6.1 平面向量的概念 学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

6．1　平面向量的概念
1. 通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义．
2. 理解平面向量的几何表示和基本要素．
3. 理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量和共线向量的含义．
活动一 了解平面向量的概念及表示
小船位移的大小是A，B两地之间的距离15 n mile，位移的方向是东南方向；小船航行速度的大小是10 n mile/h，速度的方向是东南方向．又如，物体受到的重力是竖直向下的(如图1所示)，物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的(如图2所示)，物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大．
思考1
在所学的知识中，哪些量具备“既有大小，又有方向”这一共同属性？
1. 向量的概念：
2. 向量的表示：
几何表示：
字母表示：
3. 向量的模：
4. 特殊向量：
思考2
在平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是什么图形？
活动二 理解相等向量与共线向量
5. 向量间的关系：
观察正六边形ABCDEF，给图中的部分线段加上箭头，并写出你所标注的向量，说说向量之间有哪些关系？
平行向量(共线向量)：
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.
相等向量：
活动三 理解向量的有关概念
例1　下列命题中，正确的个数为(　　)
①若非零向量与共线，则A，B，C，D四点共线；
②若非零向量a与b共线，则a＝b；
③若四边形ABCD是平行四边形，则||＝||；
④若a∥b，则a，b方向相同或相反．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
零向量的方向是任意的；平行向量的概念指的是方向相同或相反的向量，通过平移可以移到同一条直线上，不是平面几何上的平行．
下列说法中，正确的个数是(　　)
①若向量a与向量b不平行，则a与b的方向一定不相同；
②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一个平行四边形的四个顶点；
③若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
例2　已知O为正六边形ABCDEF的中心，如图，在所标出的向量中：
(1) 试找出与共线的向量；
(2) 确定与相等的向量；
(3) 与相等吗？
根据平面向量的有关概念，共线向量只要它们的方向相同或相反，而相等向量要求方向与模都要相同，所以理解向量的有关问题都要从向量的方向与模两个方面入手．
如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点．
(1) 写出与向量共线的向量；
(2) 求证：＝.
1. 如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则下列选项中与 相等的向量为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
2. (2023全国高一专题练习)下列说法中，错误的是(　　)
A. 向量与向量长度相等　 B. 单位向量都相等
C. 向量的模可以比较大小　 D. 任一非零向量都可以平行移动
3. (多选)如图，梯形ABCD为等腰梯形，则下列关系中正确的是(　　)
A. ＝　　 B. ||＝||
C. >　　 D. ∥
4. (2023全国高一专题练习)给出下列命题：①共线向量一定在同一条直线上；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确的是________．(填序号)
5. 如图，在4×5的方格纸中有向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个(除外)
【答案解析】
第六章　平面向量及其应用
6．1　平面向量的概念
【活动方案】
思考1：力、位移、速度等．
1. 既有大小又有方向的量．
2. 向量的表示：可以用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例(标度)画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向．
几何表示：　
字母表示：或a，b，c.
3. 向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||.
4. 零向量：长度为0的向量；单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
思考2：单位圆
5. 图略，平行，相等，共线．
平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
例1　B　解析：①若非零向量与共线，则直线AB与CD平行或A，B，C，D四点共线，所以①错误；②若非零向量a与b共线，可能是方向相同，也可能是方向相反，模不一定相等，所以②错误；③若四边形ABCD是平行四边形，则＝，由相等向量的定义可知||＝||，所以③正确；④若a为非零向量，b＝0，则a，b方向无法确定，所以④错误．
跟踪训练　C　解析：由向量平行的定义知，方向相同或相反的两个向量平行，故①正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；不妨设a为零向量，则a与b共线，与a与b不共线矛盾，故③正确．
例2　(1) ，　(2) 　(3) 不相等
跟踪训练　(1) ，，.
(2) 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AB＝CD.
因为E，F分别为边CD，AB的中点，
所以BF＝ED.
又BF∥ED，
所以四边形BFDE是平行四边形，
所以BE＝FD，且BE∥FD，
所以＝.
【检测反馈】
1. D　解析：A，B选项均与方向不同，C选项与长度不相等，D选项与方向相同，长度相等．
2. B　解析：和长度相等，方向相反，故A正确；单位向量长度都为1，但方向不确定，故B错误；向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确；向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D正确．
3. BD　解析：与方向显然不相同，故不是相等向量，故A错误；||与||表示等腰梯形两腰的长度，所以||＝||，故B正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C错误；等腰梯形的上底BC与下底AD平行，所以∥，故D正确．故选BD.
4. ②　解析：共线向量不一定在同一条直线上，也可能在两条平行直线上，故①错误；因为＝，所以||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且||＝||，所以＝，故②正确；当a∥b且方向相反时，|a|＝|b|，但不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，故③错误．
5. 与相等的向量有7个，与长度相等的共线向量有15个．