3.2.2 双曲线的简单几何性质(2)课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

3．2.2　双曲线的简单几何性质(2)
一、 单项选择题
1 已知双曲线－＝1(b>0)的焦点到渐近线的距离为2，则其虚轴长为(　　)
A. 1 B. 4 C. 3 D. 0
2 双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为e1，－＝－1(a>0，b>0)的离心率为e2，则e1＋e2的最小值是(　　)
A. B. 2 C. 2 D. 4
3 (2024江苏假期作业)已知直线l：x＝ty＋2和双曲线C：y2－x2＝8，若直线l与双曲线C的上支交于不同的两点，则实数t的取值范围是(　　)
A. (－，) B. (－，0) C. (0，) D. (－，－1)
4 (2024北京丰台期末)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为P，延长FP交双曲线C的左支于点Q.若＝2，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
5 (2024利川一中期末)如图，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，双曲线C的右支上一点A，它关于原点O的对称点为B，满足∠F1AF2＝120°，且BF2＝3AF2，则双曲线C的离心率是(　　)
A. B. C. D.
6 (2023长沙一中阶段练习)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0)，过点F且斜率为3的直线与双曲线C分别交于M，N两点，若P是线段MN的中点，且PF＝c，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A. y＝±x B. y＝±x
C. y＝±x D. y＝±x
二、 多项选择题
7 (2024自贡期末)已知双曲线－y2＝1，则下列关于双曲线的说法中正确的是(　　)
A. 焦点坐标为(－，0)和(，0)
B. 渐近线方程为y＝x和y＝－x
C. 离心率为
D. 与直线l：y＝x＋1有且仅有一个公共点
8 已知F是双曲线－＝1的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线上的一点，则∠POF的大小可能是(　　)
A. 15° B. 25° C. 60° D. 165°
三、 填空题
9 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.如果以线段F1F2为直径的圆与直线ax－by＋2ac＝0有交点，那么双曲线C的离心率的取值范围为________．
10 双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________．
11 双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥c，则双曲线离心率e的取值范围是________．
四、 解答题
12 (2024泉州期末)动圆C与圆C1：(x＋)2＋y2＝4和圆C2：(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切，记点C的轨迹为E.
(1) 求轨迹E的方程；
(2) 已知点M(1，t)，x轴与轨迹E交于A，B两点，直线AM与轨迹E交于另一点P，直线BM与轨迹E交于另一点Q，记△ABM，△PQM的面积分别为S1，S2.若S2＝S1，求直线PQ的方程．
13 (2024南京师大附中期末)设k∈R，在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线－＝1的左焦点为F，直线y＝k(x－2)与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点．
(1) 求k的取值范围；
(2) 记△AOB的面积为S1，△CFD面积为S2，求的取值范围．
【答案解析】
3．2.2　双曲线的简单几何性质(2)
1. B　设双曲线－＝1(b>0)的一个焦点为(c，0)，且c2＝5＋b2，一条渐近线的方程为bx－y＝0，b>0，则＝b＝2，则虚轴长2b＝4.
2. C　由题意，得双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e1＝＝，－＝－1(a>0，b>0)的离心率e2＝＝，所以e1＋e2＝＋≥×c＝2，当且仅当a＝b时取等号，故e1＋e2的最小值为2.
3. D　设直线l与双曲线C的上支交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x并整理，得(1－t2)y2－4ty－12＝0，则解得－4. D　令双曲线C的左焦点为F′，连接QF′.由FP切圆x2＋y2＝a2于点P，得OP⊥FP.令双曲线C的半焦距为c，则FP＝＝b，由＝2，得QF＝3b.由双曲线的定义，得QF′＝3b－2a.在△QFF′中，cos ∠QFF′＝，由余弦定理，得(3b－2a)2＝(3b)2＋(2c)2－2·3b·2c·，即9b2－12ab＋4a2＝4a2＋4b2－3b2，解得＝，所以双曲线C的离心率e＝＝＝.
5. D　由双曲线定义可知，AF1－AF2＝2a.又点A，B关于原点对称，故AF1＝BF2，AF1∥BF2，故BF2－AF2＝2a，∠AF2B＝180°－∠F1AF2＝60°.又BF2＝3AF2，故BF2＝3a，AF2＝a.因为O为AB的中点，所以＝(＋)，故||2＝(||2＋||2＋2||·||cos ∠AF2B)，即有c2＝[a2＋(3a)2＋2×a×3a×]＝a2，即有＝，故＝.
6. A　由题意，得直线MN的方程为y＝3(x－c)，与－＝1联立，得(b2－9a2)x2＋18a2cx－9a2c2－a2b2＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则b2－9a2≠0，x1＋x2＝，y1＋y2＝3(x1－c)＋3(x2－c)＝3(x1＋x2)－6c＝－6c＝，则P(，)，即P(，).因为PF＝c，所以＋＝，整理，得9a4－2a2b2－11b4＝0，即9－2×－11＝0.令＝t>0，则9t2－2t－11＝0，即(t＋1)(9t－11)＝0，解得t＝(负值舍去)，所以＝，即＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±x.
7. CD　对于A，因为c2＝a2＋b2＝4，所以c＝2，所以焦点坐标为(±2，0)，故A错误；对于B，因为a＝，b＝1，所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，故B错误；对于C，因为a＝，c＝2，所以e＝＝，故C正确；对于D，因为直线l：y＝x＋1与渐近线y＝x平行，所以直线l与双曲线有且仅有一个交点，故D正确．故选CD.
8. ABD　因为该双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，所以两条渐近线的倾斜角分别为30°，150°.当点P在右支上时，∠POF的取值范围是[0°，30°)；当点P在左支上时，∠POF的取值范围是(150°，180°]，所以结合选项知∠POF的大小不可能为60°，可能为15°，25°，165°.故选ABD.
9. [2，＋∞)　以线段F1F2为直径的圆的方程是x2＋y2＝c2，与直线ax－by＋2ac＝0有交点，则圆心到直线的距离d＝＝2a≤c，则双曲线的离心率e＝≥2.
10. 2　因为四边形OABC为正方形且边长为2，所以c＝OB＝2.又∠AOB＝，所以＝tan ＝1，即a＝b.又因为a2＋b2＝c2＝8，所以a＝2.
11. 　设直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公式，且a>1，得点(1，0)到直线l的距离d1＝，点(－1，0)到直线l的距离d2＝，所以s＝d1＋d2＝＝.由s≥c，得≥c，即5a≥2c2.因为e＝，所以5≥2e2，所以25(e2－1)≥4e4，即4e4－25e2＋25≤0，所以≤e2≤5(e>1)，所以≤e≤，即e的取值范围是.
12. (1) 由题意，得圆心分别为C1(－，0)，C2(，0)，两圆半径都为2.
设圆C的半径为R，则R＝CC1－2＝CC2＋2或R＝CC2－2＝CC1＋2，
故|CC1－CC2|＝4<2＝C1C2，
所以点C的轨迹是以C1，C2为焦点，实轴长为4的双曲线，
其中a＝2，c＝，b＝＝1，
所以轨迹E的方程为－y2＝1.
(2) 如图，由题意，得A(－2，0)，B(2，0)，kAM＝，kBM＝－t，
所以直线AM的方程为y＝(x＋2)，直线BM的方程为y＝－t(x－2).
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立消去y并整理，得(9－4t2)x2－16t2x－16t2－36＝0，则xA·xP＝.
又xA＝－2，xP＝x1，所以x1＝，
所以y1＝(＋2)＝，
故P(，).
联立消去y并整理，得(1－4t2)x2＋16t2x－16t2－4＝0，则xB·xQ＝.
又xB＝2，xQ＝x2，所以x2＝，
所以y2＝－t·＝，
故Q.
因为△ABM，△PQM的面积分别为S1，S2，且S2＝S1，sin ∠PMQ＝sin ∠AMB，
所以＝＝＝＝.
由S2＝S1，得＝，
即||＝.
又化简，可得t2＝1，解得t＝1，
当t＝1时，P，Q，
所以kPQ＝＝2，
所以直线PQ的方程为y－＝2，
即2x－y－8＝0.
13. (1) 联立消去y并整理，得(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0.
因为直线与双曲线的右支交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
所以解得k>1或k<－1.
故实数k的取值范围(－∞，－1)∪(1，＋∞).
(2) 由题设可知，△CFD面积为△COD面积的两倍，
记△COD的面积为S3，所以＝.
又△COD和△AOB的高相同，
所以＝＝.
设直线与双曲线的渐近线交于C(x3，y3)，D(x4，y4)两点，
联立消去y并整理，得(1－k2)x2＋4k2x－4k2＝0，
而k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则Δ＝(4k2)2－4×(1－k2)·(－4k2)＝16k2>0.
由根与系数的关系，得x3＋x4＝，x3x4＝，
所以＝＝
＝＝.
又k2>1，则1<1＋<2，
所以∈(2，2).
故的取值范围是(2，2).