2024年北师大版数学七（下）重难点培优训练10 角平分线与线段垂直平分线
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023七下·嘉定期末）如图，用直尺和圆规作出的角平分线，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图过程知：OC=OD，CE=DE，又OE=OE，所以△OCE≌△ODE（SSS）。
故答案为：A.
【分析】根据作图过程知道，满足了两个三角形的三边对应相等，即可得出答案。
2．（2022七下·新城期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若平分，则图中与全等的三角形有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE是BC的垂直平分线，∠A=90°，
∴∠BED=∠A=90°，
∴AD=ED，
在Rt△ABD与Rt△EBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，BD=CD，
在△EBD与△ECD中，
，
∴△ECD≌△EBD（SSS），
∴Rt△ABD≌Rt△ECD，
故与△ABD全等的三角形有2个．
故答案为：C.
【分析】由垂直平分线的性质得∠BED=90°，则∠BED=∠A=90°，由角平分线的性质得AD=ED，证Rt△ABD≌Rt△EBD，由垂直平分线的性质得BE=CE，BD=CD，证ECD≌△EBD，则△ABD≌△ECD，据此解答.
3．（2019七下·中牟期末）如图， ， ，若 ， ，则点D到 的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作 ，垂足为E，则线段DE的长就是点D到AB距离，
∵
∴
∵ ，
∴CD=DE
又∵CD=BC-BD=10-6=4
∴DE=4
即点D到AB距离是4.
故答案为：A
【分析】过D作 ，根据角平分线性质定理可得 ，再根据 ，可求出CD的值，易得DE的大小，即点 到 的距离.
4．（2023七下·深圳期末）如图，射线是的角平分线，是射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解： 如图，作DM⊥OB于点M，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DM⊥OB，
∴DM=DP=4，
∴S△ODQ=×OQ×DM=×3×4=6．
故答案为：6 .
【分析】作DM⊥OB于点M，根据角平分线的性质得DM=DP=4，最后利用三角形面积公式计算得出答案
5．（2023七下·阜新期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，首先以顶点B为圆心，任意长度为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心，大于为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝4，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．2 B．8 C．4 D．无法确定
【答案】C
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过G作GH⊥AB于点H，如下图：
由尺规作图可知：BG为∠ABC的角平分线，
∵P为边AB上一动点，
∴GP的最小值为GH，
∵
∴
故答案为：C.
【分析】过G作GH⊥AB于点H，根据角平分线定理和垂线段最短即可解决本题.
6．（2020七下·枣庄期中）如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）
A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC中边AB的垂直平分线，
∴AD=BD，AB=2AE=2×3=6（cm），
∵△ADC的周长为9cm，
即AD+AC+CD=BD+CD+AC=BC+AC=9cm，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=6+9=15（cm）．
∴△ABC的周长为15cm
故答案选C．
【分析】由DE是△ABC中边AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得BD=AD，AB=2AE，又由△ADC的周长为9cm，即可得AC+BC=9cm，继而求得△ABC的周长．
7．（2023七下·泰山期末）如图，在中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于，两点，作直线，分别交线段，于点，．若，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图过程知，MN是AC的垂直平分线，∴AD=DC，AC=2AE=2×2=4，∵△ABD的周长为=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC∴AB+BC=△ABC的周长-AC=15-4=11，∴△ABD的周长为：11.
故答案为：A。
【分析】根据垂直平分线的性质得AD=DC，所以就可得出△ABD的周长就是AB+BC，即△ABC的周长-AC，由AE的长度2，得出AC的长度4，就可得出△ABD的周长。
8．（2023七下·锦州期末）已知：如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ AB的垂直平分线交BC于点N，AC的垂直平分线交BC于点E，
∴BD=AD，AE=CE，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠EAC，
∵∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-104°=76°，∠BAD+∠DAE+∠EAC=104°，
∴∠DAE=104°-76°=28°.
故答案为：D.
【分析】利用垂直平分线的性质可证得BD=AD，AE=CE，利用等边对等角可证得∠B=∠BAD，∠C=∠EAC，利用三角形的内角和定理可求出∠B+∠C，即可求出∠DAE的度数.
9．（2023七下·开江期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，连接，分别与，交于点D和E；②以点A为圆心，任意长为半径作弧，交于点G，交于点H；③分别以点G和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；④作射线，分别交，于点F，Q．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】 步骤① 作的是BC的垂直平分线， ②③④ 作的是∠BAC的加平分线
∵ DE垂直平分BC
∴ ∠QEF=90°
∵ ∠B=40°，∠C=60°
∴ ∠BAC=80°
∵ AQ平分∠BAC
∴ ∠QAC=40°
∵ ∠EFQ=∠AFC
∴ ∠QEF+∠EQF=∠C+∠QAC
∴ ∠EQF=10°
故答案为A
【分析】本题考查线段的垂直平分线和角平分线的作图步骤和性质及三角形内角和定理，是基础知识的考查，利用线段垂直平分线及角平分线的性质求解即可。
10．（2022七下·宝鸡期末）如图，在 中， ，点D是BC边的中点，连接AD，点P在AD上，连接BP，CP，过点D作 ， ，垂足分别为E、F，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 是等腰三角形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ①∵点D是BC边的中点， 即 ，正确 ；
② ∵AB=AC，BD=CD，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，∴ （HL），正确；
③无法确定DE和PE是否相等，错误；
④ 由②得PB=PC，则 是等腰三角形，正确.
综上所述，正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的三线合一定理得出AD是BC的垂直平分线，利用HL证明，然后再逐项分析判断，即可作答.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2019七下·普宁期末）如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点P，过P作PE⊥AB于E，交CD于F，EF＝10，则点P到AC的距离为 ．
【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PH⊥AC于H，
∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，PH⊥AC，
∴PE＝PH，
∵AB∥CD，PE⊥AB，
∴PF⊥CD，
∵CP平分∠ACD，PF⊥CD，PH⊥AC，
∴PF＝PH，
∴PH＝PE＝PF＝ EF＝5，即点P到AC的距离为5，
故答案为：5．
【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到PF=PH，根据点到直线的距离公式求出答案即可。
12．（2022七下·祥符期末）如图，BO平分于点D，点E为射线BA上一动点，若，则OE的最小值为 .
【答案】5
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：当时，最小，
平分，，，
.
故答案为：5.
【分析】根据垂线段最短，可知当时，最小，由角平分线的性质可得.
13．（2023七下·金堂期末） 如图，以的顶点O为圆心，以任意长为半径作弧分别交，于M，N两点：分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线，若点Q在射线上且到边的距离恰好为，则点Q到边的距离为 ．
【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点Q在∠AOB的平分线OP上，且点Q到OA的距离为5cm，
∴ Q到边的距离=点Q到OA的距离=5cm；
故答案为：5.
【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等，据此解答即可.
14．（2019七下·南海期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，在直线MN上存在一点P，使P、B、C三点构成的△PBC的周长最小，则△PBC的周长最小值为 ．
【答案】18cm
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接PA．
∵△PBC的周长＝BC+PB+PC，BC＝8cm，
∴PB+PC的值最小时，△PBC的周长最小，
∵MN垂直平分线段AB，
∴PA＝PB，
∴PB+PC＝PA+PC≥AC＝10cm，
∴PB+PC的最小值为10cm，
∴△PBC的周长的最小值为18cm．
故答案为18cm
【分析】如图，连接PA．因为△PBC的周长＝BC+PB+PC，BC＝8cm，推出PB+PC的值最小时，△PBC的周长最小．由题意PA＝PB，推出PB+PC＝PA+PC≥AC＝10cm，由此即可解决问题．
15．（2023七下·招远期末）如图，中，，点是上一点，、的垂直平分线分别交、于点、，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵、的垂直平分线分别交、于点、，
∴EB=ED，FD=FC，
∴∠EDB=∠B，∠FDC=∠C，
∴∠EDB+∠FDC=∠B+∠C，
∵∠EDF=180°-（∠EDB+∠FDC），∠A=180°-（∠B+∠C），
∴∠EDF=∠A=58°，
故答案为：58°.
【分析】利用垂直平分线的性质可得EB=ED，FD=FC，再利用等边对等角的性质可得∠EDB=∠B，∠FDC=∠C，再结合∠EDF=180°-（∠EDB+∠FDC），∠A=180°-（∠B+∠C），可得∠EDF=∠A=58°.
16．（2023七下·青白江期末）如图，在△ABC中，，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于D，连接．若，则 ．
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段的计算
【解析】【解答】根据题意可得：DN垂直平分BC，
∴BD=CD，
∵AC=AD+CD=AD+BD=7，，
∴AD=AC-BD=7-4=3，
故答案为：3.
【分析】先利用垂直平分线的性质可得BD=CD，再利用线段的和差及等量代换求出AD的长即可.
三、作图题（共2题，共12分）
17．（2023七下·青岛期末）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，某小区绿化带内部有两个喷水臂、，现欲在内部建一个水泵，使得水泵到，的距离相等，且到两个喷水管、的距离也相等，请你在图中标出水泵的位置．
【答案】如图，作平分，作垂直平分线段交于点，
∵平分，点在射线上，
∴点到，的距离相等，
∵垂直平分线段，点在直线上，
∴点到、的距离相等，
∴到，的距离相等，且到点、的距离也相等，
则点即为所作．
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】由题意利用尺规作图分别作∠B的平分线，线段PQ的垂直平分线，两线交于一点即为点O.
18．（2023七下·凤城期末）如图，两条公路和相交于点，在的内部有工厂和，现要在内部修建一个货站，使货站到两条公路、的距离相等，且到两工厂、的距离相等，用尺规作出货站的位置．要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论
【答案】解：如图所示：点即为所求．
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据点P到∠AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在∠AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P.
四、解答题（共6题，共54分）
19．（2023七下·长沙期末）如图，四边形中，，是的中点，平分．
（1）求证：平分；
（2）若，，求 的面积．
【答案】（1）证明：作垂足为，
平分，，，
，
，
，
，，
平分．
（2）解：由（1）可知：，
，，
．
【知识点】角平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）如图，过E点作EM⊥CD于M，DE平方∠ADC，则AE=ME（角平分线上的点到角两边的距离相等），E为AB中点BE=AE=ME，又因为BE⊥BC，ME⊥DC，即可得CE平分∠BCD。
（2）由（1）知EM=EB=AB=4，在由面积公式S△CDE=，代入求解即可。
20．（2023七下·峡江期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接．
（1）若的周长为8cm，的周长为20cm．
①求线段的长；
②求线段的长．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：①∵是边的垂直平分线，
∴，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∴；
②∵是边的垂直平分线，
∴，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∵，
∴
（2）解：，
，
，
，
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）①根据垂直平分线的性质可得，，再利用线段的和差及等量代换求解即可；
②根据垂直平分线的性质可得，，再利用线段的和差及等量代换求解即可；
（2）利用等边对等角的性质可得，再利用角的运算和等量代换求出即可.
21．（2023七下·锦江期末）如图，在中，，于点D，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵平分，，，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴四边形的面积．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质即可得到，进而即可求解；
（2）先根据角平分线的性质即可得到；
（3）先根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而得到是线段的垂直平分线，再根据四边形的面积公式即可求解。
22．（2022七下·绥德期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG，分别交AD、AC于点E、G，EF⊥AB，垂足为F．
（1）试说明：EF＝ED；
（2）若∠BAD＝25°，求∠C的度数．
【答案】（1）解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴ED⊥BC．
∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF＝ED．
（2）解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAC＝2∠BAD＝50°．
∵AB＝AC，
∴ ．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一定理——顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线互相重合，可知ED⊥BC，然后根据角平分线的性质—— 角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出EF=ED；
（2）根据等腰三角形的三线合一定义可知，AD是∠BAC的角平分线，进而求得∠BAC，然后利用三角形的内角和为180°以及等腰三角形的两底角相等求得∠C.
23．（2023七下·绥德期末）如图，在中，，点D为BC边上一点，E为AC延长线上的一点，，F为CB边上一点，连接EF，延长AD交EF于点K，，过点D作直线于G，延长GD交EF于点H，作平分交AD于点M，过点M作交EF于点N，交GD于点O，交BC于点Q，，连接GN．
（1）与相等吗？为什么？
（2）试说明．
【答案】（1）解：．
理由如下：因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以．
（2）解：因为，
所以，．
因为，
所以．
在和中，
因为，，，
所以，
所以．
因为，
所以，．
因为，
所以DG垂直平分MN，所以．
因为，GM平分，
所以，．
由（1）可知，，即．
在和中，因为，，，所以，所以．
因为，所以．
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠AKE=90°，利用余角的性质和对顶角相等，可证得∠DHK和∠BAK的关系.
（2）利用余角的性质可证得∠ADC=∠KDF，利用AAS证明△ACD≌△FCE，利用全等三角形的性质可得到AD=FE；再证明DG垂直平分MN，利用垂直平分线的性质可证得MG=NG，利用角平分线的定义可证得∠AGM=∠GMN=∠AGM=∠HGN=45°；利用AAS证明△AMG≌△HNG，利用全等三角形的性质可证得AM=HN，据此可证得结论.
24．（2023七下·槐荫期末）教材呈现：如图是北师大版七年级下册数学教材第123页的部分内容，
（1）请根据所给教材内容，写出结论： （填“”、“”或“”）
（2）结合教材上的图5—11，证明你的结论．（推理过程请注明理由）
（3）应用上述结论解决下列题目：
已知：如图，中，是的垂直平分线，于点D，且D为的中点．
①求证：；（推理过程请注明理由）
②若，求的度数．
【答案】（1）=
（2）证明：如图5-11，
点是线段垂直平分线上的一点，（已知）
，（垂直平分线定义），
（垂直定义），
在和中，
，
，
；（全等三角形的对应边相等）．
（3）解：①证明：是的垂直平分线，（已知），
，（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
，D为的中点，
是的垂直平分线，
（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
（等量代换）；
②，，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到，，进而得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（3）①先根据垂直平分线的性质得到，进而结合题意根据垂直平分线的判定与性质得到，再等量代换即可求解；
②先根据等腰三角形的性质得到，再结合题意运用三角形内角和定理即可求解。
1 / 12024年北师大版数学七（下）重难点培优训练10 角平分线与线段垂直平分线
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023七下·嘉定期末）如图，用直尺和圆规作出的角平分线，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022七下·新城期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若平分，则图中与全等的三角形有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2019七下·中牟期末）如图， ， ，若 ， ，则点D到 的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．（2023七下·深圳期末）如图，射线是的角平分线，是射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·阜新期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，首先以顶点B为圆心，任意长度为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心，大于为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝4，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．2 B．8 C．4 D．无法确定
6．（2020七下·枣庄期中）如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）
A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm
7．（2023七下·泰山期末）如图，在中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于，两点，作直线，分别交线段，于点，．若，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·锦州期末）已知：如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023七下·开江期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，连接，分别与，交于点D和E；②以点A为圆心，任意长为半径作弧，交于点G，交于点H；③分别以点G和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；④作射线，分别交，于点F，Q．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022七下·宝鸡期末）如图，在 中， ，点D是BC边的中点，连接AD，点P在AD上，连接BP，CP，过点D作 ， ，垂足分别为E、F，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 是等腰三角形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2019七下·普宁期末）如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点P，过P作PE⊥AB于E，交CD于F，EF＝10，则点P到AC的距离为 ．
12．（2022七下·祥符期末）如图，BO平分于点D，点E为射线BA上一动点，若，则OE的最小值为 .
13．（2023七下·金堂期末） 如图，以的顶点O为圆心，以任意长为半径作弧分别交，于M，N两点：分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线，若点Q在射线上且到边的距离恰好为，则点Q到边的距离为 ．
14．（2019七下·南海期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，在直线MN上存在一点P，使P、B、C三点构成的△PBC的周长最小，则△PBC的周长最小值为 ．
15．（2023七下·招远期末）如图，中，，点是上一点，、的垂直平分线分别交、于点、，则的度数为 ．
16．（2023七下·青白江期末）如图，在△ABC中，，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于D，连接．若，则 ．
三、作图题（共2题，共12分）
17．（2023七下·青岛期末）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，某小区绿化带内部有两个喷水臂、，现欲在内部建一个水泵，使得水泵到，的距离相等，且到两个喷水管、的距离也相等，请你在图中标出水泵的位置．
18．（2023七下·凤城期末）如图，两条公路和相交于点，在的内部有工厂和，现要在内部修建一个货站，使货站到两条公路、的距离相等，且到两工厂、的距离相等，用尺规作出货站的位置．要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论
四、解答题（共6题，共54分）
19．（2023七下·长沙期末）如图，四边形中，，是的中点，平分．
（1）求证：平分；
（2）若，，求 的面积．
20．（2023七下·峡江期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接．
（1）若的周长为8cm，的周长为20cm．
①求线段的长；
②求线段的长．
（2）若，求的度数．
21．（2023七下·锦江期末）如图，在中，，于点D，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求四边形的面积．
22．（2022七下·绥德期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG，分别交AD、AC于点E、G，EF⊥AB，垂足为F．
（1）试说明：EF＝ED；
（2）若∠BAD＝25°，求∠C的度数．
23．（2023七下·绥德期末）如图，在中，，点D为BC边上一点，E为AC延长线上的一点，，F为CB边上一点，连接EF，延长AD交EF于点K，，过点D作直线于G，延长GD交EF于点H，作平分交AD于点M，过点M作交EF于点N，交GD于点O，交BC于点Q，，连接GN．
（1）与相等吗？为什么？
（2）试说明．
24．（2023七下·槐荫期末）教材呈现：如图是北师大版七年级下册数学教材第123页的部分内容，
（1）请根据所给教材内容，写出结论： （填“”、“”或“”）
（2）结合教材上的图5—11，证明你的结论．（推理过程请注明理由）
（3）应用上述结论解决下列题目：
已知：如图，中，是的垂直平分线，于点D，且D为的中点．
①求证：；（推理过程请注明理由）
②若，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图过程知：OC=OD，CE=DE，又OE=OE，所以△OCE≌△ODE（SSS）。
故答案为：A.
【分析】根据作图过程知道，满足了两个三角形的三边对应相等，即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE是BC的垂直平分线，∠A=90°，
∴∠BED=∠A=90°，
∴AD=ED，
在Rt△ABD与Rt△EBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，BD=CD，
在△EBD与△ECD中，
，
∴△ECD≌△EBD（SSS），
∴Rt△ABD≌Rt△ECD，
故与△ABD全等的三角形有2个．
故答案为：C.
【分析】由垂直平分线的性质得∠BED=90°，则∠BED=∠A=90°，由角平分线的性质得AD=ED，证Rt△ABD≌Rt△EBD，由垂直平分线的性质得BE=CE，BD=CD，证ECD≌△EBD，则△ABD≌△ECD，据此解答.
3．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作 ，垂足为E，则线段DE的长就是点D到AB距离，
∵
∴
∵ ，
∴CD=DE
又∵CD=BC-BD=10-6=4
∴DE=4
即点D到AB距离是4.
故答案为：A
【分析】过D作 ，根据角平分线性质定理可得 ，再根据 ，可求出CD的值，易得DE的大小，即点 到 的距离.
4．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解： 如图，作DM⊥OB于点M，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DM⊥OB，
∴DM=DP=4，
∴S△ODQ=×OQ×DM=×3×4=6．
故答案为：6 .
【分析】作DM⊥OB于点M，根据角平分线的性质得DM=DP=4，最后利用三角形面积公式计算得出答案
5．【答案】C
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过G作GH⊥AB于点H，如下图：
由尺规作图可知：BG为∠ABC的角平分线，
∵P为边AB上一动点，
∴GP的最小值为GH，
∵
∴
故答案为：C.
【分析】过G作GH⊥AB于点H，根据角平分线定理和垂线段最短即可解决本题.
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC中边AB的垂直平分线，
∴AD=BD，AB=2AE=2×3=6（cm），
∵△ADC的周长为9cm，
即AD+AC+CD=BD+CD+AC=BC+AC=9cm，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=6+9=15（cm）．
∴△ABC的周长为15cm
故答案选C．
【分析】由DE是△ABC中边AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得BD=AD，AB=2AE，又由△ADC的周长为9cm，即可得AC+BC=9cm，继而求得△ABC的周长．
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图过程知，MN是AC的垂直平分线，∴AD=DC，AC=2AE=2×2=4，∵△ABD的周长为=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC∴AB+BC=△ABC的周长-AC=15-4=11，∴△ABD的周长为：11.
故答案为：A。
【分析】根据垂直平分线的性质得AD=DC，所以就可得出△ABD的周长就是AB+BC，即△ABC的周长-AC，由AE的长度2，得出AC的长度4，就可得出△ABD的周长。
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ AB的垂直平分线交BC于点N，AC的垂直平分线交BC于点E，
∴BD=AD，AE=CE，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠EAC，
∵∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-104°=76°，∠BAD+∠DAE+∠EAC=104°，
∴∠DAE=104°-76°=28°.
故答案为：D.
【分析】利用垂直平分线的性质可证得BD=AD，AE=CE，利用等边对等角可证得∠B=∠BAD，∠C=∠EAC，利用三角形的内角和定理可求出∠B+∠C，即可求出∠DAE的度数.
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】 步骤① 作的是BC的垂直平分线， ②③④ 作的是∠BAC的加平分线
∵ DE垂直平分BC
∴ ∠QEF=90°
∵ ∠B=40°，∠C=60°
∴ ∠BAC=80°
∵ AQ平分∠BAC
∴ ∠QAC=40°
∵ ∠EFQ=∠AFC
∴ ∠QEF+∠EQF=∠C+∠QAC
∴ ∠EQF=10°
故答案为A
【分析】本题考查线段的垂直平分线和角平分线的作图步骤和性质及三角形内角和定理，是基础知识的考查，利用线段垂直平分线及角平分线的性质求解即可。
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ①∵点D是BC边的中点， 即 ，正确 ；
② ∵AB=AC，BD=CD，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，∴ （HL），正确；
③无法确定DE和PE是否相等，错误；
④ 由②得PB=PC，则 是等腰三角形，正确.
综上所述，正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的三线合一定理得出AD是BC的垂直平分线，利用HL证明，然后再逐项分析判断，即可作答.
11．【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PH⊥AC于H，
∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，PH⊥AC，
∴PE＝PH，
∵AB∥CD，PE⊥AB，
∴PF⊥CD，
∵CP平分∠ACD，PF⊥CD，PH⊥AC，
∴PF＝PH，
∴PH＝PE＝PF＝ EF＝5，即点P到AC的距离为5，
故答案为：5．
【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到PF=PH，根据点到直线的距离公式求出答案即可。
12．【答案】5
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：当时，最小，
平分，，，
.
故答案为：5.
【分析】根据垂线段最短，可知当时，最小，由角平分线的性质可得.
13．【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点Q在∠AOB的平分线OP上，且点Q到OA的距离为5cm，
∴ Q到边的距离=点Q到OA的距离=5cm；
故答案为：5.
【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等，据此解答即可.
14．【答案】18cm
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接PA．
∵△PBC的周长＝BC+PB+PC，BC＝8cm，
∴PB+PC的值最小时，△PBC的周长最小，
∵MN垂直平分线段AB，
∴PA＝PB，
∴PB+PC＝PA+PC≥AC＝10cm，
∴PB+PC的最小值为10cm，
∴△PBC的周长的最小值为18cm．
故答案为18cm
【分析】如图，连接PA．因为△PBC的周长＝BC+PB+PC，BC＝8cm，推出PB+PC的值最小时，△PBC的周长最小．由题意PA＝PB，推出PB+PC＝PA+PC≥AC＝10cm，由此即可解决问题．
15．【答案】
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵、的垂直平分线分别交、于点、，
∴EB=ED，FD=FC，
∴∠EDB=∠B，∠FDC=∠C，
∴∠EDB+∠FDC=∠B+∠C，
∵∠EDF=180°-（∠EDB+∠FDC），∠A=180°-（∠B+∠C），
∴∠EDF=∠A=58°，
故答案为：58°.
【分析】利用垂直平分线的性质可得EB=ED，FD=FC，再利用等边对等角的性质可得∠EDB=∠B，∠FDC=∠C，再结合∠EDF=180°-（∠EDB+∠FDC），∠A=180°-（∠B+∠C），可得∠EDF=∠A=58°.
16．【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段的计算
【解析】【解答】根据题意可得：DN垂直平分BC，
∴BD=CD，
∵AC=AD+CD=AD+BD=7，，
∴AD=AC-BD=7-4=3，
故答案为：3.
【分析】先利用垂直平分线的性质可得BD=CD，再利用线段的和差及等量代换求出AD的长即可.
17．【答案】如图，作平分，作垂直平分线段交于点，
∵平分，点在射线上，
∴点到，的距离相等，
∵垂直平分线段，点在直线上，
∴点到、的距离相等，
∴到，的距离相等，且到点、的距离也相等，
则点即为所作．
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】由题意利用尺规作图分别作∠B的平分线，线段PQ的垂直平分线，两线交于一点即为点O.
18．【答案】解：如图所示：点即为所求．
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据点P到∠AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在∠AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P.
19．【答案】（1）证明：作垂足为，
平分，，，
，
，
，
，，
平分．
（2）解：由（1）可知：，
，，
．
【知识点】角平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）如图，过E点作EM⊥CD于M，DE平方∠ADC，则AE=ME（角平分线上的点到角两边的距离相等），E为AB中点BE=AE=ME，又因为BE⊥BC，ME⊥DC，即可得CE平分∠BCD。
（2）由（1）知EM=EB=AB=4，在由面积公式S△CDE=，代入求解即可。
20．【答案】（1）解：①∵是边的垂直平分线，
∴，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∴；
②∵是边的垂直平分线，
∴，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∵，
∴
（2）解：，
，
，
，
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）①根据垂直平分线的性质可得，，再利用线段的和差及等量代换求解即可；
②根据垂直平分线的性质可得，，再利用线段的和差及等量代换求解即可；
（2）利用等边对等角的性质可得，再利用角的运算和等量代换求出即可.
21．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵平分，，，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴四边形的面积．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质即可得到，进而即可求解；
（2）先根据角平分线的性质即可得到；
（3）先根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而得到是线段的垂直平分线，再根据四边形的面积公式即可求解。
22．【答案】（1）解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴ED⊥BC．
∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF＝ED．
（2）解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAC＝2∠BAD＝50°．
∵AB＝AC，
∴ ．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一定理——顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线互相重合，可知ED⊥BC，然后根据角平分线的性质—— 角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出EF=ED；
（2）根据等腰三角形的三线合一定义可知，AD是∠BAC的角平分线，进而求得∠BAC，然后利用三角形的内角和为180°以及等腰三角形的两底角相等求得∠C.
23．【答案】（1）解：．
理由如下：因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以．
（2）解：因为，
所以，．
因为，
所以．
在和中，
因为，，，
所以，
所以．
因为，
所以，．
因为，
所以DG垂直平分MN，所以．
因为，GM平分，
所以，．
由（1）可知，，即．
在和中，因为，，，所以，所以．
因为，所以．
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠AKE=90°，利用余角的性质和对顶角相等，可证得∠DHK和∠BAK的关系.
（2）利用余角的性质可证得∠ADC=∠KDF，利用AAS证明△ACD≌△FCE，利用全等三角形的性质可得到AD=FE；再证明DG垂直平分MN，利用垂直平分线的性质可证得MG=NG，利用角平分线的定义可证得∠AGM=∠GMN=∠AGM=∠HGN=45°；利用AAS证明△AMG≌△HNG，利用全等三角形的性质可证得AM=HN，据此可证得结论.
24．【答案】（1）=
（2）证明：如图5-11，
点是线段垂直平分线上的一点，（已知）
，（垂直平分线定义），
（垂直定义），
在和中，
，
，
；（全等三角形的对应边相等）．
（3）解：①证明：是的垂直平分线，（已知），
，（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
，D为的中点，
是的垂直平分线，
（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
（等量代换）；
②，，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到，，进而得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（3）①先根据垂直平分线的性质得到，进而结合题意根据垂直平分线的判定与性质得到，再等量代换即可求解；
②先根据等腰三角形的性质得到，再结合题意运用三角形内角和定理即可求解。
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