江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高二下学期5月月考试题 数学（PDF版含答案）

2023/2024 学年度第二学期
联盟校第七次考试高二年级数学试题
(总分 150 分 考试时间 120 分钟)
注意事项:
1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分。
2.答题前，务必将自己姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上。
3.作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5 毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择
题必须用 2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再
选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。
一、单项选择题(本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.)
1．若C 2 C 2n 26 6 ，则 n （ ）
A．2 B．4 C．2或 4 D．2 或 3
2．平面向量 a (m,2)，b ( 2,4)，若 a∥ (a b)，则m =（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
3．在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点 A到直线D1C的距离为（ ）
6 3 2
A． B．1 C． D．
2 2 2
4．已知 P(x0,2)为抛物线 C：y2＝2px(p＞0)上一点，点 P到抛物线 C的焦点的距离与它
到 y轴的距离之比为 3：2，则 p＝（ ）
A. 2 B.2 C.3 D.1
5. 用模型 y aekx拟合一组数 xi , yi i 1,2, , 2024 ，若 x1 x2 x2024 2024，
y y y e202401 2 2024 ，设 z ln y，得变换后的线性回归方程为 z bx 6，则 ak （ ）
A. 20240 B. 6e4 C. 4e6 D. 2024
6. 若a N，且502024 a能被 17整除，则 a的最小值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 15 D. 16
试卷第 1页，共 6页
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7. 已知随机变量 满足 P( 0) 1 p，P( 1) p，其中 0 p 1 .令随机变量
| E( ) |，则（ ）
A. E( ) E( ) B. E( ) E( )
C. D( ) D( ) D. D( ) D( )
8.甲、乙等 5人去 A,B,C三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，
若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（ ）
A. 112 B. 114 C. 132 D. 160
二、多项选择题(本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分，
请在答题纸的指定位置填涂答案选项.)
9.下列命题中，正确的是（ ）
A 2．已知随机变量 X 服从正态分布 N 2, ，若 P(X 0) 0.3，则 P(X 4) 0.3
B．若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和 0.76，则甲组数据的线性相关性更强
C．用 X 表示 n次独立重复试验中事件 A发生的次数， p为每次试验中事件 A发生的概
2
率，若 E(X ) 150,D(X ) 50，则 p
3
a 101
D．已知随机变量 X 的分布列为P(X i) (i 1,2,3, ,100) ，则 a
i(i 1) 100
1
10.已知 A，B是两个随机事件，若 P(A B) 1且P(AB) P(AB) ，则下列选项正
3
确的是（ ）
A 2. A， B相互独立 B . P(A)
3
C . P(A) P(B) D . P(B A) 2
3
11.如图，在棱长为 2的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱 A1B1，BC上的动点，
且 A1E＝BF，则下列说法正确的是（ ）
π π
A.EF与 CD的夹角取值范围是［ , ］
4 2
B.平面 C1EF与正方体 ABCD－A1B1C1D1的截面为梯形
C.三棱锥 C1－EFD1的体积为定值
D.当 E，F分别是棱 A1B1，BC的中点时，三棱锥 C1－EFB1的外
29
接球的表面积为 π
4
试卷第 2页，共 6页
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三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，计 15分.不需要写出解答过程，请把答案写
在答题纸的指定位置上.）
12 . (x y)(2x 3y)5的展开式中 x3y3的系数是______.
x2 y2
13.已知过原点的直线 L与双曲线 C： 2 2 ＝1(a＞0，b＞0)的左、右两支分别交于 A，a b
B两点，F是 C的右焦点，且 AF⊥BF．若满足 FP 3BF 的点 P也在双曲线 C上，则 C
的离心率为 .
14 0．已知△ABC中， BAC 60 , AB 6 2 ，点Q是边 BC上的动点．若 PA 平面
ABC，PA 3 3，且PQ与面 ABC所成角的正弦值的最大值为 ，则三棱锥 P ABC
3
的外接球的表面积为______．
四、解答题（本大题共 5小题，共 77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．(本小题 13分)
n
a
已知 x n N* .
x


（1）若展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，求 n的值；
（2）当 n 6时，二项式的展开式中 x 3的系数为A，常数项为 B，若B 4A，则求 a
的值；
（3）当 n 6，a 2时，求二项式的展开式中系数最大的项.
试卷第 3页，共 6页
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16．(本小题 15分)
某学校的高二年级有 5名数学老师，其中男老师 3人，女老师 2人．
（1）如果任选 3人参加校级技能大赛，所选 3人中女老师人数为 X ，求 X的分布列；
（2）如果依次抽取 2人参加市级技能大赛，求在第 1次抽到男老师的条件下，第 2次抽
到也是男老师的概率．
17．(本小题 15分)
如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，点D是CC1的中点， AC BC ,AA1 AB ．
（1）证明： AB1 平面 A1BD；
2
（2）若 ACB π, AB 2 3，求直线 AC1与平面 A1BD的所成角的余弦值．3
试卷第 4页，共 6页
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18．(本小题 17分)
为了了解高中学生课后自主学习数学时间（ x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）
的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．
编号 1 2 3 4 5
学习时间 x 30 40 50 60 70
数学成绩 y 65 78 85 99 108
（1）求数学成绩 y与学习时间 x的相关系数（精确到 0.001）；
（2）请用相关系数说明该组数据中 y与 x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求
出 y 关于 x的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为 100分钟时的数学
5 5 5
2 2
成绩（参考数据： xi yi 22820, yi 435, yi 38999,107.4 11540, xi的方差为 200 );
i 1 i 1 i 1
（3）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查
了 220位学生．按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到 2 2列联
表（表二）．依据表中数据及小概率值 0.001的独立性检验，分析“周末在校自主学习
与成绩进步”是否有关．
没有进步 有进步 合计
参与周末在校自主学习 35 130 165
未参与周末不在校自主学习 25 30 55
合计 60 160 220
n
n (x x)(y
S 2 1 (x x)2 i i
y)
附：方差： 相关系数： i 1
n i r i 1 n n
(x x)2i (yi y)2
i 1 i 1
回归方程 y bx a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
n
2 n(ad bc)
2
xi x yi y
a b c d a c b d b i 1 n , a y b x ．
xi x 2
i 1
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
试卷第 5页，共 6页
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19．(本小题 17分)
x2 2
已知椭圆C : y2 2 1(a b 0) ，过右焦点 F 的直线 l交C于 A，B两点，过点a b
F 与 l垂直的直线交C于D，E两点，其中 B，D在 x轴上方，M ，N 分别为 AB，DE
2
的中点．当 l x轴时， AB 2 ，椭圆C的离心率为 ．
2
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）证明：直线MN 过定点，并求定点坐标；
（3）设G为直线 AE与直线BD的交点，求△GMN 面积的最小值．
试卷第 6页，共 6页
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2023/2024学年度第二学期 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
联盟校第七次考试高二年级数学答题卡 解答题（共5题，共77分） 16 . （15 分）
15 . （13 分）
班级 姓名 座位号
1 .答题前请将姓名、班级、考场、座号和
注 准考证号填写清楚。
2 .客观题答题,必须使用2B铅笔填涂,修改
意 时用橡皮擦干净。
3 .主观题必须使用黑色签字笔书写。 贴条码区域
事
4 .必须在题号对应的答题区域内作答,超
项 出答题区域书写无效。
5 .保持答卷清洁完整。
考生禁填
正确填涂 错误填涂 缺考 违规
(由监考老师填涂)
选择题 (共11题，共58分)
1 [ A ] [ B ] [ C] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C] [ D ] 9 [ A ] [ B ] [ C] [ D ]
2 [ A ] [ B ] [ C] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C] [ D ]
3 [ A ] [ B ] [ C] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C] [ D ] 11 [ A ] [ B ] [ C] [ D ]
4 [ A ] [ B ] [ C] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C] [ D ]
填空题
12 、
13 、
14 、
请勿在此区域作答或
者做任何标记
请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
第1页 共6页 第2页 共6页 第3页 共6页
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请保持答题卡干净整洁，不要污损
请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
17 . （15 分） 18 . （17 分） 19 . （17 分）
请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
第4页 共6页 第5页 共6页 第6页 共6页
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高二年级数学学科参考答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A A C D D B
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分
题号 9 10 11
答案 CD BC ACD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12、 360 13 10、 14、 81
2
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分
15.【答案】（1）8 （2）2 或-2 （3）240
【解析】
【小问 1 详解】
依题意知，展开式共 9项，故 n 8┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3 分；
【小问 2 详解】
6
当 n 6 a 时二项式为 x ，由二项式定理通项公式得
x
a r 6 3r Tr 1 C
r x6 r r6 a Cr x 26 , r 0,1, 6 ，
x
6 3r 3 r 2 A a2C2 2令 ，得 ，所以 6 15a ， 2
令6
3r
0 ，得 r 4 B a4C4 4，所以
2 6
15a ，
又 B 4A，解得 a 0（舍去）或 a 2或 a 2 ，
所以 a 2或 a 2 .┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8 分；
【小问 3 详解】
6
当 n 2 6 ，a 2 时二项式为 x ，
x
r 3r
r 6 r 2 r r 6 由二项式定理通项公式得Tr 1 C6x 2 C 26x , r 0,1, 6 ，
x

2r Cr 2r 1Cr 1 r
14

6 6 3
设第 r 项系数最大，则 r r r 1 r 1 ，即 ，故 r 4，
2 C6 2 C6 r 11
3
T 24 C4所以二项式的展开式中系数最大的项为 4 1 6 240 .┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈13 分；
16.【解】（1）由题可知 X 的所有可能取值为 0，1，2，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2 分；
C3 1 C2C1 3 C1C2 3
依题意得： P(X 0) 33 ， P(X 1)
3 2
3 P(X 2)
3 2
C5 10 C5 5
， C3 10 ，┈┈┈┈┈6 分； 5
X 的分布列为：
X 0 1 2
1 3 3
P 10 5 10
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8 分；
（2）设第 1 次抽到男老师为事件A ，第 2 次抽到男老师为事件 B ，则第 1 次和第 2 次都抽
到男老师为事件 AB ，
根据分步计数原理 n(A) A1A1 12， n(AB) A23 4 3 6．
P(B A) n(AB) 6 1所以 n(A) 12 2 ．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈15 分；
17.【解】（1）证明：如图 1，记 A1B 与 AB1的交点为点O，连接 B1D,OD ，
因为三棱柱 ABC A1B1C1是直三棱柱，所以 A1AB DCA B1C1D 90 ，
因为 AA1 AB ，所以四边形 AA1B1B是正方形，故 AB1 A1B ，
因为 AC BC, BC B1C1，所以 AC B1C1，又因为 D 是CC1中点，所以CD C1D，
AD CD2所以 AC 2 C1D
2 B1C
2
1 B1D ，因为四边形 AA1B1B是正方形，所以O
是 AB1的中点，所以 AB1 OD ，又因为 A1B,OD 平面 A1BD ， A1B OD O，所以
AB1 平面 A1BD ．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7 分；
（建坐标系证明也可酌情给分）
（2）解 ： 以 AB 中 点 E 为 原 点 如 图 建 系 ， 则 A( 3,0,0), B( 3,0,0)，
C(0,1,0), D 0,1, 3 , A1 3,0, 2 3 ,C1 0,1,2 3 ，
则 AC1 3,1,2 3 , BD 3,1, 3 ， BA1 2 3,0,2 3

n BD 0
设平面 A1BD 的法向量为 n (x, y, z)，则 ，
n BA1 0
3x y 3z 0 y 0
所以 ，令 z 1，则法向量 n (1,0,1) ．
2 3x 2 3z 0 x z
则直线 AC1与平面 A1BD 的所成角的线面角的正弦值为

sin cos AC1,n
A C 1 n 3 6 ,
AC n 81
故直线 AC 101与平面 A1BD 的所成角的线面角的余弦值为 cos ． 8
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈15 分；
（提示：传统法更简洁，取 AC1和 A1D 交点为 E, AB1和 A1B 交点为 F ，连 EF , AEF 即
是目标）
30 40 50 60 70 435
18.【解】（1） x 50， y 87，又 xi i 1,2,3, ,5 的5 5
1 5 2 22820 5 50 87 1070方差为 xi x 200， r 0.996 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分； 5 i 1 10 11540 1074
（2）由（1）知 r=0.996 接近 1，故与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归直线方
程模型进行拟合：
5 5
xi x yi y xi yi 5x y
b i 1 i 1 22820 5 50 872 1.07 ，
5 x x 5 200 1000i 1 i

a y b x 87 1.07 50 33.5，故 y 1.07x 33.5当 x 100 时， y 140.5，
故预测每天课后自主学习数学时间达到 100 分钟时的数学成绩为 140.5 分．┈┈┈┈┈┈┈10 分；
（3）零假设为 H0：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．┈┈┈┈┈12 分；
根据数据，计算得到：
2 n(ad bc)
2 220 (25 130 35 30)2 110
12.22
a b c d a c b d 165 55 60 160 9
因为12.22 10.828，所以依据 0.001的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩
进步”有关．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈17 分；
2b2
2
a
c 2
19.【解】（1）由题意可得 b c 1,a 2 ，
a 2
a2 b2 c2


2
则椭圆C x的标准方程为 y2 1．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5 分；
2
（2 2 2）设直线 lAB : x my 1，联立椭圆 x 2y 2，
消去 x 2 2得： m 2 y 2my 1 0，

y1 y
2m
2 m2 2 AB M 2 m 由韦达定理得： ，则 中点 1
, ，
y y m
2 2 m2 2
1 2 m2 2
1 2m2 m
由 lDE lAB ，所以以 代替m 可得 N 2 , 2 ， m 1 2m 1 2m
k 3m所以 MN (m 1)， 2 m2 1
l : y m 3mMN 2

x
2
，
m 2 2 m2 1 m2 2
3m 2
化简得 y x ，
2 m2 1 3
则 l 2过定点 ,0 ．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10 分；MN
3
当m 2 不存在时， lAB 为 x 轴， lDE x轴， lMN 即是 x 轴过定点 ,0 ；
3
m 1 2 1 2 1 2 当 时，取M , 3 3
, N ,3 3
，则 lMN 过定点 ,0 ；
3
当m 2 1 2 1 M 时，取 ,

, N ,
1
l 2 ，则 MN 过定点 ,0 ；
3 3 3 3 3
综上直线MN 2过定点 ,0

．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12 分；
3
（ 3 ） S△GMN S△GDM S△DMN S
1
△GDN S
1 1
2 △GAD
S
2 △DEM
S
2 △GDE
1
S 1 1 1 1△ADE S△MDE DE AM DE AB ， 2 2 2 2 8
2 2 m2 1
由（2）知 AB 1 m2 y1 y2 1 m
2 y1 y2
2 4y1y2 2 ， m 2
1 2 2 1 m2
以 代替m 可得 DE ，
m 1 2m2
m2 1 2 m2 1 2 4
所以 S△GMN m2 2 1 2m2 2 2
,
m 2 1 2m2 9
2
当且仅当m2 2 1 2m2 即m 1时， S 4 ．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈17 分；△GMN max 9