3.2.2 双曲线的简单几何性质(1)课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

3．2.2　双曲线的简单几何性质(1)
一、 单项选择题
1 中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是(　　)
A. x2－y2＝8 B. x2－y2＝4
C. y2－x2＝8 D. y2－x2＝4
2 下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)
A. x2－＝1 B. －y2＝1
C. －x2＝1 D. y2－＝1
3 (2024东莞期末)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且该双曲线与圆x2＋y2＝a2＋b2在第二象限的交点为P，若tan ∠PF1F2＝2，则双曲线的离心率为(　　)
A. B. 2 C. D.
4 已知幂函数y＝x-1的图象是等轴双曲线C，且它的焦点在直线y＝x上，则下列曲线中，与曲线C的实轴长相等的双曲线是(　　)
A. ＋＝1 B. －＝1
C. x2－y2＝1 D. －＝1
5 已知圆x2＋y2＝r2(r>0)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A，B，若四边形OAFB为菱形，则双曲线的离心率为(　　)
A. B. 2 C. 2 D. 4
6 已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若直线l：y＝kx与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，－≥λ，则实数λ的取值范围为(　　)
A. B.
C. D. (－∞，－1]
二、 多项选择题
7 (2024大连期末)已知双曲线C的方程为 －＝1，则下列说法中正确的是(　　)
A. 双曲线C的实轴长为6
B. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x
C. 双曲线C的焦点到渐近线的距离为4
D. 双曲线C上的点到焦点距离的最小值为8
8 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，右顶点为A，以点A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MAN＝60°，则下列结论中正确的是(　　)
A. 渐近线方程为y＝±x
B. e＝
C. e＝
D. 渐近线方程为y＝±x
三、 填空题
9 (2024北京东城期末)已知双曲线C：－＝1，则双曲线C的渐近线方程是________；直线x＝1与双曲线相交于M，N两点，则MN＝________．
10 若双曲线－＝1的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为________．
11 (2023昆明云南师大附中期末)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的最大值是________．
四、 解答题
12 (2024晋城一中期末)在平面内，动点M(x，y)与定点F(3，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离比是常数3.
(1) 求动点M的轨迹方程；
(2) 若直线m与动点M的轨迹交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求OP2＋4OQ2的最小值．
13 已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1(－1，0)，A2(1，0)，离心率为2，过点F(2，0)斜率不为0的直线l与双曲线Γ交于P，Q两点．
(1) 求双曲线Γ的渐近线方程；
(2) 记直线A1P，A2Q的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．
【答案解析】
3．2.2　双曲线的简单几何性质(1)
1. A　在直线方程中，令y＝0，得x＝－4，所以等轴双曲线的一个焦点为(－4，0)，所以c＝4，则a2＝b2＝c2＝×16＝8，所以所求双曲线的方程是x2－y2＝8.
2. C　由A，B可得双曲线的焦点在x轴上，故A，B错误；由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y＝±2x，故C正确；由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y＝±x，故D错误．
3. C　因为a2＋b2＝c2，所以x2＋y2＝c2是以原点为圆心，c为半径的圆，故PF1⊥PF2.因为tan ∠PF1F2＝2，所以＝2，即PF2＝2PF1.由双曲线定义，得PF2－PF1＝2a，即PF1＝2a，PF2＝4a，由勾股定理，得PF＋PF＝F1F，即4a2＋16a2＝4c2，解得e＝＝.故双曲线的离心率为.
4. B　由双曲线几何性质知，双曲线的焦点在实轴上，实轴与双曲线的交点A1(－1，－1)，A2(1，1)是双曲线的顶点，故双曲线C的实轴长＝A1A2＝2.显然A表示的是椭圆；B的双曲线实轴长为2；C的双曲线实轴长为2；D的双曲线实轴长为4，故选B.
5. B　如图，设圆与渐近线在第三象限的交点为C，则∠AFC＝90°.由OA＝OF＝OC＝AF易知，∠ACF＝30°，∠CAF＝60°，则△OAF是等边三角形，则∠AOF＝60°，即双曲线的渐近线AC的倾斜角为60°，所以＝tan 60°＝，所以双曲线的离心率e＝＝＝2.
6. B　不妨设点N，M分别在第一、三象限，连接F2N，由对称性，知F1M＝F2N，F1N－F2N＝4，故－＝－＝－－(－)＝＋－.令F2N＝m，则F1N＝4＋m，且m≥c－a＝3－2＝1，所以＝＝＋1，0<≤4，即1<＋1≤5，令＝t∈(1，5]，故＋－＝＋－≥2－＝－，当且仅当＝，即t＝2时，等号成立，所以λ≤－.故实数λ的取值范围为.
7. AC　由双曲线－＝1，得a＝3，b＝4，则c＝＝5.对于A，双曲线C的实轴长为2a＝6，故A正确；对于B，双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故B错误；对于C，设双曲线C的右焦点F(5，0)，不妨设一条渐近线方程为y＝x，即4x－3y＝0，可得焦点到渐近线的距离为d＝＝4，故C正确；对于D，根据双曲线的性质，得双曲线上的点到焦点的最短距离为c－a＝2，故D错误．故选AC.
8. AC　双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A(a，0)，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则点A到渐近线bx＋ay＝0的距离为b cos 30°＝b，则＝b，即＝，则e＝，且＝＝，故渐近线方程为y＝±x.故选AC.
9. x±y＝0　2　由双曲线C：－＝1，得双曲线的焦点在y轴上，且a2＝4，b2＝2，即a＝2，b＝，所以双曲线C的渐近线方程为x±y＝0.当 x＝1 时，y＝±，设M(1，)，则N(1，－)，所以MN＝2.
10. y＝±x　由题意可知，离心率e＝＝2，即c＝2a.又a2＋b2＝c2＝4a2，即b2＝3a2，则＝，故此双曲线的渐近线方程为y＝±x.
11. 3　因为F1，F2是左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，所以PF2－PF1＝2a，代入，得＝＝PF1＋4a＋≥2＋4a＝8a，当且仅当PF1＝2a时取等号．又点P是双曲线左支上任意一点，所以PF1≥c－a，所以2a≥c－a，即e≤3.故e的最大值为3.
12. (1) 因为动点M(x，y)与定点F(3，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离比是常数3，
所以＝3，
化简，并整理得x2－＝1，
所以动点M的轨迹方程为x2－＝1.
(2) 由题意，得直线OP，OQ存在斜率且不为0，
可设直线OP的方程为y＝kx，直线OQ的方程为 y＝－x.
由得
所以OP2＝x2＋y2＝，
同理可得OQ2＝.
又由OP2>0且OQ2>0，解得所以＋＝＝，
所以OP2＋4OQ2＝(OP2＋4OQ2)＝≥×(5＋2)＝，
当且仅当OP2＝2OQ2，即时等号成立，
所以OP2＋4OQ2的最小值为.
13. (1) 设双曲线Γ的半焦距为c.
由题设，得a＝1，e＝＝2，则c＝2，b2＝c2－a2＝3，
所以双曲线Γ的方程为x2－＝1，
故渐近线方程为y＝±x.
(2) 当直线l的斜率不存在时，点P，Q的坐标分别为(2，3)和(2，－3)，
所以当k1＝1时，k2＝－3；当k1＝－1时，k2＝3，则＝－.
当直线l的斜率k存在时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，l：y＝k(x－2)，
将直线l的方程代入双曲线方程，得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
3k1＋k2＝＋＝＋
＝
＝
＝.
因为4x1x2－5(x1＋x2)＋4
＝＝0，
所以3k1＋k2＝0，即＝－.
综上，为定值，得证．