3.3.2 抛物线的简单几何性质(2)课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

3．3.2　抛物线的简单几何性质(2)
一、 单项选择题
1 已知P为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是AA1，BB1，PP1，则下列结论中正确的是(　　)
A. PP1＝AA1＋BB1
B. PP1＝AB
C. PP1>AB
D. PP12 已知直线y＝x＋b交抛物线y＝于A，B两点，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则b的长为(　　)
A. 2 B. 0 C. 1 D. 4
3 已知P是抛物线y2＝4x上的一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是(　　)
A. B. C. 2 D. －1
4 (2023全国阶段练习)已知F为抛物线C：y2＝－3x的焦点，过点F的直线y＝kx＋3与抛物线C交于A，B两点，则AB的值为(　　)
A. B. C. D.
5 已知过点(1，0)作斜率为－2的直线与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　)
A. 2 B. 2
C. 2 D. 2
6 (2023赤峰期中)已知点P(1，2)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，过点P作直线l1，l2，与抛物线分别交于不同于点P的A，B两点．若直线l1，l2的斜率互为相反数，则直线AB的斜率为(　　)
A. －2 B. －1
C. － D. 不存在
二、 多项选择题
7 (2024临汾一模)设O是坐标原点，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，A，B是抛物线E上的两点，且·＝－4.过点F作直线AB的垂线交准线于点P，则下列结论中正确的是(　　)
A. 过点P恰有2条直线与抛物线有且仅有一个公共点
B. PF的最小值为2
C. AB的最小值为4
D. 直线AB恒过焦点F
8 (2024重庆一模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，其准线与x轴交于点M，经过点M的直线l与抛物线交于不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中正确的是(　　)
A. ·＝5
B. 存在∠AMF＝50°
C. 不存在以AB为直径且经过焦点F的圆
D. 当△ABF的面积为4时，直线l的倾斜角为或
三、 填空题
9 过点E(－，0)的直线与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F是抛物线的焦点，若A为线段EB的中点，且AF＝3，则p＝________．
10 已知点A(2，0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则AB的最小值为________．
11 已知抛物线的方程为x2＝－2y，A，B是抛物线上分别位于y轴两侧的两个动点，且·＝3(其中O为坐标原点)，则直线AB所过定点的坐标为________．
四、 解答题
12 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
13 (2024宁波余姚中学期末)如图，设抛物线E：y2＝2px(p>0)，过抛物线E内一点M(1，1)的两条直线分别与抛物线交于点A，C和点B，D，且满足＝λ，＝λ，其中λ>0，当AC⊥x轴时，λ＝.
(1) 求抛物线E的方程；
(2) 当λ变化时，kAB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案解析】
3．3.2　抛物线的简单几何性质(2)
1. B　设抛物线的焦点为F，由题意，得PP1是梯形AA1B1B的中位线，故PP1＝(AA1＋BB1)＝(AF＋BF)＝AB.
2. A　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y并整理，得x2－2x－2b＝0，Δ＝4＋8b>0，可得b>－，x1x2＝－2b，由题意可知b≠0.因为OA⊥OB，所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－2b＋b2＝0，解得b＝2.
3. D　由题意知，抛物线的焦点为F(1，0).设点P到直线l的距离为d.由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为PF－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋PF－1.易知d＋PF的最小值为点F到直线l的距离，故d＋PF的最小值为焦点F(1，0)到直线l的距离，即＝，所以d＋PF－1的最小值为 －1.
4. C　抛物线C：y2＝－3x的焦点为F，将点代入y＝kx＋3，得k＝4.联立消去y并整理，得16x2＋27x＋9＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，所以AB＝p－(x1＋x2)＝＋＝.
5. B　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线AB的斜率为－2，且过点(1，0)，得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y2＝8x，得4(x－1)2＝8x，整理，得x2－4x＋1＝0，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，所以AB＝×＝×＝2.
6. B　将点P(1，2)代入抛物线方程y2＝2px(p>0)，得2p＝4，所以抛物线C：y2＝4x.设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝0，直线l1的方程为y＝k1(x－1)＋2，与抛物线的方程y2＝4x联立，消去y并整理，得kx2－(2k－4k1＋4)x＋k－4k1＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2).因为P(1，2)，所以x1＝，代入直线l1的方程，得y1＝，即A(，)，同理可得B(，).又k1＋k2＝0，即B(，－)，所以直线AB的斜率为k＝＝＝＝－1.
7. BC　由抛物线的性质可知，过点P会有3条直线与抛物线有且仅有一个公共点，其中2条直线与抛物线相切，1条斜率为零的直线与抛物线相交，故A错误；设点A，B，因为·＝－4，所以＋y1y2＝－4，解得y1y2＝－8.若y1＋y2＝0，则A(2，2)，B(2，－2)或A(2，－2)，B(2，2)，此时AB：x＝2.当y1＋y2≠0时，直线AB的方程为y＝＋y1＝＝，所以直线AB恒过定点(2，0)，故D错误；设直线AB：x＝my＋2，联立消去x并整理，得y2－4my－8＝0，Δ＝16m2＋32>0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－8，AB＝·＝·＝4，所以当m2＝0时，AB最小，最小为4，故C正确；因为PF⊥AB，所以直线PF为y＝－m(x－1)，联立解得则P(－1，2m)，即P为准线上的动点，所以当点P为(－1，0)时，PF最小，最小值为2，故B正确．故选BC.
8. AD　对于A，由题意，得F(1，0)，准线方程为x＝－1，则M(－1，0)，显然当直线AB的斜率为0，即直线AB的方程为y＝0时，不符合题意，设直线AB的方程为x＋1＝my，联立抛物线方程y2＝4x，得y2－4my＋4＝0，Δ＝16m2－16>0，解得m>1或m<－1，y1＋y2＝4m，y1·y2＝4，y＝4x1，y＝4x2，则(y1y2)2＝16x1x2，16＝16x1x2，则x1x2＝1，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2＝1＋4＝5，故A正确；对于B，当直线l与抛物线相切时，∠AMF最大，则Δ＝16m2－16＝0，解得m＝±1，根据抛物线对称性取m＝1，则直线方程为y＝x＋1，此时直线斜率为1，则∠AMF＝45°，所以不存在∠AMF＝50°，故B错误；对于C，假设存在以AB为直径且经过焦点F的圆，则·＝0，＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，则·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，即x1x2－(x1＋x2)＋y1y2＋1＝0，x1＋x2＝my1－1＋my2－1＝m(y1＋y2)－2＝4m2－2，即2－(4m2－2)＋4＝0，解得m＝±，满足m>1或m<－1，即存在以AB为直径且经过焦点F的圆，故C错误；对于D，S△ABF＝MF·|y2－y1|＝×2＝＝4，m＝±，此时直线的斜率为±，则直线l的倾斜角为或，故D正确．故选AD.
9. 4　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则AF＝x1＋.又AF＝3，故x1＝3－.由中点坐标公式，得即x2＝6－，y2＝2y1，所以y＝4y，即2p＝4×2p.又p>0，所以p＝4.
10. 　设点B(x，y)，则x＝y2≥0.因为AB＝＝＝＝，所以当x＝时，AB取得最小值，且ABmin＝.
11. (0，－3)　设直线AB的方程为y＝tx＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与y轴的交点为M(0，m).联立消去y并整理，得x2＋2tx＋2m＝0，则x1＋x2＝－2t，x1x2＝2m.因为·＝3，所以x1x2＋y1y2＝3.因为x＝－2y1，x＝－2y2，所以x1x2＋＝3.又点A，B位于y轴的两侧，所以x1x2＝－6，可得2m＝－6，解得m＝－3，所以直线AB的方程为y＝tx－3，所以直线AB经过定点(0，－3).
12. 由题意可设kAB＝k(k≠0).
因为直线AB，AC的倾斜角互补，
所以kAC＝－k(k≠0)，
所以直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组消去y并整理，得k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
因为A(4，2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，
所以4·xB＝，即xB＝.
以－k代换xB中的k，得xC＝，
所以kBC＝＝＝＝＝－，
所以直线BC的斜率为定值．
13. (1) 当AC⊥x轴时，λ＝，即＝，则xA＝xC＝1，yA－1＝(1－yC)，
可得yA＝－yC＝，所以p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).
由＝λ，得
因为点A，C在抛物线y2＝4x，所以
将代入，得
整理，得(1＋λ)y－2(1＋λ)y1＝3λ2＋2λ－1，
可得y－2y1＝3λ－1，
同理可得y－2y2＝3λ－1，
所以y1，y2是方程y2－2y＝3λ－1的两个根，
所以y1＋y2＝2，
所以kAB＝＝＝2，即为定值．