )
A. A1F1·F2A2＝F1F
B. ∠F1B1A2＝90°
C. PF1⊥x轴，且PO∥A2B1
D. 四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2
三、 填空题
9 (2023北京三十五中阶段练习)过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同焦点的椭圆方程是____________．
10 已知椭圆＋＝1内有一点P(1，－1)，F是椭圆的右焦点，M是椭圆上的一点，则MP＋MF的最小值为________．
11 过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交椭圆M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆M的方程为______________．
四、 解答题
12 (2024盐城期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，椭圆的离心率为e＝，短轴长为2.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若过点D(1，0)的直线l与椭圆交于M，N两点，且点M在第一象限，判断是否存在常数λ，使得kBN＝λkAM恒成立；若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
13 (2024汉中期末)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，焦距为2.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 过椭圆的左焦点F1，且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，求△OAB的面积．
【答案解析】
3．1.2 椭圆的简单几何性质(3)
1. A 由题意，得＝，即c＝a，所以b2＝a2－c2＝，则＝＝＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝时取等号，所以的最小值为.
2. A 设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c.由题意，得＝，整理，得a＝59c，即＝，所以地球运行轨道所在椭圆的离心率是.
3. A 联立消去y并整理，得5x2＋8x＋16＝0，则Δ＝(8)2－4×5×16＝0，所以直线x－y＋＝0与椭圆＋y2＝1相切，且在椭圆上方．设直线方程为x－y＋m＝0，联立消去y并整理，得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，故Δ＝0，即64m2－4×5(4m2－4)＝0，解得m＝(舍去)或m＝－，则x－y－＝0，故点P到直线x－y＋＝0的距离的最大值为d＝＝.
4. A 如图，由题意，得A(－a，0)，B(a，0)，F(－c，0).设E(0，m)，由PF∥OE，得＝，则MF＝①.又由OE∥MF，得＝，则MF＝②，由①②，得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，则e＝＝.
5. A 因为长轴长是短轴长的2倍，所以a＝2b, c＝＝b，则F(0，b).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋b(k>0)，代入椭圆方程，得＋＝1，整理，得(kx＋b)2＋4x2－4b2＝0，即(k2＋4)x2＋2kbx－b2＝0.因为Δ＝(2kb)2－4(k2＋4)(－b2)＝16k2b2＋16b2>0，所以x1＋x2＝－，x1·x2＝.因为＝4，所以－x1＝4x2，所以x2＝，x＝，则＝，即＝，化简，得16k2＝3(k2＋4)，解得k2＝.因为k>0，所以k＝.
6. B 设F1(－c，0)，F2(c，0).由椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a，设PF2＝t，则PF1＝λt，所以(λ＋1)t＝2a①.由∠F1PF2＝，得PF＋PF＝4c2，即(λ2＋1)t2＝4c2②.由①②，得e2＝.令m＝λ＋1，则λ＝m－1，所以＝＝2＋.由≤λ≤2，得≤m≤3，即≤≤，则当m＝2时，e2取得最小值；当m＝或m＝3时，e2取得最大值，即≤e2≤，所以≤e≤，即椭圆离心离的取值范围是.
7. BCD 由＋y2＝1，得a＝2，b＝1，c＝.对于A，△ABF1的周长为AF1＋F1B＋AB＝AF1＋F1B＋AF2＋F2B＝AF1＋AF2＋F1B＋F2B＝4a＝8，故A错误；对于B，令x＝－，则y＝±，所以PF1＝，所以△F1PF2的面积为S＝PF1·F1F2＝××2＝，故B正确；对于C，若PF1⊥PF2，则点P在以F1F2为直径的圆上，即圆x2＋y2＝3.因为a＝2>，b＝1<，所以圆x2＋y2＝3与椭圆＋y2＝1有交点，所以椭圆C上存在点P，使得PF1⊥PF2，故C正确；对于D，因为a＋c＝2＋，a－c＝2－，所以PF1的取值范围是[2－，2＋]，故D正确．故选BCD.
8. BD 因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)，所以A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，－b)，F1(－c，0)，F2(c，0).对于A，若A1F1·F2A2＝F1F，则(a－c)2＝(2c)2，所以a－c＝2c，所以e＝，不满足题意，故A不符合条件；对于B，因为∠F1B1A2＝90°，所以A2F＝B1F＋B1A，所以(a＋c)2＝a2＋a2＋b2，所以c2＋ac－a2＝0，所以e2＋e－1＝0，解得e＝或 e＝(舍去)，故B符合条件；对于C，因为PF1⊥x轴，且PO∥A2B1，所以P.因为kPO＝kA2B1，所以＝，解得b＝c.因为a2＝b2＋c2，所以a＝c，所以e＝＝＝，不满足题意，故C不符合条件；对于D，因为四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2，即四边形A1B2A2B1的内切圆的半径为c，所以ab＝c，所以c4－3a2c2＋a4＝0，所以e4－3e2＋1＝0，解得e2＝(舍去)或e2＝，所以e＝，故D符合条件．故选BD.
9. ＋＝1 根据题意，得椭圆4x2＋9y2＝36的标准方程为＋＝1，其焦点坐标为(±，0)，则所求的椭圆的焦点坐标为(±，0)，设其左、右焦点为F1，F2.又椭圆经过点(3，－2)，所以2a＝PF1＋PF2＝＋＝2，则a＝.又c＝，所以b2＝a2－c2＝10，则所求椭圆的方程为＋＝1.
10. 4 由题意，椭圆的右焦点F(1，0)，设点M(x，y)，－≤x≤，则＋＝1，则MF＝·＝·＝＝5－x.过点M作直线x＝5的垂线，垂足为N，则MN＝MF，所以当P，M，N三点共线(点M在线段PN上)时，(MP＋MF)min＝(MP＋MN)min＝5－1＝4.
11. ＋＝1 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则＋＝1，＋＝1，＝－1，由此可得 ＝－＝1.因为x2＋x1＝2x0，y2＋y1＝2y0，＝，所以a2＝2b2.又由题意可知，椭圆M 的右焦点为(，0)，所以a2－b2＝3，所以a2＝6，b2＝3，所以椭圆M的方程为＋＝1.
12. (1) 由题意，得e＝＝，即a＝2c，2b＝2，且a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，c＝1.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 方法一：当直线l的斜率不存在时，M，N，A(－2，0)，B(2，0)，
则kBN＝，kAM＝，所以kBN＝3kAM；
当直线l的斜率存在时，不妨设l：y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立直线和椭圆方程，消去y并整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，显然Δ>0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以＝＝＝＝＝3.
综上，存在常数λ＝3，使得kBN＝3kAM恒成立．
方法二：不妨设l：x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2，0)，B(2，0)，
联立直线和椭圆方程，消去x并整理，得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，显然Δ>0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
所以kAM·kAN＝＝＝＝－.
又kBN·kAN＝·＝＝＝－，故kBN＝3kAM.
故存在常数λ＝3，使得kBN＝3kAM恒成立．
13. (1) 由题意，得焦距为2c＝2，离心率e＝＝，则c＝1，a＝.
又由b2＝a2－c2，得b2＝4，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) 由(1)知左焦点为F1(－1，0)，
则直线l的方程为y＝x＋1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y并整理，得9x2＋10x－15＝0，
则Δ＝102－4×9×(－15)>0，且x1＋x2＝－，x1x2＝－.
由弦长公式，得AB＝·|x1－x2|＝·
＝·＝.
又点O到直线AB的距离d＝＝，
所以S△OAB＝AB·d＝××＝.