6.2.4 向量的数量积(1)学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

6．2.4　向量的数量积(1)
1. 通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积．
2. 了解平面向量的投影向量的含义．
活动一 掌握平面向量的数量积的定义
1. 平面向量数量积的引入：
(1) 前面我们学习了向量的加、减运算．类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？
(2) 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么该力对此物体所做的功为多少？(在物理中这个问题是如何解决的？)
2. 向量夹角的概念：
3. 向量数量积(或内积)的概念：
注意：(1) 按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角．如图，∠CAB不是向量与的夹角，∠DAB(即π－∠CAB)才是向量与的夹角；
(2) 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，正负由cos θ决定；
(3) 两个向量的数量积与之前学过的数的乘法是有区别的，书写时绝不能混淆，符号“·”在向量运算中不能省略，也不能用“×”代替．
思考1
实数与向量的积和向量的数量积的区别是什么？
活动二　掌握平面向量数量积的运算及应用　
例1　设|a|＝12，|b|＝9，a·b＝－54 ，求a与b的夹角θ.
在求两个向量的数量积时，只要知道两个向量的模以及它们夹角的大小．注意两个向量平行时，夹角可能为0°，也可能为180°.
已知向量a与向量b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3，分别在下列条件下求a·b.
(1) θ＝135°；　　　　(2) θ＝60°；
(3) a∥b；　　　　 　(4) a⊥b.
例2　已知正三角形ABC的边长为2，设＝a，＝b，＝c，求a·b＋b·c＋c·a.
两个向量的夹角，应该是把它们平移到同一个起点，否则容易搞错夹角的大小．
在△ABC中，AB＝AC，非零向量与满足·＝，试判断△ABC的形状．
活动三　了解平面向量的投影向量的意义　
4. 平面向量的投影向量的定义：
如图1，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫作向量a在向量b上的投影向量．
如图2，我们可以在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．
图1 图2　　　
思考2
如图2，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么与e，a，θ之间有怎样的关系？
例3　已知|a|＝6，e为单位向量，当它们之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求出a在向量e上的投影向量，并画图说明．
1. 投影向量也是向量，相当于一个向量在另一个向量方向上的分解．
2. 根据向量数量积的定义，可以得到以下性质：(1) a⊥b a·b＝0；(2) 当a与b同向
时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2，|a|＝；(3) |a·b|≤|a||b|.
已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－6，且与向量a，向量b的同方向的单位向量分别为e1和e2.
(1) 向量a在向量e2上的投影向量为________；
(2) 向量b在向量e1上的投影向量为________．
1. 下列关系式：①0·a＝0；②a2＝|a|2；③|a·b|≤a·b；④(a·b)2＝a2·b2.其中正确的个数是(　　)
A. 1　 B. 2 C. 3 D. 4
2. (2023石家庄高一期末)已知△ABC是等边三角形，边长为2，则·等于(　　)
A. 2　 B. －2　 C. 　 D. －
3. (多选)已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中是真命题的为(　　)
A. |a·b|＝|a||b| a∥b　　 B. a，b反向 a·b＝－|a||b|
C. a⊥b |a＋b|＝|a－b|　　 D. |a|＝|b| |a·c|＝|b·c|
4. 若|a|＝5，a·b＝10，且a与b的夹角为60°，则|b|＝________．
5. (2023佛山高一阶段练习)设e1，e2是两个夹角为的单位向量，且a＝2e1＋e2.
(1) 求e1·e2和|a|；
(2) 设b＝－3e1＋2e2，求向量a，b的夹角θ的大小．
【答案解析】
6．2.4　向量的数量积(1)
【活动方案】
1. (1) 能
(2) 设力F与位移s的夹角为θ，则F所做的功W应为W＝|F||s|cos θ.
2. 已知两个非零向量a，b(如图)，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角．
3. 已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫作向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
思考1：实数与向量的积是向量，向量的数量积是实数．
例1　由a·b＝|a||b|cos θ，
得cos θ＝＝＝－.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
跟踪训练　(1) －3　(2) 3　(3) 6或－6　(4) 0
例2　a·b＋b·c＋c·a＝|a||b|cos 120°＋|b||c|·cos 120°＋|c||a|cos 120°＝3×＝－2×3＝－6.
跟踪训练　因为·＝，
所以·＝||||，
所以cos A＝，所以A＝.
又AB＝AC，所以△ABC为等边三角形．
思考2：显然与e共线，则有＝λe.
当θ为锐角时，与e方向相同，λ＝||＝|a|cos θ，所以＝||e＝|a|cos θ e；
当θ为直角时，λ＝0，所以＝0＝|a|cos e；
当θ为钝角时，与e方向相反，所以λ＝－||＝－|a|cos ∠MOM1＝－|a|cos (π－θ)＝|a|cos θ，＝|a|cos θ e，
当θ＝0时，λ＝|a|，所以||＝|a|e＝|a|cos 0 e；
当θ＝π时，λ＝－|a|，所以＝－|a|e＝|a|cos π e.
综上，对于任意的θ∈[0，π]，都有＝|a|cos θ e.
例3　如图，a在向量e上的投影向量分别为3e，0，－3e.
图1 图2 图3
跟踪训练　(1) －e2　解析：设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.因为θ∈[0，π]，所以θ＝，所以向量a在向量e2上的投影向量为|a|cos θe2＝－e2.
(2) －2e1　解析：由(1)得，向量a与b的夹角为 θ＝，则向量b在向量e1上的投影向量为|b|cos θe1＝－2e1.
【检测反馈】
1. A　解析：对于①，0·a＝0，向量数乘的结果还是向量，故①错误；对于②，根据向量数量积运算可判断得出②正确；对于③，|a·b|＝|a|·|b|·|cos θ|，a·b＝|a|·|b|·cos θ，故|a·b|≥a·b，故③错误；对于④，(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2cos 2θ≠a2·b2，故④错误．综上所述，正确的个数为1.
2. B　解析：因为△ABC是等边三角形，边长为2，所以·＝－·＝－||·||cos 60°＝－2×2×＝－2.
3. ABC　解析：对于A，因为a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)，所以由|a·b|＝|a|·|b|及a，b为非零向量可得|cos θ|＝1，所以θ＝0或θ＝π，所以a∥b，且以上各步均可逆，故A是真命题；对于B，若a，b反向，则a，b的夹角为π，所以a·b＝|a||b|cos π＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故B是真命题；对于C，当a⊥b时，将向量a，b的起点移至同一点，以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的四边形为矩形，所以a⊥b，故C是真命题；对于D，当|a|＝|b|，但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c|，反过来，由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|，故D是假命题．故选ABC.
4. 4　解析：因为a·b＝10，|a|＝5，a与b的夹角为60°，所以|a|·|b|cos 60°＝10，所以|b|＝4.
5. (1) 因为e1，e2是夹角为的两个单位向量，
所以|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝.
因为a＝2e1＋e2，
所以|a|＝＝＝.
(2) 由(1)知e1·e2＝，
由b＝－3e1＋2e2，得|b|＝＝＝，
则a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋e1·e2＋2e＝－，
所以cos θ＝＝－.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝，
所以向量a，b的夹角θ的大小为.