3.2.1 双曲线及其标准方程(2)课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

3．2.1　双曲线及其标准方程(2)
一、 单项选择题
1 (2024沧州泊头一中阶段练习)已知点 A(3，2)，B(－3，－2)，若动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为，则动点M的轨迹方程为(　　)
A. y2－＝1，x≠±3
B. －y2＝1，x≠±3
C. y2－＝1
D. －y2＝1
2 已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则实数n的取值范围是(　　)
A. (－1，3)
B. (1，3)
C. (－∞，－1)∪(3，＋∞)
D. (－∞，1)∪(3，＋∞)
3 已知F是双曲线－＝1的左焦点，点A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则PF＋PA的最小值为(　　)
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
4 (2023南充一模)已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线在第一象限上的一点，若cos ∠PF2F1＝，则·的值为(　　)
A. B. 2 C. 14 D. 15
5 已知有相同焦点F1，F2的椭圆＋y2＝1(m>1)和双曲线－y2＝1(n>0)，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是(　　)
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 以上均有可能
6 (2023鸡西一中期末)过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋5)2＋y2＝4和圆C2：(x－5)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则PM2－PN2的最小值为(　　)
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19
二、 多项选择题
7 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A(x，y)与点B(a，b)之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程|－|＝2的解为(　　)
A. B.
C. － D. －
8. (2023辽宁实验中学阶段练习)已知P为双曲线－y2＝1右支上的一个动点(不经过顶点)，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，△PF1F2的内切圆圆心为I，过点F2作F2A⊥PI，垂足为A，则下列结论中正确的是　(　　)
A. 点I的横坐标为2
B. ＝
C. OA＝2
D. ＝
三、 填空题
9 设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0)的左、右焦点，点P在双曲线上，且·＝0，·＝2，则a＝________．
10 (2024上海育才中学期末)已知P是双曲线－＝1右支上任意一点，F1，F2分别为左、右焦点，设∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，则＝________．
11 (2023广州天河中学阶段练习)已知M为圆O：x2＋y2＝1上的动点，点F1(－2，0)，F2(2，0)，延长F1M至点N，使得MN＝F1M，线段F1N的垂直平分线交直线F2N于点P，记点P的轨迹为Γ，则Γ的方程为________．
四、 解答题
12 已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1) 若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2) 如图，若P是双曲线左支上的一点，且PF1·PF2＝32，试求△F1PF2的面积．
13 (2023临沂期末)已知圆M：(x＋)2＋y2＝9的圆心为M，圆N：(x－)2＋y2＝1的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C.
(1) 求曲线C的方程；
(2) 已知点P(2，0)，直线l不过点P并与曲线C交于A，B两点，且·＝0，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案解析】
3．2.1　双曲线及其标准方程(2)
1. A　设点M的坐标为(x，y).由题意，得·＝，整理可得y2－＝1，x≠±3，即动点M的轨迹方程为y2－＝1，x≠±3.
2. A　由该双曲线两焦点间的距离为4，得c＝2.当双曲线的焦点在x轴上时，c2＝4m2＝4，m2＝1，则方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则－13. C　F是双曲线的左焦点，则F(－4，0)，右焦点为H(4，0).由双曲线的定义可得PF＋PA＝2a＋PH＋PA≥2a＋AH＝9.
4. C　由题意，得双曲线实半轴长a＝1，虚半轴长b＝，半焦距c＝2，则PF1＝2＋PF2，在△PF1F2中，PF＝PF＋F1F－2PF2·F1F2cos ∠PF2F1，即有(PF2＋2)2＝PF＋42－2PF2×4×，解得PF2＝2，则PF1＝4，即△PF1F2是等腰三角形，·＝||·||cos ∠PF1F2＝4×4cos (π－2∠PF2F1)＝－16cos 2∠PF2F1＝－16·(2cos2∠PF2F1－1)＝－16×[2×－1]＝14.
5．B　由题意，得椭圆与双曲线的焦点都在x轴上，不妨设点P在第一象限，F1是左焦点，F2是右焦点，则由椭圆与双曲线的定义，得所以PF1＝＋，PF2＝－，即PF＋PF＝2(m＋n).因为两者有公共焦点，设半焦距为c，则m－1＝c2，n＋1＝c2，所以m＋n＝2c2，所以F1F＝4c2＝2(m＋n)，所以F1F＝PF＋PF，即∠F1PF2＝90°，所以△F1PF2是直角三角形．
6. B　圆C1：(x＋5)2＋y2＝4的圆心为C1(－5，0)，半径为r1＝2，圆C2：(x－5)2＋y2＝1的圆心为C2(5，0)，半径为r2＝1，双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0).连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得PM2－PN2＝(PF－r)－(PF－r)＝(PF－4)－(PF－1)＝PF－PF－3＝(PF1－PF2)(PF1＋PF2)－3＝2a·(PF1＋PF2)－3＝2(PF1＋PF2)－3≥2·2c－3＝17，当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值为17.
7. AC　由|－|＝2，得|－|＝2.其几何意义为平面内一点(x，1)与两定点(－2，0)，(2，0)距离之差的绝对值为2.又平面内与两定点(－2，0)，(2，0)距离之差的绝对值为2的点的轨迹是双曲线，故设该双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得a＝1，b＝，所以该双曲线的方程是x2－＝ 1.联立方程组解得x＝±.故选AC.
8. ABC　双曲线－y2＝1的实半轴长a＝2，半焦距c＝，设△PF1F2的内切圆在PF1，PF2，F1F2上的切点分别为M，N，T，切点T(t，0)，显然2a＝PF1－PF2＝MF1－NF2＝TF1－TF2＝2t＝4，即t＝2，而IT⊥F1F2，则点I的横坐标为2，故A正确；设△PF1F2的内切圆半径为r，则＝＝＝＝，故B正确；延长F2A交PF1于点E，由PA平分∠F1PF2，PA⊥AF2，得PF2＝PE，A为F2E的中点，所以2OA＝EF1＝PF1－PF2＝4，即有OA＝2，故C正确；＝＝>＝，故D错误．故选ABC.
9. 1　由题意，得△PF1F2是直角三角形，且PF＋PF＝F1F＝4c2＝20a，所以(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2＝20a，即(2·)2＋4＝20a，解得a＝1.
10. 　由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5，F1(－5，0)，F2(5，0)，如图，作出△PF1F2的内切圆A与△PF1F2三边分别交于点M，N，Q，则PF1－PF2＝MF1＋PM－PQ－QF2＝MF1－QF2＝NF1－NF2＝2a＝6.又NF1＋NF2＝F1F2＝2c＝10，所以NF1＝8，NF2＝2.由内切圆的性质，得∠AF1F2＝，∠AF2F1＝，AN⊥x轴，则tan ＝，tan ＝，所以＝＝.
11. x2－＝1　如图1，图2，连接OM，PF2.因为O，M为F1F2，F1N的中点，所以F2N＝2OM＝2，由垂直平分线的性质可知F1P＝PN，所以|PF1－PF2|＝F2N＝2<4＝F1F2，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点且实轴长为2的双曲线，所以2a＝2，2c＝4，所以a2＝1，b2＝c2－a2＝3，所以轨迹方程为x2－＝1.
图1 图2
12. 由题意，得a＝3，b＝4，c＝＝5.
(1) 由双曲线的定义，得|MF1－MF2|＝2a＝6，
又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，
假设点M到另一个焦点的距离等于x，
则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2) 由题意，得PF2－PF1＝6，
两边平方，得PF＋PF－2PF1·PF2＝ 36，
则PF＋PF＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos ∠F1PF2＝＝＝0.
因为∠F1PF2∈(0°，180°)，所以∠F1PF2＝90°，
故S△F1PF2＝PF1·PF2＝×32＝16.
13. (1) 如图，设圆E的圆心为E(x，y)，半径为r.
由题意，得圆M的半径为3，圆N的半径为1，
则EM＝r＋3，EN＝r－1，
所以EM－EN＝4由双曲线定义可知，点E的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，
又M(－，0)，N(，0)，
所以动圆的圆心E的轨迹方程为－y2＝1(x≥2)，
即曲线C的方程为－y2＝1(x≥2).
(2) 设直线l的方程为x＝my＋t(t≠2)，
联立消去x并整理，得(m2－4)y2＋2mty＋t2－4＝0.
由题意，得直线与曲线有两个交点，则m2－4≠0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x1≥2，x2≥2，
由根与系数的关系，得y1＋y2＝，y1y2＝.
又点P(2，0)，所以＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2).
因为·＝0，所以(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，
则(my1＋t－2)(my2＋t－2)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋(mt－2m)(y1＋y2)＋(t－2)2
＝
＝0，
即3t2－16t＋20＝0，解得t＝(t＝2舍去)，
当t＝时，直线l的方程为x＝my＋，m≠±2，
故直线l恒过点.