数学(文)
本试卷分第 I卷(选择题)和第 II卷(非选择题)两部分，共 150分，考试时间 120分钟.
第 I 卷
一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1. 设全集U = {x N | x 7}，M = {3,7}， U N ={0,1,2,3,6} ，则M N = （ ）
A． B．{7} C．{3,4,5,7} D．U
y2
2.双曲线 x2 =1的离心率为（ ）
2
A． 3 B． 3 C．5 D． 5
1
3.函数 y = 3x 与 y = 的图象（ ）
3x
A．关于 x轴对称 B．关于 y 轴对称 C．关于原点对称 D．关于 y = x 对称
4.若函数 f (x) = sin( x)( 0)在 (0, )上单调递增，则 的取值范围为（ ）
4
1 1
A． (0, ) B． (0,2) C． (0, ] D． (0,2]
2 2
5.设向量 a ， b 满足 (a b) ⊥ (a + 2b) ，且 2 | a |= 3 | b | 0，则 cos a,b =（ ）
1 3 1 3
A． B． C． D．
6 8 6 8
1 y 0,
6.设 x， y 满足约束条件 x y 0, 则 z = x + 5y 的最小值为（ ）
x + y 1,
A． 3 B． 6 C． 3 D． 6
7.一个多面体的三视图如右，图中所示外轮廓都是边长为1的正方形，
则该多面体的体积为（ ）
1 2
A． B．
3 3
1 5
C． D．
6 6
8.设点 A(2,3) ，动点 P 在抛物线C : y2 = 4x上，记 P 到直线 x = 2 的距离为 d ，则 | AP | +d 的
最小值为（ ）
A．1 B．3 C． 10 1 D． 10 +1
9.圆O : x21 + y
2 + 2x + 8y 8 = 0与圆O : x2 + y22 4x 4y 2 = 0的位置关系为（ ）
A．外切 B．相交 C．内切 D．相离
1
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18. (12 分)记数列{an}的前 n项和为 Sn ，已知 2S = n
2
n + an + a1 1 .
(1)若 a1 1，证明：{an n}是等比数列；
1
(2)若 a2 是 a1和 a3 的等差中项，设bn = ，求数列{bn}的前 n项和为Tn .
anan+2
19. (12 分)如图，三棱柱 ABC A1B1C1 所有棱长都为 2 ， B BC=60 ，D 为 A1C 与 AC1 1交点.
(1)证明：平面BCD ⊥平面 AB1C1；
(2)若DB = 13 ，求三棱柱 ABC A1 1B1C1 的体积．
2
sin x
20. (12 分)已知函数 f (x) = m ， x (0,π) .
ex
(1)求函数 f (x) 的单调区间；
(2)若 x x ，满足 f (x1) = f (x ) = 0 m1 2 2 ，i）求 的取值范围；ii）证明： x1 + x2 .
3
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x2
21. (12 分)已知椭圆C1 ： + y
2 =1与抛物线C2 ：y = ax
2 2有四个公共点 A、B 、C 、D ，
2
分别位于第一、二、三、四象限内.
(1)求实数 a的取值范围；
(2)直线 AC 、 AD与 y 轴分别交于M 、 N 两点，求 | MN |的取值集合.
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.(10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐
x =1+ t cos ,
3 1
标方程为 = 2 cos( )(0 )，已知M (1, ) ，动直线 l 的参数方程为 1
4 4 2 y = + t sin
2
（ t 为参数， 0 ）.
2
(1)写出C 在直角坐标系下的普通方程；
(2)若直线 l 与曲线C 有两个公共点 A和 B ，线段 AB 上一点 K 满足 | KM |2=| AM | | BM |，以
为参数写出 K 轨迹的参数方程.
23.(10 分)选修 4—5：不等式选讲
已知 ，且 a + b + c = abc2a,b,c 0 .
(1)求 abc2 的最小值m ；
(2)证明：mabc + (a + b)c2 m2 .
4
{#{QQABbQiAggAIQJBAAQgCEwEiCAIQkACACQgGhBAMsAABAAFABAA=}#}数学(文)参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B C D A A D D B D C B
12.提示：如图，设上、下底面边长分别为 a , b ,内切球半径为 r ，过内切球球心作轴截面，利
a b
用射影定理，可得 = r2，即 ab = 4，B 选项满足题设.
2 2
二、填空题
1 4 7 15
13. 14. 15. 16. a 2 2
3 5 32
16.提示：由题设知 f (x) 在定义域内单调，考虑到当 x→+ 时， f (x) →+ ，故
1 1
f (x) = 2x a + 0 恒成立，即 a (2x + ) a 2 2min ，有 .
x x
三、解答题
17.解：(1) x = 55 0.01 10+ 65 0.02 10+ 75 0.03 10+85 0.03 10+95 0.01 10 = 76 ,
（3 分）
设中位数为 x，因为前3组的频率之和为0.1+ 0.2+ 0.3 0.5，而前 2 组的频率之和为
0.1+ 0.2 = 0.3 0.5，所以70 x 80，由0.03 (x 70) = 0.5 0.3，解得 x 76.67 . （6 分）
（2）根据分层抽样，由频率分布直方图知成绩在 60,70)和 70,80)内的人数比例为
2
0.02 : 0.03 = 2 :3，所以抽取的 5 人中，成绩在 60,70)内的有5 = 2人，记为 A1， A2 ；
5
3
成绩在 70,80)内的有5 = 3人，记为B1，B2 ， B3， （8 分）
5
从 5 人中任意选取 2 人，有 A A B A B1A2 ， A1B1 ， 1 2 ， 1 3， A2B1 ， A2B2 ， A2B3 ，B1B2 ，
B1B ， B2B3 3 ，共 10 种可能；其中选取的 2 人中恰有 1 人成绩在区间 60,70)内的有 A1B1 ，
A1B2 ， A1B3， A2B1， A2B2 ， A2B3 ，共 6 种可能； （10 分）
6 3
故所求的概率为P = = ． （12 分）
10 5
18.解：(1)对 2S = n2 + a + a 1①，当 n 2n n 1 时，有 2S
2
n 1 = (n 1) + an 1 + a1 1②，
①-②： 2(Sn Sn 1) = 2n 1+ an an 1，即 2an = 2n 1+ an an 1， （2 分）
经整理，可得 an n = ( 1)[an 1 (n 1)]， （4分）
故{an n}是以 a1 1( 0)为首项、 1为公比的等比数列. （5分）
(2)由(1)知 an n = ( 1)
n 1(a 1)，有 a2 = 3 a1 ， a3 = a1 1 + 2 ，
题设知 2a2 = a1 + a3 ，即 2(3 a1) = a1 + (a1 + 2)，则 a1 =1，故 an = n . （7 分）
1 1 1 1 1
而 bn = = = ( )， （9 分）
anan+2 n(n + 2) 2 n n + 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Tn = b1 + b2 + + bn 1 + bn = ( + + + + ) = ( + )
2 1 3 2 4 n 1 n +1 n n + 2 2 1 2 n +1 n + 2
1
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{#{QQABbQiAggAIQJBAAQgCEwEiCAIQkACACQgGhBAMsAABAAFABAA=}#}
若 l 表示 AC ，联立 x = t(y m) 与 y = ax2 2，消 x，得 at2 y2 (2mat2 +1)y + at2m2 2 = 0 ②，
1 2mat2 +1
其两根也是 y1 、 y2 ，故方程①与②为同解方程，有 y + y = = ，即1 2
2a at2
1 2 1 a at2m2 2 1 2
= 4m + ③，亦有 2y y = = ,即 1= m ④， （8 分） 1 2
a at2 2a at2 a at
③与④相加，可得m2 + 4m +1= 0，有m1 = 2 + 3 ，m2 = 2 3 ，
考虑到 M 在C1 内部，取 yM = m1；
若 l 表示 AD，且 N 在C1 外部，类上可得 yN = m2 ，即 | MN |=| m1 m2 |= 2 3 ，
故 | MN |的取值集合为{2 3} . （12 分）
(亦可用 y1 、 y2 以点参形式直接表示直线 AC 与 AD ，可得到 yM yN = 2 (y1 + 2)(y2 + 2) )
22. 解 ： (1) 由 = cos + sin 得 2 = cos + sin ， 即 x2 + y2 = x + y ， 整 理 可 得
1
(x )2
1 1 3
+ (y )2 = ，而0 ，图形分析可知 y 0 ,
2 2 2 4
1 1 1
故C 在直角坐标系下的普通方程为 (x )2 + (y )2 = (y 0) . （4 分）
2 2 2
x =1+ t cos ,
1 1 1 1
(2)将 1 代入 (x )
2 + (y )2 = ，消去 x, y ，整理得 t2 + cos t = 0 ，
y = + t sin 2 2 2 4
2
1
= cos2 +1 0，考虑到 y 0，由图形可知 0 0， 0 为锐角且满足 tan 0 = ，由韦
2
2 1 1达定理及题设可知 t =| t | | t |=| t t |= ，考虑点 KK A B A B 在线段 AB 上， tK = ，则点 K 的坐
4 2
1
标为 (1+ tK cos , + tK sin )， （8 分）
2
1
x =1 cos ,
故 轨迹的参数方程为 2
1
K （ 为参数，0 ），其中锐角 tan =0 0 满足 0 .
1 1 2y = sin
2 2
（10 分）
c c c c abc2
23.解：（1）由均值不等式可知 a + b + c = a + b + + 4 4 a b ，即 abc2 4 4 ，整
2 2 2 2 4
c
理得 abc2 4，故 abc2 的最小值为 4 ，取最值条件为 a = b = =1 . （4 分）
2
(2)由（ 1）知即证 2 2 ，由 a + b + c = abc2
1 1 1
4abc + (a + b)c 4 可得 + + = c ，即有
ab bc ac
1 1 1
4abc + (a + b)c2 = (4ab + ac + bc)c = (4ab + ac + bc)( + + )，由柯西不等式可知
ab ac bc
1 1 1 1 1 1
(4ab + ac + bc)( + + ) ( 4ab + ac + bc )2 = (2 +1+1)2 = 42 ， 取 等 条 件 为
ab ac bc ab ac bc
4ab ac bc c
= = ，即 a = b = =1 . 故 4abc + (a + b)c
2 42 . （10 分）
1 1 1 2
ab ac bc
3
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