6.2.4 向量的数量积(2)学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

6．2.4　向量的数量积(2)
进一步掌握平面向量数量积的概念及几何性质，掌握平面向量数量积的运算律，综合运用数量积的相关知识解决向量的模、夹角、向量垂直等问题．
活动一 向量数量积的运算律
思考1
类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？
例1　我们知道，对任意a，b∈R，恒有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)(a－b)＝a2－b2.对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1) (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(2) (a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
思考2
设a，b，c是向量，(a·b)c＝a(b·c)一定成立吗？为什么？
活动二 掌握向量的模
例2　(1) 已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角为150°，求|a＋b|；
(2) 已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为，求|a－4b|.
因为|a|2＝|a|·|a|cos 0°＝a·a，所以要求向量的模，先求模的平方．
求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
活动三 掌握向量的夹角
例3　已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，求a与b的夹角．
因为向量的数量积中涉及向量的夹角，所以解决向量的夹角时，联想到数量积的定义．但要注意夹角为锐角时，要同时满足a·b>0且a与b不同向，夹角为钝角时，要同时满足a·b<0且a与b不反向．
设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
活动四　掌握两个向量垂直的判断与应用
例4　设|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝________．
两个向量垂直的充要条件是a·b＝0.
已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角θ的大小．
1. 已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，a⊥(a＋2b)，则向量a，b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
2. (2023菏泽东明一中高一阶段练习)下列关系中，正确的个数是(　　)
①a－a＝0·a；②|a|＋|b|>|a＋b|；③|λa|＝|λ||a|；④|a·b|≤|a||b|；⑤(a±b)2＝a2±b2.
A. 0　 B. 1　 C. 2　 D. 3
3. (多选)已知△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是(　　)
A. a为单位向量 B. b为单位向量
C. a⊥b D. (4a＋b)⊥
4. 如图，已知圆O为△ABC的外接圆，AB＝6，BC＝7，CA＝8，则·＋·＋·＝________．
5. (2023西安高一期中)已知|a|＝2，|b|＝3.
(1) 若a∥b，求(a＋2b)·(a－b)的值；
(2) 若a与b的夹角为120°，求b在a－b方向上的投影向量的模．
【答案解析】
6．2.4　向量的数量积(2)
【活动方案】
思考1：对于向量a，b，c和实数λ，有
①a·b＝b·a；
②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
例1　(1) (a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.
(2) (a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a2－b2.
因此，上述结论是成立的．
思考2：因为a·b为实数，b·c为实数，所以(a·b)·c与c共线，(b·c)a与a共线．又a，c不一定共线，所以等式不一定成立．
例2　(1) |a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 150°＝9＋16＋2×3×4×＝25－12，
所以|a＋b|＝.
(2) |a－4b|2＝|a|2＋16|b|2－8|a||b|cos ＝4＋16－8×2×1×＝12，
所以|a－4b|＝2.
跟踪训练　||2＋||2＝(＋)2＋(＋)2＝||2＋||2＋||2＋||2－2||·||·cos ∠ABC－2||·||·cos ∠BCD＝||2＋||2＋||2＋||2.
例3　设a与b的夹角为θ.
因为(a－b)⊥a，
所以a－b与a的夹角为90°，
所以(a－b)·a＝a2－a·b＝1－cos θ＝0，
所以cos θ＝.
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
跟踪训练　由题意，得(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋7te＋(2t2＋7)·e1·e2＝8t＋7t＋(2t2＋7)×2×1×＝2t2＋15t＋7<0，解得－7若2te1＋7e2与e1＋te2反向平行，则t2＝，
所以t≠－，
所以实数t的取值范围为(－7，－)∪(－，－).
例4　±　解析：由题意，得(a＋λb)·(a－λb)＝|a|2－λ2|b|2＝0，所以9－25λ2＝0，则λ＝±.
跟踪训练　由题意，得(a＋3b)·(7a－5b)＝7a2－15b2＋16a·b＝0，①
(a－4b)·(7a－2b)＝7a2＋8b2－30a·b＝0.②
由①②，得b2＝2a·b，
代入①，得a2＝2a·b，所以|a|＝|b|，
所以cos θ＝＝，
所以a与b的夹角为.
【检测反馈】
1. D　解析：因为a⊥(a＋2b)，所以a·(a＋2b)＝0，即a2＋2a·b＝0，所以a·b＝－1.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
2. D　解析：对于①，a－a＝0，0·a＝0，故①正确；对于②，设向量a与b的夹角为θ∈[0，π]，则cos θ∈[－1，1]，|a＋b|＝＝＝≤＝|a|＋|b|，当且仅当θ＝0时，取得等号，故②错误；对于③，根据数乘的性质可直接判断，|λa|＝|λ||a|，故③正确；对于④，设向量a与b的夹角为θ∈[0，π]，则cos θ∈[－1，1]，|a·b|＝|a|·|b|·|cos θ|≤|a|·|b|，故④正确；对于⑤，(a±b)2＝|a|2±2|a||b|cos θ＋|b|2，故⑤错误．综上，正确的个数为3.
3. AD　解析：因为等边三角形ABC的边长为2，＝2a，所以||＝2|a|＝2，所以|a|＝1，故A正确；因为＝＋＝2a＋，所以＝b，所以|b|＝2，故B错误；因为＝2a，＝b，所以a与b的夹角为120°，故C错误；因为(4a＋b)·＝4a·b＋|b|2＝4×1×2×＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，故D正确．故选AD.
4. －　解析：由题意，得·＝||||·cos (π－∠OAB)＝－||||·cos ∠OAB＝－||2.同理，·＝－||2，·＝－||2，所以·＋·＋·＝－×(62＋72＋82)＝－.
5. (1) (a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝22－2×32＋a·b＝a·b－14.
因为a∥b，所以a，b的方向相同或相反．
①若a，b的方向相同，则a·b＝|a|·|b|＝2×3＝6，
则(a＋2b)·(a－b)＝a·b－14＝6－14＝－8；
②若a，b的方向相反，则a·b＝－|a|·|b|＝－2×3＝－6，
则(a＋2b)·(a－b)＝a·b－14＝－6－14＝－20.
综上，(a＋2b)·(a－b)的值为－8或－20.
(2) 因为a与b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝3，
所以a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×(－)＝－3，
所以b·(a－b)＝a·b－b2＝－3－32＝－12，
|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4－2×(－3)＋9＝19，
所以b在a－b方向上的投影向量的模为||b|cos 〈b，a－b〉|＝|b|·＝＝＝.