3.2.1 双曲线及其标准方程(1)课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

3．2　双　曲　线
3.2.1　双曲线及其标准方程(1)
一、 单项选择题
1 (2024南充二模)已知m，n是实数，则“mn<0”是“曲线mx2＋ny2＝1是焦点在x轴的双曲线”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 (2024许昌期末)若方程＋＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－∞，－7)∪(4，＋∞) B. (－7，4)
C. (－∞，－4)∪(7，＋∞) D. (－4，7)
3 已知两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A. x2－＝1 B. －y2＝1
C. x2－＝1(x≤－1) D. x2－＝1(x≥1)
4 若方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则角α所在象限是(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
5 若ab≠0，则直线ax－y＋b＝0和＋＝1所表示的曲线只可能是图中的(　　)
A B C D
6 (2024南阳期末)若椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则△PF1F2的面积为(　　)
A. 4 B. 8
C. 12 D. 16
二、 多项选择题
7 已知a＝2，c＝4，则双曲线的标准方程为(　　)
A. －＝1
B. －＝1
C. －＝1
D. －＝1
8 (2024苏州期末)在平面直角坐标系Oxy中，已知曲线C：＋y2＝m，则下列说法中正确的有(　　)
A. 若m>1，则曲线C是椭圆
B. 若m>2，则曲线C是椭圆
C. 若m<0，则曲线C是双曲线
D. 若m<1，则曲线C是双曲线
三、 填空题
9 (2024全国专题练习)焦点在x轴上，且经过点P(4，2)与Q(2，2)的双曲线的标准方程为________．
10 (2024深圳期末)若双曲线＋＝1的焦点在y轴上，则实数k的取值范围为__________．
11 设椭圆＋＝1 与双曲线－y2＝1 有公共焦点F1，F2，P 是两条曲线的一个公共点，则cos ∠F1PF2 等于________．
四、 解答题
12 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1) 焦距为2，经过点(－5，2)，且焦点在x轴上；
(2) 与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2).
13 某地发生地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去，若PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．
【答案解析】
3．2　双　曲　线
3．2.1　双曲线及其标准方程(1)
1. B　若曲线mx2＋ny2＝1是焦点在x轴的双曲线，则m>0，n<0，所以mn<0，故必要性成立；若m＝－1，n＝1，则满足mn<0，但是曲线y2－x2＝1是焦点在y轴的双曲线，故充分性不成立，所以“mn<0”是“曲线mx2＋ny2＝1是焦点在x轴的双曲线”的必要不充分条件．
2. D　若方程＋＝1表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线，则解得－43. C　设圆M的半径为r，则MC1＝1＋r，MC2＝3＋r，MC2－MC1＝2<6，所以点M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，a＝1，c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).
4. D　方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则其标准方程为－＝1，所以sin α<0，cos α>0，所以角α在第四象限．
5. D　因为ab≠0，所以当a<0，b<0时，＋＝1不表示任何曲线；当a>0，b<0时，＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，ax－y＋b＝0表示过第一、三、四象限的直线，故D正确；当a<0，b>0时，＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，ax－y＋b＝0表示过第一、二、四象限的直线，故B不正确；当a>0，b>0时，＋＝1表示椭圆，ax－y＋b＝0表示过第一、二、三象限的直线，故A，C不正确．
6. A　不妨设F1为左焦点，F2为右焦点，P为两曲线在第一象限的交点，则由已知得则PF＋PF＝＝＝66，PF1·PF2＝＝＝17，cos ∠F1PF2＝＝＝，则sin ∠F1PF2＝＝＝，所以S△PF1F2＝PF1·PF2sin∠F1PF2＝×17×＝4.
7. AC　由已知，得b2＝c2－a2＝12，所以当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为－＝1；当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为－＝1.故选AC.
8. BC　当m>1时，若m＝2，则方程为x2＋y2＝2，此时为圆，故A错误；当m>2时，方程化为＋＝1，因为m>2，所以m(m－1)>0，且m(m－1)>m，符合椭圆方程的标准形式，故B正确；当m<0时，＋＝1，因为m<0，所以m(m－1)>0，符合双曲线的标准方程形式，故C正确；若m<1，令m＝0，方程化为y2－x2＝0，即y＝±x，故D错误．故选BC.
9. －＝1　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0).因为点P(4，2)，Q(2，2)在双曲线上，所以解得所以双曲线的标准方程为－＝1.
10. (3，＋∞)　若双曲线＋＝1的焦点在y轴上，则解得k>3，即实数k的取值范围为(3，＋∞).
11. 　由题意，得c2＝6－2＝4，所以c＝2，所以F1F2＝2c＝4.根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，所以PF1＋PF2＝2，PF1－PF2＝2，则PF1＝＋，PF2＝－，所以PF1·PF2＝3，PF＋PF＝(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2＝18，所以cos ∠F1PF2＝＝＝.
12. (1) 因为焦点在x轴上，且c＝，
所以设双曲线的标准方程为－＝1(0又因为双曲线过点(－5，2)，所以－＝1，
解得a2＝5或a2＝30(舍去)，
故所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
(2) 设所求双曲线的标准方程为－＝1(－16<λ<4).
因为双曲线过点(3，2)，
所以－＝1，
解得λ＝－4或λ＝14(舍去)，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
13. 矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样远近，依题意，知界线是第三类点的轨迹．
设M为界线上的任意一点，则PA＋MA＝PB＋MB，MA－MB＝PB－PA＝50，所以界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分．
如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
设所求双曲线的方程的标准形式为－＝1(a>0，b>0).因为a＝25，
2c＝AB＝＝50，
所以c＝25，b2＝c2－a2＝3 750，
故双曲线的标准方程为－＝1，
易知点C的坐标为(25，60)，故y的最大值为60，此时x＝35，
故界线的曲线方程为－＝1(25≤x≤35，y>0).