3.3.1 抛物线及其标准方程 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册
文档属性
| 名称 | 3.3.1 抛物线及其标准方程 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 93.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-03 15:34:20 | ||
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文档简介
3．3 抛 物 线
3.3.1 抛物线及其标准方程
一、 单项选择题
1 (2024全国专题练习)抛物线y＝－x2的准线方程是( )
A. x＝ B. x＝
C. y＝2 D. y＝4
2 以双曲线－＝1，其中a∈(0，2)的焦点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A. y2＝±4x B. y2＝±8x
C. x2＝±4y D. x2＝±8y
3 抛物线y2＝8x的焦点到双曲线x2－＝1的一条渐近线的距离为( )
A. 1 B. 2
C. D. 2
4 (2024太原期末)如图，直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于点B，与准线交于点A，且AB＝3BF，则直线l的斜率为( )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 3
5 已知点A，B在抛物线y2＝2px(p>0)上，O是坐标原点，若等边三角形OAB的面积为4，则该抛物线的方程是( )
A. y2＝x B. y2＝x
C. y2＝2x D. y2＝x
6 (2024衡阳期末)已知A(m，－4)，B是抛物线M：y＝－x2上的两点，F为抛物线M的焦点，C(3，3)，点B到x轴的距离为d，则 AF＋BC＋d的最小值为( )
A. 9 B. 10
C. 4＋ D. 5＋
二、 多项选择题
7 过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列说法中正确的是( )
A. 以线段AB为直径的圆与直线x＝－一定相离
B. AB的最小值为4
C. AB的最小值为2
D. 以线段BM为直径的圆与y轴一定相切
8 (2024长治期末)如图所示是某家用汽车远光灯示意图，其中心截口曲线是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，且灯口直径是20 cm，灯深10 cm，则下列结论中正确的是( )
A. 远光灯光线按照路径F→A→B射向远处
B. 光源F到反光镜顶点O的距离是5 cm
C. 与抛物线对称轴垂直的光线长度为12.5 cm
D. 灯口上任意一点到焦点F的距离是12.5 cm
三、 填空题
9 已知双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn＝________．
10 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是 60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是________cm.
11 (2024苏州期末)在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(2，2)，记抛物线C：y2＝4x上的动点P到准线的距离为d，则d－PA的最大值为________．
四、 解答题
12 (2023江苏专题练习)分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1) 准线方程为2y＋4＝0；
(2) 过点(3，－4)；
(3) 焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
13 如图是一抛物线型机械模具的示意图，该示意图的曲线部分是抛物线E的一部分，以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系．已知模具的深度AC＝4cm，口径长AB＝12cm.
(1) 求抛物线E的标准方程；
(2) 为满足生产的要求，需将模具的深度减少1cm，求此时该模具的口径长．
【答案解析】
3．3 抛 物 线
3．3.1 抛物线及其标准方程
1. C 将y＝－x2化为标准方程x2＝－8y，由此，得p＝4，所以抛物线的准线方程为y＝2.
2. D 因为双曲线－＝1，其中a∈(0，2)的焦点坐标为(0，±2)，故所求抛物线方程为x2＝±8y.
3. C 由题意，得抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，双曲线x2－＝1的一条渐近线为y＝x，则焦点到渐近线的距离为d＝＝.
4. A 如图，过点B作准线的垂线，垂足为M，由抛物线的定义，得BM＝BF，在Rt△ABM中，sin ∠BAM＝＝＝，cos ∠BAM＝＝，所以tan ∠BFx＝tan (－∠BAM)＝＝＝2.
5. A 设等边三角形OAB的边长为a，则a2＝4，解得a＝4.根据抛物线的对称性可知∠AOx＝，且OA＝a＝4.设点A在x轴上方，则点A的坐标为，即(2，2)，将点(2，2)代入抛物线方程，得22＝2p·2，解得p＝，故抛物线的方程为y2＝x.
6. A 因为抛物线M：x2＝－4y的准线方程为y＝1，所以AF＝1－(－4)＝5，d＋1＝BF.因为F(0，－1)，所以AF＋BC＋d＝5＋BC＋BF－1≥4＋CF＝4＋＝9，当且仅当点B在线段CF上时，等号成立，所以AF＋BC＋d的最小值为9.
7. AB 对于A，由抛物线的定义，得点M到准线x＝－1的距离为(AF＋BF)＝AB，故以线段AB为直径的圆与直线x＝－1一定相切，故与直线x＝－一定相离，故A正确；对于B，C，当直线AB垂直于x轴时，AB为抛物线的通径，取得最小值4，故B正确，C错误；对于D，显然BM中点的横坐标与BM不一定相等，所以圆与y轴不一定相切，故D错误．故选AB.
8. AD 对于A，根据题意可知远光灯光线按照路径F→A→B射向远处，故A正确；如图，以O为坐标原点建立平面直角坐标系，则C(10，10)，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则102＝20p，解得p＝5，所以抛物线方程为y2＝10x，焦点坐标为(2.5，0).对于B，光源F到反光镜顶点O的距离是＝2.5(cm)，故B错误；对于C，与抛物线对称轴垂直的光线长度为2.5＋2.5＝5(cm)，故C错误；对于D，灯口上任意一点到焦点F的距离是10＋2.5＝12.5(cm)，故D正确．故选AD.
9. 由题意，得抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，则m＋n＝1.又双曲线的离心率是2，所以＝＝4，所以m＝，n＝，所以mn＝.
10. 如图，设抛物线的标准方程为x2＝2py，则点P(30，40)在该抛物线上，所以80p＝900，解得p＝，所以光源到反射镜顶点的距离为＝(cm).
11. 由抛物线的定义知，d＝PF，所以d－PA＝PF－PA≤AF＝＝，所以当点P位于射线FA与抛物线交点时，取最大值.
12. (1) 准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，则抛物线的焦点坐标为(0，2)，
所以所求抛物线的标准方程为x2＝8y.
(2) 设所求抛物线的标准方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，
则(－4)2＝3m，解得m＝，或32＝－4n，解得n＝－，
所以所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(3) 直线x＋3y＋15＝0交y轴于点(0，－5)，则以(0，－5)为焦点的抛物线标准方程为x2＝－20y；
直线x＋3y＋15＝0交x轴于点(－15，0)，则以(－15，0)为焦点的抛物线标准方程为y2＝－60x，
所以所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
13. (1) 设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0).因为AC＝4 cm，AB＝12 cm，所以抛物线E过点(6，4)，所以62＝2p×4，得2p＝9，所以抛物线E的标准方程为x2＝9y.
(2) 若将模具的深度减少1 cm，设此时的口径长为 2a cm(a>0)，则a2＝9×3，解得a＝3，所以此时该模具的口径长为6 cm.
3.3.1 抛物线及其标准方程
一、 单项选择题
1 (2024全国专题练习)抛物线y＝－x2的准线方程是( )
A. x＝ B. x＝
C. y＝2 D. y＝4
2 以双曲线－＝1，其中a∈(0，2)的焦点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A. y2＝±4x B. y2＝±8x
C. x2＝±4y D. x2＝±8y
3 抛物线y2＝8x的焦点到双曲线x2－＝1的一条渐近线的距离为( )
A. 1 B. 2
C. D. 2
4 (2024太原期末)如图，直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于点B，与准线交于点A，且AB＝3BF，则直线l的斜率为( )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 3
5 已知点A，B在抛物线y2＝2px(p>0)上，O是坐标原点，若等边三角形OAB的面积为4，则该抛物线的方程是( )
A. y2＝x B. y2＝x
C. y2＝2x D. y2＝x
6 (2024衡阳期末)已知A(m，－4)，B是抛物线M：y＝－x2上的两点，F为抛物线M的焦点，C(3，3)，点B到x轴的距离为d，则 AF＋BC＋d的最小值为( )
A. 9 B. 10
C. 4＋ D. 5＋
二、 多项选择题
7 过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列说法中正确的是( )
A. 以线段AB为直径的圆与直线x＝－一定相离
B. AB的最小值为4
C. AB的最小值为2
D. 以线段BM为直径的圆与y轴一定相切
8 (2024长治期末)如图所示是某家用汽车远光灯示意图，其中心截口曲线是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，且灯口直径是20 cm，灯深10 cm，则下列结论中正确的是( )
A. 远光灯光线按照路径F→A→B射向远处
B. 光源F到反光镜顶点O的距离是5 cm
C. 与抛物线对称轴垂直的光线长度为12.5 cm
D. 灯口上任意一点到焦点F的距离是12.5 cm
三、 填空题
9 已知双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn＝________．
10 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是 60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是________cm.
11 (2024苏州期末)在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(2，2)，记抛物线C：y2＝4x上的动点P到准线的距离为d，则d－PA的最大值为________．
四、 解答题
12 (2023江苏专题练习)分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1) 准线方程为2y＋4＝0；
(2) 过点(3，－4)；
(3) 焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
13 如图是一抛物线型机械模具的示意图，该示意图的曲线部分是抛物线E的一部分，以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系．已知模具的深度AC＝4cm，口径长AB＝12cm.
(1) 求抛物线E的标准方程；
(2) 为满足生产的要求，需将模具的深度减少1cm，求此时该模具的口径长．
【答案解析】
3．3 抛 物 线
3．3.1 抛物线及其标准方程
1. C 将y＝－x2化为标准方程x2＝－8y，由此，得p＝4，所以抛物线的准线方程为y＝2.
2. D 因为双曲线－＝1，其中a∈(0，2)的焦点坐标为(0，±2)，故所求抛物线方程为x2＝±8y.
3. C 由题意，得抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，双曲线x2－＝1的一条渐近线为y＝x，则焦点到渐近线的距离为d＝＝.
4. A 如图，过点B作准线的垂线，垂足为M，由抛物线的定义，得BM＝BF，在Rt△ABM中，sin ∠BAM＝＝＝，cos ∠BAM＝＝，所以tan ∠BFx＝tan (－∠BAM)＝＝＝2.
5. A 设等边三角形OAB的边长为a，则a2＝4，解得a＝4.根据抛物线的对称性可知∠AOx＝，且OA＝a＝4.设点A在x轴上方，则点A的坐标为，即(2，2)，将点(2，2)代入抛物线方程，得22＝2p·2，解得p＝，故抛物线的方程为y2＝x.
6. A 因为抛物线M：x2＝－4y的准线方程为y＝1，所以AF＝1－(－4)＝5，d＋1＝BF.因为F(0，－1)，所以AF＋BC＋d＝5＋BC＋BF－1≥4＋CF＝4＋＝9，当且仅当点B在线段CF上时，等号成立，所以AF＋BC＋d的最小值为9.
7. AB 对于A，由抛物线的定义，得点M到准线x＝－1的距离为(AF＋BF)＝AB，故以线段AB为直径的圆与直线x＝－1一定相切，故与直线x＝－一定相离，故A正确；对于B，C，当直线AB垂直于x轴时，AB为抛物线的通径，取得最小值4，故B正确，C错误；对于D，显然BM中点的横坐标与BM不一定相等，所以圆与y轴不一定相切，故D错误．故选AB.
8. AD 对于A，根据题意可知远光灯光线按照路径F→A→B射向远处，故A正确；如图，以O为坐标原点建立平面直角坐标系，则C(10，10)，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则102＝20p，解得p＝5，所以抛物线方程为y2＝10x，焦点坐标为(2.5，0).对于B，光源F到反光镜顶点O的距离是＝2.5(cm)，故B错误；对于C，与抛物线对称轴垂直的光线长度为2.5＋2.5＝5(cm)，故C错误；对于D，灯口上任意一点到焦点F的距离是10＋2.5＝12.5(cm)，故D正确．故选AD.
9. 由题意，得抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，则m＋n＝1.又双曲线的离心率是2，所以＝＝4，所以m＝，n＝，所以mn＝.
10. 如图，设抛物线的标准方程为x2＝2py，则点P(30，40)在该抛物线上，所以80p＝900，解得p＝，所以光源到反射镜顶点的距离为＝(cm).
11. 由抛物线的定义知，d＝PF，所以d－PA＝PF－PA≤AF＝＝，所以当点P位于射线FA与抛物线交点时，取最大值.
12. (1) 准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，则抛物线的焦点坐标为(0，2)，
所以所求抛物线的标准方程为x2＝8y.
(2) 设所求抛物线的标准方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，
则(－4)2＝3m，解得m＝，或32＝－4n，解得n＝－，
所以所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(3) 直线x＋3y＋15＝0交y轴于点(0，－5)，则以(0，－5)为焦点的抛物线标准方程为x2＝－20y；
直线x＋3y＋15＝0交x轴于点(－15，0)，则以(－15，0)为焦点的抛物线标准方程为y2＝－60x，
所以所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
13. (1) 设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0).因为AC＝4 cm，AB＝12 cm，所以抛物线E过点(6，4)，所以62＝2p×4，得2p＝9，所以抛物线E的标准方程为x2＝9y.
(2) 若将模具的深度减少1 cm，设此时的口径长为 2a cm(a>0)，则a2＝9×3，解得a＝3，所以此时该模具的口径长为6 cm.