2024年北师大版数学七（下）重难点培优训练9 翻折问题
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2021七下·洪山期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（ ）
A．57° B．58° C．59° D．60°
2．（2023七下·正定期末）如图，将折叠，使点落在边处，展开后得到折痕，则是的（ ）
A．高线 B．角平分线 C．中线 D．中位线
3．（2024七下·安州月考）如图，将沿直线折叠，使点A落在边上的点F处，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七下·阳东期中） 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，，若CD∥BE，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七下·吉州期中）下列四种沿进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边，互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得
B．如图2，展开后测得且
C．如图3，展开后测得
D．如图4，展开后测得
6．（2024七下·湘桥期中） 如图，点E、F分别为长方形纸片ABCD的边AB，CD上的点，将长方形纸片沿EF翻折，点C，B分别落在点C，B处．若∠DFC=a，则∠FEA-∠AEB的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021七下·蒙阴期末）如图1是长方形纸带，∠DEF＝10°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是多少（ ）
A．160° B．150° C．120° D．110°
8．（2024七下·杭州期中）已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P；如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021七下·孝义期中）折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，折纸过程中既要动脑又要动手．如图，将一长方形纸条首先沿着 进行第一次折叠，使得 ， 两点落在 、 的位置，再将纸条沿着 折叠（ 与 在同一直线上），使得 、 分别落在 、 的位置．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．学行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的(如图所示)．
从图中可知，小敏画平行线的依据是（ ）
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．
A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024七下·香洲期中） 如图，图①是四边形纸条，其中分别为上的两个点，将纸条沿折叠得到图②，若在图②中，，则为 ．
12．（2024七下·光明月考）如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 .
13．（2024七下·义乌月考）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，，则的度数是 ．
14．（2024七下·吉林月考）如图所示的四种沿AB折叠纸带的方法：①如图①，展开后测得∠1＝∠2；②如图②，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4；③如图③，测得∠1＝∠2；④如图④，展开后测得∠1＋∠2＝180°．其中能判断纸带两条边a，b互相平行的是 ．（填序号）
15．如图1，将长方形纸带ABCD 沿EF 折叠后，点C，D分别落在点H，G 的位置，再沿 BC 折叠成图2.若∠DEF=72°，则∠GMN= °.
16．（2022七下·西安期中）如图，射线AB与射线CD平行，点F为射线AB上的一定点，连接CF，点P是射线CD上的一个动点（不包括端点C），将 沿PF折叠，使点C落在点E处.若 ，当点E到点A的距离最大时， .
三、解答题（共4题，共31分）
17．（2023七下·宣化期末）如图，直线AB∥CD，直线l与直线AB、CD相交于点E、F，点P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．
（1）若∠PEF＝48°，点Q恰好落在其中的一条平行线上，求则∠EFP的度数；
（2）若∠PEF＝75°，2∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度数．
18．（2023七下·南京期末）在直角三角形ABC中，，点D，E分别在AB，AC上，将沿DE翻折，得到.
（1）如图①，若，则 ；
（2）如图②，的平分线交线段BC于点G.若，求证.
（3）已知，的平分线交直线BC于点G.当的其中一条边与BC平行时，直接写出的度数（可用含a的式表示）.
19．（2023七下·普宁期末）如图，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点落在处，为折痕
（1）图中，若，求的度数；
（2）如果又将活页的另一角斜折过去，使边与重合，折痕为，如图所示，，求以及的度数；
（3）如果在图中改变的大小，则的位置也随之改变，那么问题中的大小是否改变？请说明理由．
20．（2023七下·朝阳期末）如图，是一张三角形的纸片，点、分别是边、上的点将沿折叠，点落在点的位置．
（1）如图，当点落在边上时，若，求的大小．
（2）如图，当点落在内部时，若，，求的大小．
（3）当点落在外部时，
如图，若，，则
如图，、和的数量关系为 ．
四、实践探究题（共5题，共51分）
21．（2024七下·江南月考） 综合与实践：折纸中的数学
【问题提出】在前面的学习中我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方式找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？
（1）【知识初探】王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．
①如图1，在纸上画出一条直线，在外取一点．过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平．则 ▲ ；
②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说，就是的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明；
（2）【拓展延伸】李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图5，在线段上任取一点，连接，请你猜想与这三个角之间的数量关系，并说明理由．
22．（2023七下·巩义期末）综合与实践
问题背景：
数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边 ， ， ，点 为线段AD上一动点 ，将纸片折叠，使点B和点 重合，产生折痕EF，点E是折痕与边AD的交点，点F是折痕与边BC的交点．
动手操作：
（1）如图1，若点E与点A重合时，则 的度数为 ．
实践探究：
（2）如图2，移动点 ，其余条件不变．
①小静发现图中无论点 如何移动， 始终成立，请说明理由；
②小东发现折叠后所形成的角，只要知道其中一个角的度数，就能求出其它任意一角的度数，若 ，求 的大小．
23．（2022七下·朝阳期末）
（1）【感知】如图①，在△ABC中，，．则 °．
（2）【操作】如图②，点D、E分别在图①中的△ABC的边AC、AB上，且均不与△ABC的顶点重合，连接DE，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点始终落在四边形BCDE的外部，交边AB于点F，且点与点C在直线AB的异侧．则 °．
（3）求的度数．
（4）当的某条边与BC平行时，直接写出的度数．
24．（2023七下·东莞期末）同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．
（1）王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．
①如图1，在纸上画出一条直线BC，在BC外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线BC上（如图2），记折痕DE与BC的交点为A，将纸片展开铺平．则 ▲ ．
②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线DP上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说，PF就是BC的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明；
（2）李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图5，连接DF交AB于点G，连接EF，并在EF上找一点H，使得，试判断线段HP与DF的位置关系，并说明理由．
25．（2023七下·南城期中）在数学综合与实践课上，老师给出了下列问题：
（1）探究结论：如图1，，，则 ▲ ：
如图2，，，则 ▲
结论：两个角的两边分别平行，则这两个角 ▲ 或 ▲
（2）应用结论：①若两个角的两边分别平行，其中一个角是另一个角的2倍少60°，则角的度数为 ▲ ；
②在图3中，五边形，点G、F分别在、上，将∠A沿翻折得到，，，，，求的度数．
（3）拓展应用：在图4中，，，，，平分，G点是线段上的一个动点，若中有两个相等的角，，，直接写出的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵长方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，
∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝119°，
由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，
∴∠DEM+∠AFM＝2×119°＝238°，
∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣238°＝122°，
在△EFM中，
∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣122°＝58°，
故答案为：B.
【分析】利用矩形的性质可证得AD∥BC，由此可得到∠DEG＝α，∠AFH＝β，可推出α+β＝119°；利用折叠的性质可证得∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，即可求出∠DEM+∠AFM的值；然后求出∠FEM+∠EFM的值.
2．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵点落在边处，
∴折痕h是对称轴，
∴是的高，
故选：A.
【分析】根据折叠的对称性质求出判断折痕是三角形的高.
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：因为DE//BC，，
所以，
由折叠得出：，
所以，
故选：B.
【分析】利用平行线的性质可得，再利用折叠的性质及角的运算求出即可.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵AG∥BE，AD∥BC，
∴∠1=∠5，∠5=∠4
∴∠4=∠1=42°，
∵CD∥BE，
∴∠4=∠3=42°，
由折叠性质得：∠6=∠3=42°，
又∠6+∠3+∠2=180°，
∴∠2=96°．
故答案为：C．
【分析】由二直线平行，同位角相等，得∠1=∠5，∠5=∠4，则∠4=∠1=42°，再由二直线平行，同位角相等，得∠4=∠3=42°，由折叠性质得：∠6=∠3=42°，最后根据平角定义可算出∠2.
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：A、 当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，所以；
B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90 ，所以；
C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行；
D、∠1+∠2=180°时，同旁内角互补，两直线平行，所以．
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定定理，逐一分析判定．
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得，，，
∵，，
，
∵，，
，，
，
，
故答案为：D．
【分析】先根据折叠的性质得到，，进而根据邻补角为180°可得，再根据平行线的性质得到，进而求出即可.
7．【答案】B
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝10°．
由翻折的性质可知：图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝170°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝160°，
∴图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝150°．
故答案为：B．
【分析】由矩形的性质可知AD∥BC，由此得出∠BFE＝∠DEF＝10°．再根据翻折的性质可知枚翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE的度数。
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
9．【答案】A
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵AD//BC
∴∠DEF=∠EFB．
由折叠可知∠GEF=∠DEF，∠GFG1=∠GFC2
∴∠EFB=∠GEF．
∠FGD1=2∠BFE，又
∴∠FGD1+∠GFC1=180°
∵∠BFC2+∠C2FC=180°．
∴∠FGD1=∠G2FC．
即∠C2FC=2∠BFE．
又∵3∠EFB=∠EFC2．
∵∠BFE+∠EFC2+∠C2FC=180°
∴ ∠BFE+3∠EFB+2∠BFE=180°
即6∠EFB=180°
∴∠EFB=30°
故答案为：A
【分析】由折叠可知∠GEF=∠DEF，∠GFG1=∠GFC2，得∠EFB=∠GEF，由，得∠FGD1+∠GFC1=180°，由∠BFC2+∠C2FC=180°，得∠FGD1=∠G2FC．即∠C2FC=2∠BFE．由3∠EFB=∠EFC2，∠BFE+∠EFC2+∠C2FC=180°，得∠BFE+3∠EFB+2∠BFE=180°，即6∠EFB=180°，∠EFB=30°。
10．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵如图，
由图乙、丙可得PE⊥CD，AB⊥PE，
则∠PEC=∠PED=90°，∠APE=∠BPE=90°；
∴∠PEC=∠PED=∠APE=∠BPE=90°，
∴AB∥CD，
依据结论③或④均可证明AB∥CD；
故答案为：C.
【分析】先根据图乙、丙可得PE⊥CD，AB⊥PE，即可推得∠PEC=∠PED=∠APE=∠BPE=90°；根据同位角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行均可以证明AB∥CD，即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：
∵ 四边形BEFC沿折叠得到四边形B'EFC'，
∴∠BEF=∠MEF=20°，EB'//FC'.
∴∠FMB'=∠CFC'.
∵AB//CD，
∴∠FMB'=∠BEM=2∠BEF=40°，
∴∠CFC'=40°.
∴∠MFC'=180°－∠CFC'=140°.
故答案为：140°
【分析】根据折叠和平行线的性质可得∠CFC'=∠FMB'=∠BEM=2∠BEF=40°，于是可利用平角的定义计算∠MFC'.
12．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵△ADE沿DE折叠得△FDE，
∴∠F=∠A，∠ADE=∠FDE，
∵EF∥AB，
∴∠F=∠BDF，
∴∠A=∠BDF，
∵∠C=90°，∠B=62°
∴∠A=90°-∠B=28°，
∴∠BDF=28°，
∴∠ADF=180°-∠BDF=152°，
∴∠ADE=∠ADF=76°，
∴∠1=180°-∠A-∠ADE=180°-28°-76°=76°．
故答案为：76°．
【分析】由折叠的性质得到∠F=∠A，∠ADE=∠FDE，然后由平行线的性质得到∠A=∠BDF，由∠C=90°，∠B=62°，可得∠BDF=28°，即可求出∠ADE=∠ADF=76°，最后由三角形内角和定理求出∠1的度数即可解答．
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，由折叠的性质，可得，
∵纸带对边互相平行
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查平行线的性质．由折叠的性质可得：，根据两直线平行，同位角相等可求出，再根据两直线平行，同旁内角互补可求出，最后再根据平行线性质可求出．
14．【答案】①②④
【知识点】平行线的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】
①如图①，展开后测得∠1＝∠2；根据内错角相等，可得a∥b；符合题意；
②如图②，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4；则∠1+∠3=180°，根据同旁内角互补可得a∥b；符合题意；
③如图③，测得∠1＝∠2；不能判断a∥b；不合题意；
④如图④，展开后测得∠1＋∠2＝180°．根据同旁内角互补可得a∥b；符合题意；
故答案为①②④
【分析】本题考查平行线的判定，熟悉平行线的判定，可对选项做出判断，得出结论。
15．【答案】72
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠DEF=72°，
∴∠EFB=∠DEF=72°，∠EFC=180°-∠DEF=108°，
由折叠得∠EFH=∠EFC=108°，∠H=∠C=90°，∠HMF=∠NMF，
∴∠HFM=∠EFH-∠EFB=36°，
∴∠NMF=∠HMF=180°-∠H-∠HFM=54°，
∴∠GMN=180°-∠NMF-∠HMF=72°.
故答案为：72.
【分析】由二直线平行，内错角相等得∠EFB=∠DEF=72°，由二直线平行，同旁内角互补，得∠EFC=180°-∠DEF=108°，由折叠性质得∠EFH=∠EFC=108°，∠H=∠C=90°，∠HMF=∠NMF，然后根据∠HFM=∠EFH-∠EFB算出∠HFM，再由三角形的内角和算出∠HMF，最后由平角定义算出∠GMN的度数.
16．【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】解：利用两边之和大于第三边可知：当E落在AB上时，AE距离最大，如图：
∵ 且 ，
∴ ，
∵ 折叠得到 ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
故答案为： .
【分析】利用两边之和大于第三边可知：当E落在AB上时，AE距离最大，根据平行线的性质可得∠CFA=∠DCF=62°，根据折叠的性质可得∠EFP=∠CFP，由邻补角的性质可得∠EFP+∠CFP=118°，据此计算.
17．【答案】（1）解：①当点落在上时，
∵折叠，∴，
∴，
．
②当点落在上时，，
，
，
，
，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
（2）解：①当点在平行线，之间时．
设，由折叠可知，
，
，
，
，
．
②当点在下方时，
设，由折叠可知，
，
，
，
解得，
．
综上所述，的度数为或．
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）分两种情况讨论，①当点Q落在AB上时，②当点Q落在CD上时，∠PQF=∠PEF=48°，利用平行线的性质，三角形的内角和定理计算即可．
（2）分两种情形况讨论，①当点Q在平行线AB，CD之间时．②当点Q在CD下方时，根据折叠的性质构造方程即可求解．
18．【答案】（1）40
（2）证明：由折叠可得∠FDE=∠ADE=∠ADF.
∵DG为∠BDF的平分线，
∴∠BDG=∠FDG=∠BDF，
∴∠FDE+∠FDG=(∠ADF+∠BDF)=90°，
∴∠EDG=90°.
∵∠C=90°，
∴∠CED+∠CGD=360°-∠C-∠EDG=180°.
∵∠BGD+∠CGD=180°，
∴∠BGD=∠CED.
∵∠CED=∠BDG=∠FDG，
∴∠BGD=∠FDG，
∴BC∥DF.
（3）解：如图：
当DF∥BC时，
∵∠C=90°，∠A=α，
∴∠B=90°-α，
由（2）知∠BDG=∠BGD==.
如图：
，
当DE∥BC时，有∠AED=∠C=90°，∠BGD=∠EDG
由（2）知∠EDG=90°，
∴∠BGD=90°.
如图：
当EF∥BC时，有∠AEF=∠C=90°，
∴∠AED=∠DEF=135°，
∴∠CED=180°-∠AED=45°.
由（2）知∠BGD=∠CED=45°.
综上可得：∠BGD的度数为或90°或45°.
【知识点】平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）由折叠可得∠FED=∠AED=180°-∠CED=180°-70°=110°，
∴∠CEF=∠FED-∠CED=110°-70°=40°.
故答案为：40.
【分析】（1）由折叠可得∠FED=∠AED=180°-∠CED=110°，然后根据∠CEF=∠FED-∠CED进行计算；
（2）由折叠可得∠FDE=∠ADE=∠ADF，根据角平分线的概念可得∠FDG=∠BDF，则∠FDE+∠FDG=(∠ADF+∠BDF)=90°，由四边形内角和为360°可得∠CED+∠CGD=180°，结合邻补角的性质可得∠BGD=∠CED，进而推出∠BGD=∠FDG，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（3）当DF∥BC时，由内角和定理可得∠B=90°-α，由（2）知∠BDG=∠BGD，据此求解；当DE∥BC时，有∠AED=∠C=90°，∠BGD=∠EDG，由（2）知∠EDG=90°，据此解答；当EF∥BC时，有∠AEF=∠C=90°，则∠CED=180°-∠AED=45°，由（2）知∠BGD=∠CED，据此解答.
19．【答案】（1）解；，
，．
（2）解；，，
，
．
（3）解；结论：不变．
，，，
．
即．
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用折叠的性质可求出∠ABC的度数，由此可求出∠A′BD的度数.
（2）利用折叠的性质可证得∠2=∠DBE，由此可求出∠2的度数，利用∠CBE=∠1+∠2，代入计算求出∠CBE的度数.
（3）利用折叠的性质可证得，，再根据，可得到∠CBE的度数，即可作出判断.
20．【答案】（1）解：由折叠可知： ∠DA E=∠A=35° ，
，
；
（2）解：由折叠可知：，，
，，
，
，，
，
，
；
（3）；
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（3）如图，由折叠可知：，，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
如图，由折叠可知：，，
，
，
，
，
，
，
即．
故答案为：．
【分析】⑴、由折叠可知∠DA E=∠A，然后利用三角形内角和求∠ADA ，再利用邻补角数量关系求解即可；或利用三角形外角知识也可。
⑵、由折叠可知△ADE和△A DE对应角相等，由邻补角及已知可求∠AEA ，进而求∠AED，然后利用三角形内角和再求∠ADE，进而求出∠ADA ，再一次利用邻补角求∠BDA 的度数。
⑶、①由图以及折叠可知∠CEA 与∠CEA的和是∠AED的2倍，可求∠AED的度数，再利用三角形内角和可求∠ADE的度数，进而求∠BDA 的度数。
②、因为图3是把角A折叠到边AC下方，图4是将角A折叠到边AB上方，位置不同，但分析方法相同，故可以找到三角之间的数量关系。
21．【答案】（1）解：①由题意可知，点、、、共线，
，
由折叠的性质可知，，
，即，
故答案为：90；
②王玲的说法正确，证明如下：
由①得：，
同理可得，，
，
；
（2）解：如图，过点作，
，
，
，
，
【知识点】平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）①根据折叠前后两图形的对应角相等即可求解；
②根据折叠前后两图形的对应角相等可得，，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明；
（2）过点作，根据两直线平行，内错角相等可得，根据平行于同一直线的两直线平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，即可求解.
22．【答案】（1）45°
（2）解：①∵，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴；
②，，
∴，
由①知，
由折叠可知，
又∵，
即，
∴，
又∵，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）根据折叠的性质可得∠B'AF=∠BAB'=45°，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠B'AF=45°；故答案为：45°；
【分析】（1）根据折叠的性质得可得∠B'AF=∠BAB'=45°，进而根据二直线平行，内错角相等得∠AFB=∠B'AF=45°；
（2）①根据平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；可得∠A'EB'=∠EB'F ，∠B'FC=∠EB'F ，由等量代换得∠A'EB'=∠B'FC；
②利用角的和差关系可得∠EB'F=30°，根据折叠的性质可求得∠BFE=75°，再由平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即可得出答案．
23．【答案】（1）50
（2）220【探究】如图③，设图②中的，．
（3）解：∵
∴①，
由折叠，得，
∴在中，②
∴①-②得：；
（4）解：如图，当时，
则，
∵
∴
由折叠性质得；
如图，当时，
则，
；
如图，当时，不符合题意，
综上所述，的大小为45°或25°．
【知识点】角的运算；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）感知：∵在△ABC中，，，
∴
（2）操作：∵在四边形中，，，
∴
【分析】（1）根据 在△ABC中，， 计算求解即可；
（2）根据在四边形中，，，计算求解即可；
（3）先求出 ，再利用三角形的内角和等于180°计算求解即可；
（4）分类讨论，利用平行线的性质计算求解即可。
24．【答案】（1）解：①90；
②证明：与重合，
，
又，
，
由①知，
，
；
（2）解：，理由如下：
由②知，，
又，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）①由折叠可得∠PAC=∠PAB.
∵∠PAC+∠PAB=180°，
∴2∠PAB=180°，
∴∠PAB=90°.
故答案为：90.
【分析】（1）①由折叠可得∠PAC=∠PAB，根据平角的概念可得∠PAC+∠PAB=180°，据此求解；
②由题意可得∠EPF=∠E′PF，根据平角的概念可得∠EPF+∠E′PF=180°，则∠EPF=90°，由①知∠PAB=90°，则∠EPF=∠PAB，然后根据平行线的判定定理进行解答；
（2）由②知PF∥BC，根据平行线的性质可得∠PFD=∠AGD，由已知条件可知∠HPF=∠AGD，则∠HPF=∠PFD，然后根据平行线的判定定理进行解答.
25．【答案】（1）解：如图1，∵，，
∴，，
则；
如图2，∵，，
∴，，
则，
结论：两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补
（2）解：①∵一个角是另一个角的2倍少60°，
∴另一个角为，
由（1）可得：这两个角相等或互补；
当这两个角相等时，则，解得；
当这两个角互补时，则，
解得：；
则角的度数为60°或．
②∵ ，，
∴，
∵，
由（1）的结论可得：
，
∵，
∴．
（3）解：过B作，
∵，
∴，
∵
同理可得：，
∴，
∵，
同理可得：，
∵平分，
∴，
∵
∴ ，
∵中有两个相等的角，
当时，则，
∴；
当时，则，
当时，．
【知识点】角的运算；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定方法和性质求解即可；
（2）①分类讨论，再利用角的运算求解即可；
②利用平行线的判定方法和性质求解即可；
（3）利用平行线的性质，角平分线的定义及角的运算求解即可。
1 / 12024年北师大版数学七（下）重难点培优训练9 翻折问题
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2021七下·洪山期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（ ）
A．57° B．58° C．59° D．60°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵长方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，
∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝119°，
由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，
∴∠DEM+∠AFM＝2×119°＝238°，
∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣238°＝122°，
在△EFM中，
∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣122°＝58°，
故答案为：B.
【分析】利用矩形的性质可证得AD∥BC，由此可得到∠DEG＝α，∠AFH＝β，可推出α+β＝119°；利用折叠的性质可证得∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，即可求出∠DEM+∠AFM的值；然后求出∠FEM+∠EFM的值.
2．（2023七下·正定期末）如图，将折叠，使点落在边处，展开后得到折痕，则是的（ ）
A．高线 B．角平分线 C．中线 D．中位线
【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵点落在边处，
∴折痕h是对称轴，
∴是的高，
故选：A.
【分析】根据折叠的对称性质求出判断折痕是三角形的高.
3．（2024七下·安州月考）如图，将沿直线折叠，使点A落在边上的点F处，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：因为DE//BC，，
所以，
由折叠得出：，
所以，
故选：B.
【分析】利用平行线的性质可得，再利用折叠的性质及角的运算求出即可.
4．（2024七下·阳东期中） 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，，若CD∥BE，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵AG∥BE，AD∥BC，
∴∠1=∠5，∠5=∠4
∴∠4=∠1=42°，
∵CD∥BE，
∴∠4=∠3=42°，
由折叠性质得：∠6=∠3=42°，
又∠6+∠3+∠2=180°，
∴∠2=96°．
故答案为：C．
【分析】由二直线平行，同位角相等，得∠1=∠5，∠5=∠4，则∠4=∠1=42°，再由二直线平行，同位角相等，得∠4=∠3=42°，由折叠性质得：∠6=∠3=42°，最后根据平角定义可算出∠2.
5．（2024七下·吉州期中）下列四种沿进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边，互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得
B．如图2，展开后测得且
C．如图3，展开后测得
D．如图4，展开后测得
【答案】C
【知识点】平行线的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：A、 当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，所以；
B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90 ，所以；
C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行；
D、∠1+∠2=180°时，同旁内角互补，两直线平行，所以．
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定定理，逐一分析判定．
6．（2024七下·湘桥期中） 如图，点E、F分别为长方形纸片ABCD的边AB，CD上的点，将长方形纸片沿EF翻折，点C，B分别落在点C，B处．若∠DFC=a，则∠FEA-∠AEB的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得，，，
∵，，
，
∵，，
，，
，
，
故答案为：D．
【分析】先根据折叠的性质得到，，进而根据邻补角为180°可得，再根据平行线的性质得到，进而求出即可.
7．（2021七下·蒙阴期末）如图1是长方形纸带，∠DEF＝10°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是多少（ ）
A．160° B．150° C．120° D．110°
【答案】B
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝10°．
由翻折的性质可知：图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝170°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝160°，
∴图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝150°．
故答案为：B．
【分析】由矩形的性质可知AD∥BC，由此得出∠BFE＝∠DEF＝10°．再根据翻折的性质可知枚翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE的度数。
8．（2024七下·杭州期中）已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P；如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
9．（2021七下·孝义期中）折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，折纸过程中既要动脑又要动手．如图，将一长方形纸条首先沿着 进行第一次折叠，使得 ， 两点落在 、 的位置，再将纸条沿着 折叠（ 与 在同一直线上），使得 、 分别落在 、 的位置．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵AD//BC
∴∠DEF=∠EFB．
由折叠可知∠GEF=∠DEF，∠GFG1=∠GFC2
∴∠EFB=∠GEF．
∠FGD1=2∠BFE，又
∴∠FGD1+∠GFC1=180°
∵∠BFC2+∠C2FC=180°．
∴∠FGD1=∠G2FC．
即∠C2FC=2∠BFE．
又∵3∠EFB=∠EFC2．
∵∠BFE+∠EFC2+∠C2FC=180°
∴ ∠BFE+3∠EFB+2∠BFE=180°
即6∠EFB=180°
∴∠EFB=30°
故答案为：A
【分析】由折叠可知∠GEF=∠DEF，∠GFG1=∠GFC2，得∠EFB=∠GEF，由，得∠FGD1+∠GFC1=180°，由∠BFC2+∠C2FC=180°，得∠FGD1=∠G2FC．即∠C2FC=2∠BFE．由3∠EFB=∠EFC2，∠BFE+∠EFC2+∠C2FC=180°，得∠BFE+3∠EFB+2∠BFE=180°，即6∠EFB=180°，∠EFB=30°。
10．学行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的(如图所示)．
从图中可知，小敏画平行线的依据是（ ）
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．
A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或④
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵如图，
由图乙、丙可得PE⊥CD，AB⊥PE，
则∠PEC=∠PED=90°，∠APE=∠BPE=90°；
∴∠PEC=∠PED=∠APE=∠BPE=90°，
∴AB∥CD，
依据结论③或④均可证明AB∥CD；
故答案为：C.
【分析】先根据图乙、丙可得PE⊥CD，AB⊥PE，即可推得∠PEC=∠PED=∠APE=∠BPE=90°；根据同位角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行均可以证明AB∥CD，即可得出答案.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024七下·香洲期中） 如图，图①是四边形纸条，其中分别为上的两个点，将纸条沿折叠得到图②，若在图②中，，则为 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：
∵ 四边形BEFC沿折叠得到四边形B'EFC'，
∴∠BEF=∠MEF=20°，EB'//FC'.
∴∠FMB'=∠CFC'.
∵AB//CD，
∴∠FMB'=∠BEM=2∠BEF=40°，
∴∠CFC'=40°.
∴∠MFC'=180°－∠CFC'=140°.
故答案为：140°
【分析】根据折叠和平行线的性质可得∠CFC'=∠FMB'=∠BEM=2∠BEF=40°，于是可利用平角的定义计算∠MFC'.
12．（2024七下·光明月考）如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 .
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵△ADE沿DE折叠得△FDE，
∴∠F=∠A，∠ADE=∠FDE，
∵EF∥AB，
∴∠F=∠BDF，
∴∠A=∠BDF，
∵∠C=90°，∠B=62°
∴∠A=90°-∠B=28°，
∴∠BDF=28°，
∴∠ADF=180°-∠BDF=152°，
∴∠ADE=∠ADF=76°，
∴∠1=180°-∠A-∠ADE=180°-28°-76°=76°．
故答案为：76°．
【分析】由折叠的性质得到∠F=∠A，∠ADE=∠FDE，然后由平行线的性质得到∠A=∠BDF，由∠C=90°，∠B=62°，可得∠BDF=28°，即可求出∠ADE=∠ADF=76°，最后由三角形内角和定理求出∠1的度数即可解答．
13．（2024七下·义乌月考）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，由折叠的性质，可得，
∵纸带对边互相平行
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查平行线的性质．由折叠的性质可得：，根据两直线平行，同位角相等可求出，再根据两直线平行，同旁内角互补可求出，最后再根据平行线性质可求出．
14．（2024七下·吉林月考）如图所示的四种沿AB折叠纸带的方法：①如图①，展开后测得∠1＝∠2；②如图②，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4；③如图③，测得∠1＝∠2；④如图④，展开后测得∠1＋∠2＝180°．其中能判断纸带两条边a，b互相平行的是 ．（填序号）
【答案】①②④
【知识点】平行线的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】
①如图①，展开后测得∠1＝∠2；根据内错角相等，可得a∥b；符合题意；
②如图②，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4；则∠1+∠3=180°，根据同旁内角互补可得a∥b；符合题意；
③如图③，测得∠1＝∠2；不能判断a∥b；不合题意；
④如图④，展开后测得∠1＋∠2＝180°．根据同旁内角互补可得a∥b；符合题意；
故答案为①②④
【分析】本题考查平行线的判定，熟悉平行线的判定，可对选项做出判断，得出结论。
15．如图1，将长方形纸带ABCD 沿EF 折叠后，点C，D分别落在点H，G 的位置，再沿 BC 折叠成图2.若∠DEF=72°，则∠GMN= °.
【答案】72
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠DEF=72°，
∴∠EFB=∠DEF=72°，∠EFC=180°-∠DEF=108°，
由折叠得∠EFH=∠EFC=108°，∠H=∠C=90°，∠HMF=∠NMF，
∴∠HFM=∠EFH-∠EFB=36°，
∴∠NMF=∠HMF=180°-∠H-∠HFM=54°，
∴∠GMN=180°-∠NMF-∠HMF=72°.
故答案为：72.
【分析】由二直线平行，内错角相等得∠EFB=∠DEF=72°，由二直线平行，同旁内角互补，得∠EFC=180°-∠DEF=108°，由折叠性质得∠EFH=∠EFC=108°，∠H=∠C=90°，∠HMF=∠NMF，然后根据∠HFM=∠EFH-∠EFB算出∠HFM，再由三角形的内角和算出∠HMF，最后由平角定义算出∠GMN的度数.
16．（2022七下·西安期中）如图，射线AB与射线CD平行，点F为射线AB上的一定点，连接CF，点P是射线CD上的一个动点（不包括端点C），将 沿PF折叠，使点C落在点E处.若 ，当点E到点A的距离最大时， .
【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】解：利用两边之和大于第三边可知：当E落在AB上时，AE距离最大，如图：
∵ 且 ，
∴ ，
∵ 折叠得到 ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
故答案为： .
【分析】利用两边之和大于第三边可知：当E落在AB上时，AE距离最大，根据平行线的性质可得∠CFA=∠DCF=62°，根据折叠的性质可得∠EFP=∠CFP，由邻补角的性质可得∠EFP+∠CFP=118°，据此计算.
三、解答题（共4题，共31分）
17．（2023七下·宣化期末）如图，直线AB∥CD，直线l与直线AB、CD相交于点E、F，点P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．
（1）若∠PEF＝48°，点Q恰好落在其中的一条平行线上，求则∠EFP的度数；
（2）若∠PEF＝75°，2∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度数．
【答案】（1）解：①当点落在上时，
∵折叠，∴，
∴，
．
②当点落在上时，，
，
，
，
，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
（2）解：①当点在平行线，之间时．
设，由折叠可知，
，
，
，
，
．
②当点在下方时，
设，由折叠可知，
，
，
，
解得，
．
综上所述，的度数为或．
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）分两种情况讨论，①当点Q落在AB上时，②当点Q落在CD上时，∠PQF=∠PEF=48°，利用平行线的性质，三角形的内角和定理计算即可．
（2）分两种情形况讨论，①当点Q在平行线AB，CD之间时．②当点Q在CD下方时，根据折叠的性质构造方程即可求解．
18．（2023七下·南京期末）在直角三角形ABC中，，点D，E分别在AB，AC上，将沿DE翻折，得到.
（1）如图①，若，则 ；
（2）如图②，的平分线交线段BC于点G.若，求证.
（3）已知，的平分线交直线BC于点G.当的其中一条边与BC平行时，直接写出的度数（可用含a的式表示）.
【答案】（1）40
（2）证明：由折叠可得∠FDE=∠ADE=∠ADF.
∵DG为∠BDF的平分线，
∴∠BDG=∠FDG=∠BDF，
∴∠FDE+∠FDG=(∠ADF+∠BDF)=90°，
∴∠EDG=90°.
∵∠C=90°，
∴∠CED+∠CGD=360°-∠C-∠EDG=180°.
∵∠BGD+∠CGD=180°，
∴∠BGD=∠CED.
∵∠CED=∠BDG=∠FDG，
∴∠BGD=∠FDG，
∴BC∥DF.
（3）解：如图：
当DF∥BC时，
∵∠C=90°，∠A=α，
∴∠B=90°-α，
由（2）知∠BDG=∠BGD==.
如图：
，
当DE∥BC时，有∠AED=∠C=90°，∠BGD=∠EDG
由（2）知∠EDG=90°，
∴∠BGD=90°.
如图：
当EF∥BC时，有∠AEF=∠C=90°，
∴∠AED=∠DEF=135°，
∴∠CED=180°-∠AED=45°.
由（2）知∠BGD=∠CED=45°.
综上可得：∠BGD的度数为或90°或45°.
【知识点】平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）由折叠可得∠FED=∠AED=180°-∠CED=180°-70°=110°，
∴∠CEF=∠FED-∠CED=110°-70°=40°.
故答案为：40.
【分析】（1）由折叠可得∠FED=∠AED=180°-∠CED=110°，然后根据∠CEF=∠FED-∠CED进行计算；
（2）由折叠可得∠FDE=∠ADE=∠ADF，根据角平分线的概念可得∠FDG=∠BDF，则∠FDE+∠FDG=(∠ADF+∠BDF)=90°，由四边形内角和为360°可得∠CED+∠CGD=180°，结合邻补角的性质可得∠BGD=∠CED，进而推出∠BGD=∠FDG，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（3）当DF∥BC时，由内角和定理可得∠B=90°-α，由（2）知∠BDG=∠BGD，据此求解；当DE∥BC时，有∠AED=∠C=90°，∠BGD=∠EDG，由（2）知∠EDG=90°，据此解答；当EF∥BC时，有∠AEF=∠C=90°，则∠CED=180°-∠AED=45°，由（2）知∠BGD=∠CED，据此解答.
19．（2023七下·普宁期末）如图，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点落在处，为折痕
（1）图中，若，求的度数；
（2）如果又将活页的另一角斜折过去，使边与重合，折痕为，如图所示，，求以及的度数；
（3）如果在图中改变的大小，则的位置也随之改变，那么问题中的大小是否改变？请说明理由．
【答案】（1）解；，
，．
（2）解；，，
，
．
（3）解；结论：不变．
，，，
．
即．
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用折叠的性质可求出∠ABC的度数，由此可求出∠A′BD的度数.
（2）利用折叠的性质可证得∠2=∠DBE，由此可求出∠2的度数，利用∠CBE=∠1+∠2，代入计算求出∠CBE的度数.
（3）利用折叠的性质可证得，，再根据，可得到∠CBE的度数，即可作出判断.
20．（2023七下·朝阳期末）如图，是一张三角形的纸片，点、分别是边、上的点将沿折叠，点落在点的位置．
（1）如图，当点落在边上时，若，求的大小．
（2）如图，当点落在内部时，若，，求的大小．
（3）当点落在外部时，
如图，若，，则
如图，、和的数量关系为 ．
【答案】（1）解：由折叠可知： ∠DA E=∠A=35° ，
，
；
（2）解：由折叠可知：，，
，，
，
，，
，
，
；
（3）；
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（3）如图，由折叠可知：，，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
如图，由折叠可知：，，
，
，
，
，
，
，
即．
故答案为：．
【分析】⑴、由折叠可知∠DA E=∠A，然后利用三角形内角和求∠ADA ，再利用邻补角数量关系求解即可；或利用三角形外角知识也可。
⑵、由折叠可知△ADE和△A DE对应角相等，由邻补角及已知可求∠AEA ，进而求∠AED，然后利用三角形内角和再求∠ADE，进而求出∠ADA ，再一次利用邻补角求∠BDA 的度数。
⑶、①由图以及折叠可知∠CEA 与∠CEA的和是∠AED的2倍，可求∠AED的度数，再利用三角形内角和可求∠ADE的度数，进而求∠BDA 的度数。
②、因为图3是把角A折叠到边AC下方，图4是将角A折叠到边AB上方，位置不同，但分析方法相同，故可以找到三角之间的数量关系。
四、实践探究题（共5题，共51分）
21．（2024七下·江南月考） 综合与实践：折纸中的数学
【问题提出】在前面的学习中我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方式找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？
（1）【知识初探】王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．
①如图1，在纸上画出一条直线，在外取一点．过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平．则 ▲ ；
②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说，就是的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明；
（2）【拓展延伸】李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图5，在线段上任取一点，连接，请你猜想与这三个角之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：①由题意可知，点、、、共线，
，
由折叠的性质可知，，
，即，
故答案为：90；
②王玲的说法正确，证明如下：
由①得：，
同理可得，，
，
；
（2）解：如图，过点作，
，
，
，
，
【知识点】平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）①根据折叠前后两图形的对应角相等即可求解；
②根据折叠前后两图形的对应角相等可得，，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明；
（2）过点作，根据两直线平行，内错角相等可得，根据平行于同一直线的两直线平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，即可求解.
22．（2023七下·巩义期末）综合与实践
问题背景：
数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边 ， ， ，点 为线段AD上一动点 ，将纸片折叠，使点B和点 重合，产生折痕EF，点E是折痕与边AD的交点，点F是折痕与边BC的交点．
动手操作：
（1）如图1，若点E与点A重合时，则 的度数为 ．
实践探究：
（2）如图2，移动点 ，其余条件不变．
①小静发现图中无论点 如何移动， 始终成立，请说明理由；
②小东发现折叠后所形成的角，只要知道其中一个角的度数，就能求出其它任意一角的度数，若 ，求 的大小．
【答案】（1）45°
（2）解：①∵，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴；
②，，
∴，
由①知，
由折叠可知，
又∵，
即，
∴，
又∵，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）根据折叠的性质可得∠B'AF=∠BAB'=45°，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠B'AF=45°；故答案为：45°；
【分析】（1）根据折叠的性质得可得∠B'AF=∠BAB'=45°，进而根据二直线平行，内错角相等得∠AFB=∠B'AF=45°；
（2）①根据平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；可得∠A'EB'=∠EB'F ，∠B'FC=∠EB'F ，由等量代换得∠A'EB'=∠B'FC；
②利用角的和差关系可得∠EB'F=30°，根据折叠的性质可求得∠BFE=75°，再由平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即可得出答案．
23．（2022七下·朝阳期末）
（1）【感知】如图①，在△ABC中，，．则 °．
（2）【操作】如图②，点D、E分别在图①中的△ABC的边AC、AB上，且均不与△ABC的顶点重合，连接DE，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点始终落在四边形BCDE的外部，交边AB于点F，且点与点C在直线AB的异侧．则 °．
（3）求的度数．
（4）当的某条边与BC平行时，直接写出的度数．
【答案】（1）50
（2）220【探究】如图③，设图②中的，．
（3）解：∵
∴①，
由折叠，得，
∴在中，②
∴①-②得：；
（4）解：如图，当时，
则，
∵
∴
由折叠性质得；
如图，当时，
则，
；
如图，当时，不符合题意，
综上所述，的大小为45°或25°．
【知识点】角的运算；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）感知：∵在△ABC中，，，
∴
（2）操作：∵在四边形中，，，
∴
【分析】（1）根据 在△ABC中，， 计算求解即可；
（2）根据在四边形中，，，计算求解即可；
（3）先求出 ，再利用三角形的内角和等于180°计算求解即可；
（4）分类讨论，利用平行线的性质计算求解即可。
24．（2023七下·东莞期末）同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．
（1）王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．
①如图1，在纸上画出一条直线BC，在BC外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线BC上（如图2），记折痕DE与BC的交点为A，将纸片展开铺平．则 ▲ ．
②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线DP上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说，PF就是BC的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明；
（2）李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图5，连接DF交AB于点G，连接EF，并在EF上找一点H，使得，试判断线段HP与DF的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：①90；
②证明：与重合，
，
又，
，
由①知，
，
；
（2）解：，理由如下：
由②知，，
又，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）①由折叠可得∠PAC=∠PAB.
∵∠PAC+∠PAB=180°，
∴2∠PAB=180°，
∴∠PAB=90°.
故答案为：90.
【分析】（1）①由折叠可得∠PAC=∠PAB，根据平角的概念可得∠PAC+∠PAB=180°，据此求解；
②由题意可得∠EPF=∠E′PF，根据平角的概念可得∠EPF+∠E′PF=180°，则∠EPF=90°，由①知∠PAB=90°，则∠EPF=∠PAB，然后根据平行线的判定定理进行解答；
（2）由②知PF∥BC，根据平行线的性质可得∠PFD=∠AGD，由已知条件可知∠HPF=∠AGD，则∠HPF=∠PFD，然后根据平行线的判定定理进行解答.
25．（2023七下·南城期中）在数学综合与实践课上，老师给出了下列问题：
（1）探究结论：如图1，，，则 ▲ ：
如图2，，，则 ▲
结论：两个角的两边分别平行，则这两个角 ▲ 或 ▲
（2）应用结论：①若两个角的两边分别平行，其中一个角是另一个角的2倍少60°，则角的度数为 ▲ ；
②在图3中，五边形，点G、F分别在、上，将∠A沿翻折得到，，，，，求的度数．
（3）拓展应用：在图4中，，，，，平分，G点是线段上的一个动点，若中有两个相等的角，，，直接写出的度数．
【答案】（1）解：如图1，∵，，
∴，，
则；
如图2，∵，，
∴，，
则，
结论：两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补
（2）解：①∵一个角是另一个角的2倍少60°，
∴另一个角为，
由（1）可得：这两个角相等或互补；
当这两个角相等时，则，解得；
当这两个角互补时，则，
解得：；
则角的度数为60°或．
②∵ ，，
∴，
∵，
由（1）的结论可得：
，
∵，
∴．
（3）解：过B作，
∵，
∴，
∵
同理可得：，
∴，
∵，
同理可得：，
∵平分，
∴，
∵
∴ ，
∵中有两个相等的角，
当时，则，
∴；
当时，则，
当时，．
【知识点】角的运算；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定方法和性质求解即可；
（2）①分类讨论，再利用角的运算求解即可；
②利用平行线的判定方法和性质求解即可；
（3）利用平行线的性质，角平分线的定义及角的运算求解即可。
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