6.2.3 向量的数乘运算(2)学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

6．2.3　向量的数乘运算(2)
理解两个平面向量共线(平行)的条件及含义．
活动一 掌握向量共线的充要条件
例1　已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，求证：与共线，并将用线性表示．
思考1
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是什么？
思考2
已知b＝λa，若两个向量中有零向量，求λ的值．
活动二 掌握向量共线的充要条件的应用
例2　(1) 已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1和e2不共线．求证：向量a＋b与向量6e1－2e2共线；
(2) 设非零向量a，b不共线，向量c＝ka＋b，d＝a＋kb(k∈R)，若c∥d，求k的值．
两个非零向量共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.若a，b中的一个是零向量，则a与b必共线．
已知向量a，b，满足(a＋3b)－(a－b)＝(3a＋2b)，求证：向量a与b共线．
例3　如图，已知任意两个非零向量a，b，试作＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想．
　
利用向量共线得三点共线时，务必要说明有个公共点．
设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．
1. 设D为△ABC所在平面内的一点，若＝3，则下列关系中正确的是(　　)
A. ＝－＋ B. ＝－
C. ＝＋ D. ＝－
2. (2023高一单元测试)已知O为正三角形ABC所在平面内一点，且满足＋λ＋(1＋λ)＝0.若△OAC的面积与△OAB的面积之比为1∶4，则λ的值为(　　)
A. 　 B. 　 C. 2　 D. 3
3. (多选)已知向量a，b是两个非零向量，则下列条件中一定能使a，b共线的是(　　)
A. 2a－3b＝4e，且a＋2b＝－2e
B. 存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C. xa＋yb＝0(实数x，y满足x＋y＝0)
D. 已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
4. (2023惠州高一期中)如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
5. 已知非零向量e1，e2不共线．
(1) 若a＝e1－e2，b＝3e1－2e2，判断向量a，b是否共线；
(2) 若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．
【答案解析】
6．2.3　向量的数乘运算(2)
【活动方案】
例1　因为D，E分别是AB，AC的中点，
所以DE∥BC，所以与共线．
又DE＝BC，且与同向，
所以＝.
思考1：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
思考2：当a＝0，b＝0时，λ为任意实数；当a≠0，b＝0时，λ＝0；当a＝0，b≠0时，λ不存在．
例2　(1) 因为a＋b＝3e1－e2＝(6e1－2e2)，
所以a＋b与6e1－2e2共线．
(2) 因为c∥d，所以c与d共线，
所以存在实数λ，使得c＝λd，
即ka＋b＝λ(a＋kb).
又a，b不共线，故k＝±1.
跟踪训练　由题意，得2(a＋3b)－5(a－b)＝2(3a＋2b)，即2a＋6b－5a＋5b＝6a＋4b，即－9a＝－7b，
所以a＝b，所以向量a与b共线．
例3　分别作向量，，，过点A，C作直线AC(如图).观察发现，不论向量a，b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A，B，C三点共线．
因为＝－＝a＋2b－(a＋b)＝b，
＝－＝a＋3b－(a＋b)＝2b，
所以＝2，
所以与共线．
又存在公共点A，
故A，B，C三点共线．
跟踪训练　因为＝2e1－8e2，＝－＝e1－4e2，
所以＝2，所以与共线．
又存在公共点B，所以A，B，D三点共线．
【检测反馈】
1. A　解析：因为＝3，所以－＝3(－)，所以＝－＋.
2. B　解析：因为＋λ＋(1＋λ)＝0, 所以＋＋λ(＋)＝0.如图，D，E分别是对应边的中点，由平行四边形法则知＋＝2，λ(＋)＝2λ，故＝－λ.在正三角形ABC中，因为S△COA＝S△AOB＝×S△ABC＝S△ABC，S△COB＝S△ABC－S△ABC－S△ABC＝S△ABC，且△AOC与△COB的底边相等，面积之比为，所以＝，得λ＝.
3. AB　解析：对于A，因为向量a，b是两个非零向量，2a－3b＝4e，且a＋2b＝－2e，解得a＝e，b＝－e，所以a＝－b，所以a，b共线，故A正确；对于B，存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0，则b＝a，故B正确；对于C，若x＝y＝0，则不能使a，b共线，故C错误；对于D，若AB，CD是梯形的上、下底，则正确，否则错误．故选AB.
4. 　解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋×＝＋，又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，故λ＋μ＝＋＝.
5. (1) 因为b＝6a，所以a与b共线．
(2) 因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，
所以，共线，
又存在公共点B，
所以A，B，D三点共线．