6.2.3 向量的数乘运算(1)学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

6．2.3　向量的数乘运算(1)
1. 掌握实数与向量的积的定义及数乘的含义．
2. 掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的运算．
活动一 了解向量数乘的概念
1. 概念的引入：
已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).与非零向量a相比它们的长度和方向分别是怎样的？
2. 向量数乘的定义：
思考1
λa与a的长度与方向分别有什么关系？
3. 向量的数乘满足的运算律：
思考2
(1) (－λ)a与－(λa)及λ(－a)之间的关系是什么？
(2) λ(a－b)与λa－λb之间的关系又是怎样的？你能结合所学的知识解释吗？
(3) 结合以上两点，如何计算λ(μ1a±μ2b)
4. 概念的辨析：
设λ，μ∈R，下列叙述不正确的是__________．
(填序号)
①λ(μa)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb；
④λa与a的方向相同(λ≠0).
活动二 掌握向量的数乘运算
例1　已知向量a和向量b，求作向量－2.5a和向量2a－3b.
平面向量的数乘运算与向量的加减法一样，都有它的几何意义，同时把向量的数乘与向量的加法、减法统称为向量的线性运算，运算的结果都是向量．
点C在线段AB上，且||＝||，若＝λ，则λ的值为(　　)
A. B. －
C. D. －
例2　计算：
(1) (－3)×4a；
(2) 3(a＋b)－2(a－b)－a；
(3) (2a＋3b－c)－(3a－2b＋c).
(1) 3(a－b)－2(a＋2b)；
(2) 2(2a＋6b－3c)－3(－3a＋4b－2c).
思考3
向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点？
例3　如图， ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，，和.
若题目的条件中有三角形的中点，经常联想到向量的加法运算的平行四边形法则，且平行四边形的对角线互相平分，对于数乘运算，可以解决共线向量的长度关系问题．
如图，在△ABC中，D是边AB的中点，则向量等于(　　)
A. ＋ B. －
C. －－ D. －＋
1. 设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是(　　)
A. a与λ2a的方向相同　　 B. a与－λa的方向相反
C. |λa|＝λ|a|　　 D. |－λa|＝－λ|a|
2. (2023湖口中学高一期末)如图，在平面四边形ABCD中，E，F分别为BD和AC的中点，则下列结论中正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. ＝＋
B. ＝－
C. ＝－＋
D. ＝－－
3. (多选)下列命题中，正确的是(　　)
A. 对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb
B. 对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na
C. 若ma＝mb(m∈R)，则a＝b
D. 若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则m＝n
4. (2023全国高一专题练习)已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－4＋3＝0，则＝________．
5. 已知在任意四边形ABCD中，E是AD的中点，F是BC的中点．求证：＝(＋).
【答案解析】
6．2.3　向量的数乘运算(1)
【活动方案】
1. 作图略，a＋a＋a＝3a，3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即|3a|＝3|a|；(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a，－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍，即|－3a|＝3|a|.
2. 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫作向量的数乘，记作λa.
思考1：①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．
3. λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
思考2：(1) (－λ)a＝－(λa)＝λ(－a).
(2) λ(a－b)＝λa－λb，理由略．
(3) λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
4. ④　解析：根据向量数乘的运算律知①②③正确；当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反，故④错误．
例1　略
跟踪训练　D　解析：因为点C在线段AB上，且||＝||，所以点A，B，C的位置关系如下图所示．因为＝λ，＝－，所以λ＝－.
例2　(1) －12a　(2) 5b　(3) －a＋5b－2c
跟踪训练　(1) a－7b　(2) 13a
思考3：相同点：都是两个量的运算；
不同点：前者结果为向量，后者结果为实数．
例3　在 ABCD中，＝＋＝a＋b，＝－＝a－b.
由平行四边形的两条对角线互相平分，得
＝－＝－(a＋b)＝－a－b，
＝＝(a－b)＝a－b，
＝＝a＋b，
＝－＝－a＋b.
跟踪训练　D　解析：因为D为AB的中点，所以＝＝－，所以＝＋＝－＋.
【检测反馈】
1. A　解析：对于A，因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，故A正确；对于B，当λ<0时，－λ>0，则a与－λa的方向相同，故B错误；对于C，因为|λa|＝|λ||a|，当λ<0时，|λa|＝|λ||a|＝－λ|a|，故C错误；对于D，|－λa|＝|λ||a|，当λ>0时，|－λa|＝|λ||a|＝λ|a|，故D错误．
2. C　解析：因为＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＋.又＋＋＋＝0，所以＝(－－)＋＋＝＋＝－，即＝－＋.
3. ABD　解析：根据向量的数乘运算律知A，B正确；对于C，若ma＝mb(m∈R)，当 m＝0时，无法得到a＝b，故C错误；对于D，若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则m＝n成立，故D正确．故选ABD.
4. 　解析：由－4＋3＝0，得－＝3－3，即＝3，则A，B，C三点共线，且点C在BA的反向延长线上，如图所示，则＝.
5. 因为E是AD的中点，F是BC的中点，
所以＝－，＝－，
所以 2＝＋＋＋＋＋＝＋，
所以＝(＋).