2024年北师大版数学七（下）重难点培优训练8 轴对称的应用-最短距离
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023七下·盐湖期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：利用轴对称的性质可得，C选项中AC+BC的长最小，
故答案为：C.
【分析】利用“将军饮马”的方法求解即可.
2．（2023七下·新民期末）如图，四边形是直角梯形，，，点是腰上的一个动点，要使最小，则点应该满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，作点C关于AD的对称点E，连接BE交AD于P，连接CP.
根据轴对称的性质，得∠DPC=∠EPD，
根据对顶角相等知∠APB=∠EPD
∴∠APB=∠DPC.
故答案为：D.
【分析】根据轴对称的性质，对称的角相等，可得∠DPC=∠EPD，再根据对顶角相等的性质，得∠APB=∠DPC.
3．（2023七下·兰州期末）如图，平分，点P是射线上一点，于点M，点N是射线上的一个动点．若，则的长度不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．4
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；线段的长短比较
【解析】【解答】当PN⊥OA时，PN的值最小，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，、
∴PM=PN，
∵PM=5，
∴PN的最小值为5，
∴D选项不符合题意，
故答案为： D。
【分析】结合角平分线的性质定理和点到直线的最短距离，可得答案。
4．（2023七下·禅城期末）如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点M关于直线l的对称点M'，连接M'N交直线l于一点Q，则MQ=M'Q，
∴MQ+NQ=M'Q+NQ=M'N，
根据两点之间线段最短可知：此时管道总长度最短；
故答案为：B.
【分析】作点M关于直线l的对称点M'，连接M'N交直线l于一点Q，连接MQ，根据两点之间线段最短可知：此时管道总长度最短，最短值为M'N的长.
5．（2023七下·宝安期末）如图，长方形中，点为上一点，连接，将长方形沿着直线折叠，点恰好落在的中点上，点为的中点，点为线段上的动点，连接、，若、、，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图点是点G关于EC对称点，
由题意得，△EDC与△FEC关于EC对称，
∴
∴PF+PG=PF+
∴当F、P、三点共线时，PF+PG=PF+有最小值等于.
∵点G是FC中点，
∴点也是DC中点，
∵点F是AB中点，
∴
∴PF+PG的最小值为a+b.
故答案为：D.
【分析】如图点是点G关于EC对称点，有对称可知PF+PG=PF+，当F、P、三点共线时，PF+PG=PF+有最小值等于；由点F、都是长方形ABCD一组对边的中点，可知=AD，即可求出PF+PG的最小值.
6．（2022七下·河源期末）已知，等腰中，，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰，，，那么线段的最小值是（ ）
A．5 B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图作点F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=3，
∴点F′在AC上，
∵BE+EF=BE+EF′，
根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长．
在Rt△ACD中，∵，
∴BH=，
∴BE+EF的最小值为，
故答案为：C．
【分析】作点F关于AD的对称点F′，连接EF′，作BH⊥AC于H，根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长，再利用等面积法求出BH的长即可。
7．（2021七下·开江期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（ ）
A．110° B．112° C．114° D．116°
【答案】D
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求.
∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，
∴∠ADC＝180°﹣32°，
由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，
在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC
＝180°﹣（180°﹣32°）
＝32°，
∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝32°，
∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）
＝180°﹣32°-32°
＝116°.
故答案为：D.
【分析】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求.用四边形的内角和等于360°可求得∠ADC的度数，由轴对称的性质可得，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，在△PDQ中，由三角形内角和定理可求得∠P+∠Q的度数，则∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q，然后根据角的构成∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）可求解.
8．（2021七下·天桥期末）如图所示，在正方形网格中，点A、B、C、D、E、F是网格线交点；直线l经过点A、B、C、D、如果在直线l上存在一点M，使得ME＋MF的值最小，则点M在（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】根据题意，得点F是边长为3的正方形的一个顶点，AD是正方形的对角线，根据正方形的性质，可得点G是点F关于l的对称点，连接EG，交直线AD于点B，
故答案为：B.
【分析】根据直线l经过点A、B、C、D、如果在直线l上存在一点M，使得ME＋MF的值最小，计算求解即可。
9．（2019七下·吴兴期末）如图，直线 ， 表示一条河的两岸，且 ∥ 现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，应该选择路线（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：由作图过程可知，四边形ACDA'为平行四边形，AC平移至A'D即可得到线段A'B，两点之间线段最短，由于河宽不变，CD即为桥.
故答案为：C.
【分析】根据修建的桥必须是与河岸垂直的，利用平移的知识，先将在桥上要走的路程放在开始走，然后就可以利用“两点之间线段最短”了.
10．（2023七下·芝罘期末）如图，中，，，是的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD平分∠BAC，
在线段AC上取点G，使AG＝AF，连接FG，则AD是FG的垂直平分线，
连接EG，则EG＝EF，∴BE+EF＝BE+EG。
当B、E、G在同一直线上，且BG⊥AC时，BG的值最小。
由勾股定理可得AD＝
∵＝×BC×AD＝×AC×BG
∴×6×4＝×5×BG
∴BG＝4.8
∴BE+EF的最小值是4.8。
故答案为：B
【分析】在AC上取点G，使AG＝AF，当B、E、G在同一直线上，且BG⊥AC时，BG的值最小。运用三角形面积公式列方程求解即可。
二、填空题（每题5分，共20分
11．（2019七下·成都期末）四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为 ．
【答案】70°
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA=BA′，MB⊥AB，
∴MA=MA′，同理：NA=NA″，
∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，
∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD=125°，
∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=55°，
∴∠AMN+∠ANM=2×55°=110°．
∴∠MAN=180°﹣110°=70°，
故答案为：70°．
【分析】延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），进而得出∠MAN的度数．
12．（2023七下·郫都期末）如图，在四边形中，，，点、分别在、上，当的周长最小时，用的代数式表示，则 ．
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作关于BC、CD点的对称点A'、A''，连接A'A''交BC于点E，交CD于点F，则A'A''为△AEF周长的最小值，作DA的延长线AH，
∵∠ADC = ∠ABC=90°，
∴∠DAB+∠C = 180°，
∵∠C= ，
∴∠DAB=180°-∠C=180°-，
∴∠HAA'= ，
∴∠AA'E + ∠A''= ∠HAA'= ，
∵∠AEF=∠EA'A+∠EAA'，∠AFE=∠FAD+∠A''，
∴∠AEF+∠AFE=∠EA'A+∠EAA'+∠FAD+∠A''=2（∠AA'E+∠A''）=2，
∴∠EAF=180°-2，
故答案为： .
【分析】根据题意先作图求出A'A''为△AEF周长的最小值，再求出∠HAA'= ，最后计算求解即可。
13．（2020七下·金昌期末）如图所示， 内一点P， ， 分别是P关于OA，OB的对称点， 交OA于点M，交OB于点N，若 ，则 的周长是 .
【答案】5cm
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵ ， 分别是P关于OA，OB的对称点，
∴MP1=MP，NP2=NP，
∵P1P2=5cm，
∴MP1+NP2+MN=MP+MN+NP=P1P2=5，
∴△PMN的周长为5cm，
故答案为：5cm.
【分析】根据轴对称的性质可得MP1=MP，NP2=NP，可得MP1+NP2+MN=MP+MN+NP=P1P2，即可得答案.
14．（2023七下·萧县期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】6
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】过B点作AC边上的高BE，交AC与E.由已知面积和底，易得高BE=2248=6。因AD是∠BAC的平分线，在AC上易找到N关于AD的对称点N’，只要令AN'=AN即可。由SAS定理证得MN=MN'.BM+MN即BM+MN’的最小值问题转化为求点B到AC的距离问题，即求垂线段BE的长，此时它也是AC边上的高，BM+MN的最小值是6.
【分析】最值问题通常先套用将军饮马模型，转化成求一条线段的问题。
三、解答题（共7题，共70分）
15．（2021七下·德惠期末）如图，小明的家（点）在一条河流（直线）的一侧，在河流的同侧有一个公园（点），小芳家恰好与小明的家关于此河流对称（要求画图准确，保留痕迹）
（1）画出小芳家的位置（用电表示）
（2）小芳要去公园，她在河上的哪一点通过能使所走的路程最近？请在图中画出该点（用电表示）．
（3）小明要带着他的狗先到河边喝水，然后去公园，请你画出他所走的最短路径．
【答案】（1）解：如图所示：点即为所求；
（2）解：如图所示：点即为所求；
（3）解：如图所示：小明所走的最短路径为折线的长．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质作出点C即可；
（2）连接BC交直线l于一点即为点D，此时所走的路程最近 ；
（3）如图， 小明所走的最短路径为折线AD-DB的长 .
16．（2020七下·肃州期末）如图，要在街道 上修建一个奶吧 （街道用直线 表示）.
（1）若奶吧 向小区 ， 提供牛奶如图①，则奶吧 应建在什么地方，才能使它到小区 ， 的距离之和最短？
（2）若奶吧 向小区 ， 提供牛奶如图②，则奶吧 应建在什么地方，才能使它到小区 ， 的距离之和最短？
【答案】（1）解：奶吧D的位置如图①所示；
（2）解：奶吧D的位置如图②所示.
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据两点之间线段最短即可得奶吧D的位置；
（2）作出A关于街道l的对称点A′，连接A′C和街道l的交点就是奶吧D.
17．（2020七下·张掖月考）某汽车探险队要从A城穿越沙漠去B城，途中需要到河流L边为汽车加水，汽车在河边哪一点加水，才能使行驶的总路程最短 请你在图上画出这一点。
【答案】解：如图所示：
由对称的性质可得AP＝CP，则AP＋PB＝CP＋PB＝BC，
根据两点之间线段最短，可得汽车在河边P点加水，能使行驶的总路程最短.
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】作出点A的关于L的对称点C，连接CB，交于L于点P，连接AP，则点P是所求的加水点.
18．（2020七下·白云期末）如图要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线图（2）问题就转化为要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点 ；
②连接 交直线l于点P，则点P即为所求.
请你参考小明的做法解决下列问题：
如图（3），在 ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，请你在BC边上确定一点P，使 的周长最小.
【答案】解：如图所示：
的周长
为 的中位线
，DE为定值
要使 的周长最小
则 的和最小
根据小明的做法，
过点D作关于BC的对称点F，连接EF与线段BC交于P点，
则此时 的和最小，此时 的周长最小.
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】由于DE为定值，只需 的和最小，根据材料提供的方法作图即可，过点D作关于BC的对称点F，连接EF与线段BC交于P点.
19．（初中数学北师大版七年级下册5.2探索轴对称的性质练习题）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离AE=2公里，B到河岸的距离BF=3公里，EF=12公里，求将军最短需要走多远．
【答案】解：作A点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P，连接A′B′，则BB′=2+3=5，
则PB+PA=PB+PA′=BA′最短，故将军应将马赶到河边的P地点．
作FB′=EA′，且FB′⊥CD，
∵FB′=EA′，FB′⊥CD，BB′∥A′A，
∴四边形A′B′BA是矩形，
∴B'A'=EF，
在Rt△BB′A′中，
BA′= =13，
答：将军最短需要走13公里
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】将此题转化为轴对称问题，作出A点关于河岸的对称点A′，根据两点之间线段最短得出BA′的长即为将军要走的最短路程，利用勾股定理解答即可．
20．（2020七下·南岸期末）如图所示，在街道 的同一侧，有两个居民区A，B，两个居民区门口到街道的距离分别为AC，BD.现准备在街道 旁设置一个快递中转站.
（1）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离相等，如图1，当∠A=∠BPD时，请说明AC+BD=CD的理由；
（2）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之和最短，请在图2中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系；
（3）为了能错峰进行取送快递，决定设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之差最大，请在图3中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系.
【答案】（1）解：∵ AC，BD分别是点A，B到直线 的距离，
∴ ∠ACP=∠BDP=90°，
在△ACP和△PDB中， ，
∴ △ACP≌△PDB（AAS），
∴ AC=PD，PC=BD，
∴CD=CP+PD=BD+AC；
（2）解：如图1所示，∠A＝∠B，
理由：由作图知，
AC＝ ， ⊥l，
∴∠A＝∠ A，
∵A ∥BD，
∴∠ ＝∠B，
∴∠A＝∠B；
（3）解：如图2所示，
∵∠ACD＝∠BDC＝90°，
∴∠ACD＋∠BDC＝180°，
∴AC∥BD，
∴∠PAC＝∠PBD.
【知识点】平行线的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先判断出∠ACP＝∠BDP＝90°，进而判断出△ACP≌△PDB，即可得出结论；（2）先确定出点A关于直线l的对称点，连接 ，即可找出点P的位置，利用对称性和平行线的性质即可得出结论；（3）连接BA交直线l于点P，利用平行线的性质即可得出结论.
21．（2021七下·顺德期末）问题解决：
（1）问题情境：如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到P的距离之和最短？请画出点P的位置；
（2）问题理解：如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AC边的中点，点P是线段AD上的动点，画出PC＋PE取得最小值时点P的位置；
（3）问题运用：如图3，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD＝12，AD是∠BAC的平分线，当点E、P分别是AC和AD上的动点时，求PC＋PE的最小值．
【答案】（1）解：如图1中，点P即为所求．
（2）解：如图2中，点P′即为所求．
（3）解：如图3中，过点C作CT⊥AB于T．
∵AC＝AB，AD平分∠CAB，
∴AD垂直平分线段BC，
∴AC，AB关于AD对称，
作点E关于AD的对称点E′，连接PE′，则PE＝PE′，
∵PC＋PE＝PC＋PE′≥CT，
∴当P，E′在CT上时，PE＋PC的值最小，最小值为线段CT的长，
∵S△ABC＝ AB CT＝ BC AD，
∴CT＝ ，
∴PE＋PC的值最小值= ．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）如图1中，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'交直线l于点P，连接PA，此时PA+PB的值最小；
（2）如图2中，连接BE交AD于点P'，连接CP'，点P'即为所求；
（3）如图3中，过点C作CT⊥AB于T，证明AC，AB关于AD对称，作点E关于AD的对称点E′，连接PE′，则PE＝PE′，推出PC＋PE＝PC＋PE′≥CT，推出当P，E′在CT上时，PE＋PC的值最小，最小值为线段CT的长。
1 / 12024年北师大版数学七（下）重难点培优训练8 轴对称的应用-最短距离
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023七下·盐湖期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2023七下·新民期末）如图，四边形是直角梯形，，，点是腰上的一个动点，要使最小，则点应该满足（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·兰州期末）如图，平分，点P是射线上一点，于点M，点N是射线上的一个动点．若，则的长度不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．4
4．（2023七下·禅城期末）如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023七下·宝安期末）如图，长方形中，点为上一点，连接，将长方形沿着直线折叠，点恰好落在的中点上，点为的中点，点为线段上的动点，连接、，若、、，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022七下·河源期末）已知，等腰中，，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰，，，那么线段的最小值是（ ）
A．5 B．3 C． D．
7．（2021七下·开江期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（ ）
A．110° B．112° C．114° D．116°
8．（2021七下·天桥期末）如图所示，在正方形网格中，点A、B、C、D、E、F是网格线交点；直线l经过点A、B、C、D、如果在直线l上存在一点M，使得ME＋MF的值最小，则点M在（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
9．（2019七下·吴兴期末）如图，直线 ， 表示一条河的两岸，且 ∥ 现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，应该选择路线（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023七下·芝罘期末）如图，中，，，是的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．6
二、填空题（每题5分，共20分
11．（2019七下·成都期末）四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为 ．
12．（2023七下·郫都期末）如图，在四边形中，，，点、分别在、上，当的周长最小时，用的代数式表示，则 ．
13．（2020七下·金昌期末）如图所示， 内一点P， ， 分别是P关于OA，OB的对称点， 交OA于点M，交OB于点N，若 ，则 的周长是 .
14．（2023七下·萧县期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ．
三、解答题（共7题，共70分）
15．（2021七下·德惠期末）如图，小明的家（点）在一条河流（直线）的一侧，在河流的同侧有一个公园（点），小芳家恰好与小明的家关于此河流对称（要求画图准确，保留痕迹）
（1）画出小芳家的位置（用电表示）
（2）小芳要去公园，她在河上的哪一点通过能使所走的路程最近？请在图中画出该点（用电表示）．
（3）小明要带着他的狗先到河边喝水，然后去公园，请你画出他所走的最短路径．
16．（2020七下·肃州期末）如图，要在街道 上修建一个奶吧 （街道用直线 表示）.
（1）若奶吧 向小区 ， 提供牛奶如图①，则奶吧 应建在什么地方，才能使它到小区 ， 的距离之和最短？
（2）若奶吧 向小区 ， 提供牛奶如图②，则奶吧 应建在什么地方，才能使它到小区 ， 的距离之和最短？
17．（2020七下·张掖月考）某汽车探险队要从A城穿越沙漠去B城，途中需要到河流L边为汽车加水，汽车在河边哪一点加水，才能使行驶的总路程最短 请你在图上画出这一点。
18．（2020七下·白云期末）如图要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线图（2）问题就转化为要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点 ；
②连接 交直线l于点P，则点P即为所求.
请你参考小明的做法解决下列问题：
如图（3），在 ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，请你在BC边上确定一点P，使 的周长最小.
19．（初中数学北师大版七年级下册5.2探索轴对称的性质练习题）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离AE=2公里，B到河岸的距离BF=3公里，EF=12公里，求将军最短需要走多远．
20．（2020七下·南岸期末）如图所示，在街道 的同一侧，有两个居民区A，B，两个居民区门口到街道的距离分别为AC，BD.现准备在街道 旁设置一个快递中转站.
（1）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离相等，如图1，当∠A=∠BPD时，请说明AC+BD=CD的理由；
（2）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之和最短，请在图2中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系；
（3）为了能错峰进行取送快递，决定设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之差最大，请在图3中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系.
21．（2021七下·顺德期末）问题解决：
（1）问题情境：如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到P的距离之和最短？请画出点P的位置；
（2）问题理解：如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AC边的中点，点P是线段AD上的动点，画出PC＋PE取得最小值时点P的位置；
（3）问题运用：如图3，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD＝12，AD是∠BAC的平分线，当点E、P分别是AC和AD上的动点时，求PC＋PE的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：利用轴对称的性质可得，C选项中AC+BC的长最小，
故答案为：C.
【分析】利用“将军饮马”的方法求解即可.
2．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，作点C关于AD的对称点E，连接BE交AD于P，连接CP.
根据轴对称的性质，得∠DPC=∠EPD，
根据对顶角相等知∠APB=∠EPD
∴∠APB=∠DPC.
故答案为：D.
【分析】根据轴对称的性质，对称的角相等，可得∠DPC=∠EPD，再根据对顶角相等的性质，得∠APB=∠DPC.
3．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；线段的长短比较
【解析】【解答】当PN⊥OA时，PN的值最小，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，、
∴PM=PN，
∵PM=5，
∴PN的最小值为5，
∴D选项不符合题意，
故答案为： D。
【分析】结合角平分线的性质定理和点到直线的最短距离，可得答案。
4．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点M关于直线l的对称点M'，连接M'N交直线l于一点Q，则MQ=M'Q，
∴MQ+NQ=M'Q+NQ=M'N，
根据两点之间线段最短可知：此时管道总长度最短；
故答案为：B.
【分析】作点M关于直线l的对称点M'，连接M'N交直线l于一点Q，连接MQ，根据两点之间线段最短可知：此时管道总长度最短，最短值为M'N的长.
5．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图点是点G关于EC对称点，
由题意得，△EDC与△FEC关于EC对称，
∴
∴PF+PG=PF+
∴当F、P、三点共线时，PF+PG=PF+有最小值等于.
∵点G是FC中点，
∴点也是DC中点，
∵点F是AB中点，
∴
∴PF+PG的最小值为a+b.
故答案为：D.
【分析】如图点是点G关于EC对称点，有对称可知PF+PG=PF+，当F、P、三点共线时，PF+PG=PF+有最小值等于；由点F、都是长方形ABCD一组对边的中点，可知=AD，即可求出PF+PG的最小值.
6．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图作点F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=3，
∴点F′在AC上，
∵BE+EF=BE+EF′，
根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长．
在Rt△ACD中，∵，
∴BH=，
∴BE+EF的最小值为，
故答案为：C．
【分析】作点F关于AD的对称点F′，连接EF′，作BH⊥AC于H，根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长，再利用等面积法求出BH的长即可。
7．【答案】D
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求.
∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，
∴∠ADC＝180°﹣32°，
由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，
在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC
＝180°﹣（180°﹣32°）
＝32°，
∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝32°，
∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）
＝180°﹣32°-32°
＝116°.
故答案为：D.
【分析】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求.用四边形的内角和等于360°可求得∠ADC的度数，由轴对称的性质可得，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，在△PDQ中，由三角形内角和定理可求得∠P+∠Q的度数，则∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q，然后根据角的构成∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）可求解.
8．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】根据题意，得点F是边长为3的正方形的一个顶点，AD是正方形的对角线，根据正方形的性质，可得点G是点F关于l的对称点，连接EG，交直线AD于点B，
故答案为：B.
【分析】根据直线l经过点A、B、C、D、如果在直线l上存在一点M，使得ME＋MF的值最小，计算求解即可。
9．【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：由作图过程可知，四边形ACDA'为平行四边形，AC平移至A'D即可得到线段A'B，两点之间线段最短，由于河宽不变，CD即为桥.
故答案为：C.
【分析】根据修建的桥必须是与河岸垂直的，利用平移的知识，先将在桥上要走的路程放在开始走，然后就可以利用“两点之间线段最短”了.
10．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD平分∠BAC，
在线段AC上取点G，使AG＝AF，连接FG，则AD是FG的垂直平分线，
连接EG，则EG＝EF，∴BE+EF＝BE+EG。
当B、E、G在同一直线上，且BG⊥AC时，BG的值最小。
由勾股定理可得AD＝
∵＝×BC×AD＝×AC×BG
∴×6×4＝×5×BG
∴BG＝4.8
∴BE+EF的最小值是4.8。
故答案为：B
【分析】在AC上取点G，使AG＝AF，当B、E、G在同一直线上，且BG⊥AC时，BG的值最小。运用三角形面积公式列方程求解即可。
11．【答案】70°
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA=BA′，MB⊥AB，
∴MA=MA′，同理：NA=NA″，
∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，
∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD=125°，
∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=55°，
∴∠AMN+∠ANM=2×55°=110°．
∴∠MAN=180°﹣110°=70°，
故答案为：70°．
【分析】延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），进而得出∠MAN的度数．
12．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作关于BC、CD点的对称点A'、A''，连接A'A''交BC于点E，交CD于点F，则A'A''为△AEF周长的最小值，作DA的延长线AH，
∵∠ADC = ∠ABC=90°，
∴∠DAB+∠C = 180°，
∵∠C= ，
∴∠DAB=180°-∠C=180°-，
∴∠HAA'= ，
∴∠AA'E + ∠A''= ∠HAA'= ，
∵∠AEF=∠EA'A+∠EAA'，∠AFE=∠FAD+∠A''，
∴∠AEF+∠AFE=∠EA'A+∠EAA'+∠FAD+∠A''=2（∠AA'E+∠A''）=2，
∴∠EAF=180°-2，
故答案为： .
【分析】根据题意先作图求出A'A''为△AEF周长的最小值，再求出∠HAA'= ，最后计算求解即可。
13．【答案】5cm
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵ ， 分别是P关于OA，OB的对称点，
∴MP1=MP，NP2=NP，
∵P1P2=5cm，
∴MP1+NP2+MN=MP+MN+NP=P1P2=5，
∴△PMN的周长为5cm，
故答案为：5cm.
【分析】根据轴对称的性质可得MP1=MP，NP2=NP，可得MP1+NP2+MN=MP+MN+NP=P1P2，即可得答案.
14．【答案】6
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】过B点作AC边上的高BE，交AC与E.由已知面积和底，易得高BE=2248=6。因AD是∠BAC的平分线，在AC上易找到N关于AD的对称点N’，只要令AN'=AN即可。由SAS定理证得MN=MN'.BM+MN即BM+MN’的最小值问题转化为求点B到AC的距离问题，即求垂线段BE的长，此时它也是AC边上的高，BM+MN的最小值是6.
【分析】最值问题通常先套用将军饮马模型，转化成求一条线段的问题。
15．【答案】（1）解：如图所示：点即为所求；
（2）解：如图所示：点即为所求；
（3）解：如图所示：小明所走的最短路径为折线的长．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质作出点C即可；
（2）连接BC交直线l于一点即为点D，此时所走的路程最近 ；
（3）如图， 小明所走的最短路径为折线AD-DB的长 .
16．【答案】（1）解：奶吧D的位置如图①所示；
（2）解：奶吧D的位置如图②所示.
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据两点之间线段最短即可得奶吧D的位置；
（2）作出A关于街道l的对称点A′，连接A′C和街道l的交点就是奶吧D.
17．【答案】解：如图所示：
由对称的性质可得AP＝CP，则AP＋PB＝CP＋PB＝BC，
根据两点之间线段最短，可得汽车在河边P点加水，能使行驶的总路程最短.
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】作出点A的关于L的对称点C，连接CB，交于L于点P，连接AP，则点P是所求的加水点.
18．【答案】解：如图所示：
的周长
为 的中位线
，DE为定值
要使 的周长最小
则 的和最小
根据小明的做法，
过点D作关于BC的对称点F，连接EF与线段BC交于P点，
则此时 的和最小，此时 的周长最小.
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】由于DE为定值，只需 的和最小，根据材料提供的方法作图即可，过点D作关于BC的对称点F，连接EF与线段BC交于P点.
19．【答案】解：作A点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P，连接A′B′，则BB′=2+3=5，
则PB+PA=PB+PA′=BA′最短，故将军应将马赶到河边的P地点．
作FB′=EA′，且FB′⊥CD，
∵FB′=EA′，FB′⊥CD，BB′∥A′A，
∴四边形A′B′BA是矩形，
∴B'A'=EF，
在Rt△BB′A′中，
BA′= =13，
答：将军最短需要走13公里
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】将此题转化为轴对称问题，作出A点关于河岸的对称点A′，根据两点之间线段最短得出BA′的长即为将军要走的最短路程，利用勾股定理解答即可．
20．【答案】（1）解：∵ AC，BD分别是点A，B到直线 的距离，
∴ ∠ACP=∠BDP=90°，
在△ACP和△PDB中， ，
∴ △ACP≌△PDB（AAS），
∴ AC=PD，PC=BD，
∴CD=CP+PD=BD+AC；
（2）解：如图1所示，∠A＝∠B，
理由：由作图知，
AC＝ ， ⊥l，
∴∠A＝∠ A，
∵A ∥BD，
∴∠ ＝∠B，
∴∠A＝∠B；
（3）解：如图2所示，
∵∠ACD＝∠BDC＝90°，
∴∠ACD＋∠BDC＝180°，
∴AC∥BD，
∴∠PAC＝∠PBD.
【知识点】平行线的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先判断出∠ACP＝∠BDP＝90°，进而判断出△ACP≌△PDB，即可得出结论；（2）先确定出点A关于直线l的对称点，连接 ，即可找出点P的位置，利用对称性和平行线的性质即可得出结论；（3）连接BA交直线l于点P，利用平行线的性质即可得出结论.
21．【答案】（1）解：如图1中，点P即为所求．
（2）解：如图2中，点P′即为所求．
（3）解：如图3中，过点C作CT⊥AB于T．
∵AC＝AB，AD平分∠CAB，
∴AD垂直平分线段BC，
∴AC，AB关于AD对称，
作点E关于AD的对称点E′，连接PE′，则PE＝PE′，
∵PC＋PE＝PC＋PE′≥CT，
∴当P，E′在CT上时，PE＋PC的值最小，最小值为线段CT的长，
∵S△ABC＝ AB CT＝ BC AD，
∴CT＝ ，
∴PE＋PC的值最小值= ．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）如图1中，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'交直线l于点P，连接PA，此时PA+PB的值最小；
（2）如图2中，连接BE交AD于点P'，连接CP'，点P'即为所求；
（3）如图3中，过点C作CT⊥AB于T，证明AC，AB关于AD对称，作点E关于AD的对称点E′，连接PE′，则PE＝PE′，推出PC＋PE＝PC＋PE′≥CT，推出当P，E′在CT上时，PE＋PC的值最小，最小值为线段CT的长。
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