3.3.2 抛物线的简单几何性质(1)课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

3．3.2　抛物线的简单几何性质(1)
一、 单项选择题
1 (2023眉山仁寿一中阶段练习)抛物线y＝2x2的准线方程是(　　)
A. y＝ B. y＝－
C. x＝ D. x＝－
2 (2023商洛一模)已知抛物线C：y2＝6x，过点A(4，2)的直线l与抛物线C交于M，N两点，若＝，则直线l的斜率是(　　)
A. B. C. D.
3 (2024西安期末)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则＋等于(　　)
A. B. p2 C. D.
4 (2024台州期末)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A，B两点在抛物线C上，并满足＝3，过点A作x轴的垂线，垂足为M，若FM＝1，则p的值为(　　)
A. B. 1 C. 2 D. 4
5 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为(　　)
A. － B. C. ± D.
6 如图，在抛物线y2＝2px的准线上任取一点P(异于准线与x轴的交点)，连接PO并延长交抛物线于点A，过点P作平行于x轴的直线交抛物线于点B，则直线AB与x轴的交点坐标为(　　)
A. 与点P的位置有关
B. (2p，0)
C. (p，0)
D.
二、 多项选择题
7 (2024抚顺期末)已经直线x＝ty＋3过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于M，N两点，则下列结论中正确的是(　　)
A. p＝3
B. p＝6
C. MN的最小值为6
D. MN的最小值为12
8 设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在y轴上．若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标为(　　)
A. (0，－1) B. (0，－2)
C. (0，2) D. (0，1)
三、 填空题
9 (2024北京开学考试)已知点P在抛物线y2＝4x上，则点P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离和到直线l2：x＝－1的距离之和的最小值为________．
10 如图，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于点B，AK＝AF，则△AFK的面积为________．
11 (2024武汉华中师大一附中期末)已知抛物线C：x2＝y，点P(1，1)，Rt△APB和Rt△CPD为此抛物线的两个内接三角形(即三角形的三个顶点均在拋物线上)，且均以点P为直角顶点，则直线AB与直线CD的交点坐标为________．
四、 解答题
12 设抛物线C：y2 ＝2px(p>0)的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，线段AB的中点M的横坐标为2，且AF＋BF＝6.
(1) 求抛物线C的标准方程；
(2) 若直线l(斜率存在)经过焦点F，求直线l的方程．
13 (2024邯郸期末)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线与x轴的交点为H，过点H的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，且当A为HB的中点时，AF＝.
(1) 求抛物线C的方程；
(2) 记抛物线C在A，B两点处的切线的交点为M，是否存在直线l使△AFM与△BFM的面积相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答案解析】
3．3.2　抛物线的简单几何性质(1)
1. B　抛物线方程化成标准方程为x2＝y，所以2p＝，解得p＝，且抛物线开口向上，所以抛物线的准线方程为y＝－＝－.
2. D　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y＝6x1，y＝6x2.因为＝，所以A(4，2)为MN的中点，所以y1＋y2＝4，故直线l的斜率为＝＝＝.
3. C　由题意，得直线的斜率不为0，设过焦点F的直线方程为x＝ty＋，将直线方程与抛物线方程联立，消去x并整理，得y2－2pty－p2＝0，由根与系数的关系，得y1＋y2＝2pt，y1y2＝－p2，x1＋x2＝t(y1＋y2)＋p＝2pt2＋p，x1x2＝＝，则＋＝＋＝＝＝，故C正确．
4. B　由题意，得F，当过点F的直线斜率不存在时，＝，不符合要求，舍去；当过点F的直线斜率存在时，设直线方程为y＝k，联立消去y并整理，得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝.因为＝3，所以x1－＝3.又FM＝1，故x1－＝1，解得x1＝1＋，故3(－x2)＝1，解得x2＝－，故＝，解得p＝1.
5. A　将y＝1代入y2＝4x，得x＝，即A.由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1，0)，所以直线AB的斜率为＝－.
6. D　抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，设点P，t≠0，则直线PO的方程为y＝－x.由 得A.令y＝t，可得B，所以直线AB的斜率为kAB＝＝，所以直线AB的方程为y－t＝·，令y＝0，解得x＝，所以直线AB与x轴的交点坐标为.
7. BD　对于A，B，由直线x＝ty＋3与x轴的交点坐标为(3，0)，得＝3，即p＝6，故A错误，B正确；对于C，D，当直线垂直于x轴，即t＝0时，MN取得最小值，且最小值为2p＝12，故C错误，D正确．故选BD.
8. BC　设点M(0，y0)，易知点F，则点B.如图，过点B作准线的垂线，交准线于点B1，则BB1＝＋＝，解得p＝，所以抛物线方程为y2＝2x，且B.又点B在抛物线上，所以y＝2×，解得y0＝±2，所以点M的坐标为(0，2)或(0，－2).故选BC.
9. 2　由抛物线C：y2＝4x，得焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.如图，设点P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离为PA，点P到l2：x＝－1的距离为PB.由抛物线的定义知PB＝PF，所以点P到直线l1：4x－3y＋6＝0和准线l2：x＝－1的距离之和为PF＋PA，且点F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离为d＝＝2，所以点P到直线l1：4x－3y＋6＝0和准线l2：x＝－1的距离之和的最小值为2.
10. 8　由题意知，抛物线的焦点为F(2，0)，准线l的方程为x＝－2，所以K(－2，0).设A(x0，y0)(y0＞0)，则B(－2，y0)，所以AF＝AB＝x0－(－2)＝x0＋2.又AK＝AF，可得x0＝2，y0＝4，即A(2，4)，所以△AFK的面积为KF·y0＝×4×4＝8.
11. (－1，2)　设A(x1，x)，B(x2，x)，则lAB：y－x＝(x1＋x2)(x－x1)，即lAB：y＝(x1＋x2)x－x1x2.又PA⊥PB，＝(x1－1，x－1)，＝(x2－1，x－1)，则有(x1－1)(x2－1)＋(x－1)(x－1)＝0，所以1＋(x1＋1)(x2＋1)＝0，所以x1x2＋x1＋x2＋2＝0，则对于lAB：y＝(x1＋x2)x－x1x2，当x＝－1时，y＝2，即直线AB过定点(－1，2).同理可得，lCD也过定点(－1，2)，则直线AB和CD的交点坐标为(－1，2).
12. (1) 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点M的横坐标x＝＝2，
所以x1＋x2＝4，
所以AF＋BF＝x1＋x2＋p＝4＋p＝6，解得p＝2，
所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2) 由(1)可知抛物线的焦点为F(1，0).
设直线l的方程为y＝k(x－1)，k≠0，
联立消去y并整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
所以x1＋x2＝＝4，解得k＝±，
所以直线l的方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1).
13. (1) 由题意知H，当A为HB的中点时，设A，则B，则－＝，所以m2＝，
所以AF＝＋＝＝，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2) 由(1)知H(－1，0)，设直线l：x＝ty－1，A(，y1)，B.
将直线l与抛物线C的方程联立，消去x并整理，得y2－4ty＋4＝0，Δ＝16t2－16>0，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝4.
设抛物线C在点A处的切线方程为x＝t1(y－y1)＋，与抛物线C的方程联立，消去x并整理，得y2－4t1y＋4t1y1－y＝0，
则Δ＝16t－16t1y1＋4y＝4(2t1－y1)2＝0，得t1＝.
设抛物线C在点B处的切线方程为x＝t2(y－y2)＋，同理可得t2＝.
联立消去y并整理，得x＝＝1，所以MF⊥x轴，
故S△AFM＝MF·，
S△BFM＝MF·|－1|.
假设存在直线l使△AFM与△BFM的面积相等，则－1＝1－，得y＋y＝8.
又y1y2＝4，解得y1＝y2＝2或y1＝y2＝－2，此时A，B两点重合，与题意矛盾，
故不存在直线l使△AFM与△BFM的面积相等．