第3章 圆锥曲线的方程 复习单元练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册
文档属性
| 名称 | 第3章 圆锥曲线的方程 复习单元练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 98.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-03 21:45:31 | ||
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文档简介
第3章 圆锥曲线的方程 复习
一、 单项选择题
1 (2024应城一中开学考试)已知F1，F2是椭圆C：x2＋＝1的两个焦点，点M在椭圆C上，则MF1·MF2的最大值为( )
A. 1 B. 4 C. 9 D. 6
2 已知中心在坐标原点的椭圆经过直线x－2y－4＝0与坐标轴的两个交点，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
3 已知双曲线－y2＝1(a>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则a的值为( )
A. 3 B. C. D.
4 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则双曲线C的方程为( )
A. －＝1 B. －＝1
C. －＝1 D. －＝1
5 过双曲线－＝1(b>a>0)的左焦点F(－c，0)(c>0)作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2＝4cx于点P，O为坐标原点，若＝(＋)，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6 (2024梅河口五中开学考试)如图，已知抛物线C1：y2＝4x，圆C2：(x－1)2＋y2＝1，过圆心C2的直线l与抛物线和圆依次交于点P，M，N，Q，则PN＋4QM的最小值为( )
A. 14 B. 23 C. 18 D. 15
二、 多项选择题
7 (2023深圳期末)下列双曲线中，以直线3x±4y＝0为渐近线的是( )
A. －＝1 B. －＝1
C. －＝1 D. －＝1
8 (2024宿迁期末)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过拋物线C上一点A(2，2)作两条斜率之和为0的直线，与抛物线C的另外两个交点分别为M，N，则下列说法中正确的是( )
A. 抛物线C的准线方程是x＝－
B. 直线MN的斜率为定值
C. 若圆N与以为半径的圆F相外切，则圆N与直线x＝0相切
D. 若△AMN的面积为，则直线MN的方程为3x＋6y＋4＝0
三、 填空题
9 已知过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和为5，则这样的直线有________条．
10 已知A(0，1)是椭圆x2＋4y2＝4上的点，P是椭圆上的动点，当弦AP的长度最大时，则点P的坐标是________．
11 (2024玉溪期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C过点A(2，0)，点F为椭圆C的左焦点，垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M(异于点Q)，直线QM恒过定点B，则点B的坐标为________．
四、 解答题
12 (2024南京期末)对于椭圆：＋＝1(a>b>0)，我们称双曲线：－＝1为其伴随双曲线．已知椭圆C：＋＝1(0(1) 求椭圆C伴随双曲线M的方程；
(2) 如图，E，F分别为双曲线M的下顶点和上焦点，过点F的直线l与双曲线M的上支交于A，B两点，△ABE的面积为(3＋2)，求直线AB的方程．
13 (2024河北开学考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A1，A2，且四边形A1F1A2F2的面积为4.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 平行于x轴的直线l与椭圆C的一个交点为P，与以F1F2为直径的圆的一个交点为Q，且点P，Q位于y轴两侧，M，N分别是椭圆C的左、右顶点，直线MP，NP分别与y轴交于点E，F.证明：∠EQF为定值．
【答案解析】
第3章 圆锥曲线的方程 复习
1. B 由椭圆的定义，得MF1＋MF2＝2a＝4，由基本不等式，得MF1·MF2≤＝4，当且仅当MF1＝MF2＝2时，等号成立，故MF1·MF2的最大值为4.
2. C 因为直线x－2y－4＝0与坐标轴的两个交点分别是(4，0)和(0，－2)，由椭圆性质可知a＝4，b＝2，所以c＝＝2，所以该椭圆的离心率为e＝＝.
3. C 由双曲线－y2＝1(a>0)，得其一条渐近线为ay＋x＝0.圆x2＋(y－2)2＝1的圆心为(0，2)，半径为1.因为双曲线的渐近线与圆相切，所以＝1，解得a＝(负值舍去).
4. B 由题意，得＝，且椭圆＋＝1的焦点(3，0)，(－3，0)也是双曲线的焦点，则a2＋b2＝c2＝9，解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为－＝1.
5. D 设双曲线的右焦点为F′，则F′的坐标为(c，0).因为抛物线为y2＝4cx，所以F′为抛物线的焦点，O为FF′的中点．因为＝(＋)，所以E为FP的中点，所以OE为△PFF′的中位线，所以OE∥PF′.因为OE＝a，所以PF′＝2a.因为PF切圆O于点E，所以OE⊥PF，所以PF′⊥PF.因为FF′＝2c，所以PF＝2b.设P(x，y)，则x＋c＝2a，所以x＝2a－c.过点F作x轴的垂线，则点P到该垂线的距离为2a.由勾股定理，得y2＋4a2＝4b2，所以4c(2a－c)＋4a2＝4(c2－a2)，所以e2－e－1＝0.因为e>1，所以e＝.
6. A 易知抛物线C1：y2＝4x的焦点为C2(1，0)，圆C2的半径为1.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).由抛物线的定义，得PN＝PC2＋C2N＝x1＋2，QM＝QC2＋C2M＝x2＋2.若直线l与x轴重合，则直线l与抛物线C1只有一个公共点，不符合题意，设直线l的方程为x＝my＋1，联立消去x并整理，得y2－4my－4＝0，则Δ＝16m2＋16>0，由根与系数的关系，得y1y2＝－4，所以PN＋4QM＝x1＋2＋4(x2＋2)＝x1＋4x2＋10＝＋y＋10≥2＋10＝4＋10＝14，当且仅当即或时，等号成立，所以PN＋4QM的最小值为14.
7. AD 因为双曲线－＝1的渐近线为±＝0，即3x±4y＝0，故A正确；因为双曲线－＝1的渐近线为±＝0，即3y±4x＝0，故B错误；因为双曲线－＝1的渐近线为±＝0，即4x±3y＝0，故C错误；因为双曲线－＝1的渐近线为±＝0，即3x±4y＝0，故D正确．故选AD.
8. AC 由题意，得22＝2p×2，解得p＝1，即抛物线C：y2＝2x，焦点为F，准线方程为x＝－，故A正确；设M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然x1≠x2，x1≠2，x2≠2，直线AM的斜率k1＝＝＝，同理直线AN的斜率k2＝，由k1＋k2＝0，得＋＝0，解得y1＋y2＝－4，所以直线MN的斜率k＝＝－，故B错误；圆F：＋y2＝，令圆N的半径为r，由圆N与圆F相外切，得NF＝r＋.又NF＝x2＋，所以x2＝r，即圆N的圆心到y轴的距离为圆N的半径，则圆N与直线x＝0相切，故C正确；联立消去x并整理，得y2＋4y＋＝0，Δ＝16－＝>0，y1＋y2＝－4，y1y2＝，MN＝·＝，而点A到直线3x＋6y＋4＝0的距离d＝，则△AMN的面积S＝MN·d＝××＝>，故D错误．故选AC.
9. 2 由题意，得抛物线焦点为(1，0).当该直线斜率不存在时，此时直线的方程为x＝1，则xA＋xB＝2，不符合题意，所以设直线的方程为y＝k(x－1).代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则xA＋xB＝ ＝5，解得k＝±，所以这样的直线有2条．
10. (±，－) 设点P(2cos θ，sin θ)，则AP＝＝，所以当sin θ＝－时，AP取得最大值，此时点P的坐标为.
11. (－2，0) 因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C过点A(2，0)，所以则椭圆C的标准方程为＋＝1.由题可知直线PF的斜率存在，设直线PF：y＝k(x＋)，P(x1，y1)，M(x2，y2)，则Q(x1，－y1)，联立直线与椭圆方程消去y并整理，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋4k2－4＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝，所以lQM：y－y2＝(x－x2)，整理，得y＝(x－).又＝＝＝＝－2，所以直线QM的方程为y＝(x＋2)，故直线QM过定点B(－2，0).
12. (1) 设椭圆C与其伴随双曲线M的离心率分别为e1，e2.
由题意，得a2＝3，e1＝e2，
即e＝e，即＝×，
解得b2＝1，
所以椭圆C：＋x2＝1，则椭圆C伴随双曲线M的方程为－x2＝1.
(2) 由(1)可知F(0，2)，E(0，－)，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线l的方程为y＝kx＋2，与双曲线－x2＝1联立，消去y并整理，得(k2－3)x2＋4kx＋1＝0，
则Δ＝12k2＋12>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.
则|x1－x2|＝＝＝.
又EF＝2＋，
所以S△ABE＝EF·|x1－x2|＝(2＋)·＝(3＋2)，
解得k2＝1或k2＝7.
因为直线l与双曲线M的上支交于A，B两点，
所以y1y2>0，即(kx1＋2)(kx2＋2)>0，
k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4>0，即<0，
解得k2<3，
所以k＝±1，
所以直线AB的方程为y＝x＋2或y＝－x＋2.
13. (1) 由题意知e＝＝，
所以a2＝2c2，所以b2＝c2.
因为四边形A1F1A2F2的面积为4，
所以·2b·2c＝2bc＝2b2＝4，
所以b2＝2，a2＝4，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 如图，由(1)，得M(－2，0)，设P(x0，y0)，
则直线MP的方程为y＝k(x＋2)(k≠0).
令x＝0，得E(0，2k)，
由消去y并整理，得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，
所以－2x0＝，所以x0＝，
所以y0＝，即P(，).
又N(2，0)，所以kNP＝＝－，
所以直线NP的方程为y＝－(x－2)，
令x＝0，得F.
设Q(xQ，y0)，则x＋y＝2，
所以＝(－xQ，2k－y0)，＝(－xQ，－y0)，
所以·＝x＋(2k－y0)
＝x＋y＋2－y0＝4－y0，
将y0＝代入化简，得·＝0，
即QE⊥QF，所以∠EQF＝，即∠EQF为定值．
一、 单项选择题
1 (2024应城一中开学考试)已知F1，F2是椭圆C：x2＋＝1的两个焦点，点M在椭圆C上，则MF1·MF2的最大值为( )
A. 1 B. 4 C. 9 D. 6
2 已知中心在坐标原点的椭圆经过直线x－2y－4＝0与坐标轴的两个交点，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
3 已知双曲线－y2＝1(a>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则a的值为( )
A. 3 B. C. D.
4 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则双曲线C的方程为( )
A. －＝1 B. －＝1
C. －＝1 D. －＝1
5 过双曲线－＝1(b>a>0)的左焦点F(－c，0)(c>0)作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2＝4cx于点P，O为坐标原点，若＝(＋)，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6 (2024梅河口五中开学考试)如图，已知抛物线C1：y2＝4x，圆C2：(x－1)2＋y2＝1，过圆心C2的直线l与抛物线和圆依次交于点P，M，N，Q，则PN＋4QM的最小值为( )
A. 14 B. 23 C. 18 D. 15
二、 多项选择题
7 (2023深圳期末)下列双曲线中，以直线3x±4y＝0为渐近线的是( )
A. －＝1 B. －＝1
C. －＝1 D. －＝1
8 (2024宿迁期末)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过拋物线C上一点A(2，2)作两条斜率之和为0的直线，与抛物线C的另外两个交点分别为M，N，则下列说法中正确的是( )
A. 抛物线C的准线方程是x＝－
B. 直线MN的斜率为定值
C. 若圆N与以为半径的圆F相外切，则圆N与直线x＝0相切
D. 若△AMN的面积为，则直线MN的方程为3x＋6y＋4＝0
三、 填空题
9 已知过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和为5，则这样的直线有________条．
10 已知A(0，1)是椭圆x2＋4y2＝4上的点，P是椭圆上的动点，当弦AP的长度最大时，则点P的坐标是________．
11 (2024玉溪期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C过点A(2，0)，点F为椭圆C的左焦点，垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M(异于点Q)，直线QM恒过定点B，则点B的坐标为________．
四、 解答题
12 (2024南京期末)对于椭圆：＋＝1(a>b>0)，我们称双曲线：－＝1为其伴随双曲线．已知椭圆C：＋＝1(0
(2) 如图，E，F分别为双曲线M的下顶点和上焦点，过点F的直线l与双曲线M的上支交于A，B两点，△ABE的面积为(3＋2)，求直线AB的方程．
13 (2024河北开学考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A1，A2，且四边形A1F1A2F2的面积为4.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 平行于x轴的直线l与椭圆C的一个交点为P，与以F1F2为直径的圆的一个交点为Q，且点P，Q位于y轴两侧，M，N分别是椭圆C的左、右顶点，直线MP，NP分别与y轴交于点E，F.证明：∠EQF为定值．
【答案解析】
第3章 圆锥曲线的方程 复习
1. B 由椭圆的定义，得MF1＋MF2＝2a＝4，由基本不等式，得MF1·MF2≤＝4，当且仅当MF1＝MF2＝2时，等号成立，故MF1·MF2的最大值为4.
2. C 因为直线x－2y－4＝0与坐标轴的两个交点分别是(4，0)和(0，－2)，由椭圆性质可知a＝4，b＝2，所以c＝＝2，所以该椭圆的离心率为e＝＝.
3. C 由双曲线－y2＝1(a>0)，得其一条渐近线为ay＋x＝0.圆x2＋(y－2)2＝1的圆心为(0，2)，半径为1.因为双曲线的渐近线与圆相切，所以＝1，解得a＝(负值舍去).
4. B 由题意，得＝，且椭圆＋＝1的焦点(3，0)，(－3，0)也是双曲线的焦点，则a2＋b2＝c2＝9，解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为－＝1.
5. D 设双曲线的右焦点为F′，则F′的坐标为(c，0).因为抛物线为y2＝4cx，所以F′为抛物线的焦点，O为FF′的中点．因为＝(＋)，所以E为FP的中点，所以OE为△PFF′的中位线，所以OE∥PF′.因为OE＝a，所以PF′＝2a.因为PF切圆O于点E，所以OE⊥PF，所以PF′⊥PF.因为FF′＝2c，所以PF＝2b.设P(x，y)，则x＋c＝2a，所以x＝2a－c.过点F作x轴的垂线，则点P到该垂线的距离为2a.由勾股定理，得y2＋4a2＝4b2，所以4c(2a－c)＋4a2＝4(c2－a2)，所以e2－e－1＝0.因为e>1，所以e＝.
6. A 易知抛物线C1：y2＝4x的焦点为C2(1，0)，圆C2的半径为1.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).由抛物线的定义，得PN＝PC2＋C2N＝x1＋2，QM＝QC2＋C2M＝x2＋2.若直线l与x轴重合，则直线l与抛物线C1只有一个公共点，不符合题意，设直线l的方程为x＝my＋1，联立消去x并整理，得y2－4my－4＝0，则Δ＝16m2＋16>0，由根与系数的关系，得y1y2＝－4，所以PN＋4QM＝x1＋2＋4(x2＋2)＝x1＋4x2＋10＝＋y＋10≥2＋10＝4＋10＝14，当且仅当即或时，等号成立，所以PN＋4QM的最小值为14.
7. AD 因为双曲线－＝1的渐近线为±＝0，即3x±4y＝0，故A正确；因为双曲线－＝1的渐近线为±＝0，即3y±4x＝0，故B错误；因为双曲线－＝1的渐近线为±＝0，即4x±3y＝0，故C错误；因为双曲线－＝1的渐近线为±＝0，即3x±4y＝0，故D正确．故选AD.
8. AC 由题意，得22＝2p×2，解得p＝1，即抛物线C：y2＝2x，焦点为F，准线方程为x＝－，故A正确；设M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然x1≠x2，x1≠2，x2≠2，直线AM的斜率k1＝＝＝，同理直线AN的斜率k2＝，由k1＋k2＝0，得＋＝0，解得y1＋y2＝－4，所以直线MN的斜率k＝＝－，故B错误；圆F：＋y2＝，令圆N的半径为r，由圆N与圆F相外切，得NF＝r＋.又NF＝x2＋，所以x2＝r，即圆N的圆心到y轴的距离为圆N的半径，则圆N与直线x＝0相切，故C正确；联立消去x并整理，得y2＋4y＋＝0，Δ＝16－＝>0，y1＋y2＝－4，y1y2＝，MN＝·＝，而点A到直线3x＋6y＋4＝0的距离d＝，则△AMN的面积S＝MN·d＝××＝>，故D错误．故选AC.
9. 2 由题意，得抛物线焦点为(1，0).当该直线斜率不存在时，此时直线的方程为x＝1，则xA＋xB＝2，不符合题意，所以设直线的方程为y＝k(x－1).代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则xA＋xB＝ ＝5，解得k＝±，所以这样的直线有2条．
10. (±，－) 设点P(2cos θ，sin θ)，则AP＝＝，所以当sin θ＝－时，AP取得最大值，此时点P的坐标为.
11. (－2，0) 因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C过点A(2，0)，所以则椭圆C的标准方程为＋＝1.由题可知直线PF的斜率存在，设直线PF：y＝k(x＋)，P(x1，y1)，M(x2，y2)，则Q(x1，－y1)，联立直线与椭圆方程消去y并整理，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋4k2－4＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝，所以lQM：y－y2＝(x－x2)，整理，得y＝(x－).又＝＝＝＝－2，所以直线QM的方程为y＝(x＋2)，故直线QM过定点B(－2，0).
12. (1) 设椭圆C与其伴随双曲线M的离心率分别为e1，e2.
由题意，得a2＝3，e1＝e2，
即e＝e，即＝×，
解得b2＝1，
所以椭圆C：＋x2＝1，则椭圆C伴随双曲线M的方程为－x2＝1.
(2) 由(1)可知F(0，2)，E(0，－)，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线l的方程为y＝kx＋2，与双曲线－x2＝1联立，消去y并整理，得(k2－3)x2＋4kx＋1＝0，
则Δ＝12k2＋12>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.
则|x1－x2|＝＝＝.
又EF＝2＋，
所以S△ABE＝EF·|x1－x2|＝(2＋)·＝(3＋2)，
解得k2＝1或k2＝7.
因为直线l与双曲线M的上支交于A，B两点，
所以y1y2>0，即(kx1＋2)(kx2＋2)>0，
k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4>0，即<0，
解得k2<3，
所以k＝±1，
所以直线AB的方程为y＝x＋2或y＝－x＋2.
13. (1) 由题意知e＝＝，
所以a2＝2c2，所以b2＝c2.
因为四边形A1F1A2F2的面积为4，
所以·2b·2c＝2bc＝2b2＝4，
所以b2＝2，a2＝4，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 如图，由(1)，得M(－2，0)，设P(x0，y0)，
则直线MP的方程为y＝k(x＋2)(k≠0).
令x＝0，得E(0，2k)，
由消去y并整理，得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，
所以－2x0＝，所以x0＝，
所以y0＝，即P(，).
又N(2，0)，所以kNP＝＝－，
所以直线NP的方程为y＝－(x－2)，
令x＝0，得F.
设Q(xQ，y0)，则x＋y＝2，
所以＝(－xQ，2k－y0)，＝(－xQ，－y0)，
所以·＝x＋(2k－y0)
＝x＋y＋2－y0＝4－y0，
将y0＝代入化简，得·＝0，
即QE⊥QF，所以∠EQF＝，即∠EQF为定值．