2023~2024 学年第二学期福建省部分优质高中高一年级第二次阶段性检测
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B D D D B D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
注意：全部选对的得6分，第9、11题选对其中一个选项得2分，第10题选对其中一个选项得3分。有错选的得0分。
题号 9 10 11
答案 ABC CD BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．7 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分，第一小题6分，第二小题7分）
解：（1）由题意得，
因为为纯虚数，
所以解得
（2）复数
它在复平面上对应的点在第三象限，所以，
解得或,
所以实数的取值范围为．
16．（本题满分15分，第一小题5分，第二小题5分，第三小题5分）
解：（1）因为，，与的夹角为，
所以，
所以.
（2）因为
，
，
，
设与的夹角为，
则，
即与夹角的余弦值为；
（3）因为与不共线，若，则，
所以，解得，
又，所以，
即，即，解得，
所以.
17．（本题满分15分，第一小题7分，第二小题8分）
解：（1）∵，∴为直角三角形，
∵平面，且平面，平面，平面，
∴，，，∴和为直角三角形，
∵，平面，平面，
∴平面，
又∵平面，∴，
∴为直角三角形，
∴三棱锥为鳖曘.
（2）①连接，∵点分别为的中点，∴，
且平面，平面，
所以直线平面，
②平行，
证明：平面，平面，平面 平面=，
所以.
18．（本题满分17分，第一小题5分，第二小题5分，第三小题7分）
解：（1）由频率分布直方图可知，解得，
∴身高在及以上的学生人数（人）．
（2）的人数占比为％，
的人数占比为％，
所以该校100名生学身高的75％分位数落在，
设该校100名生学身高的75％分位数为，
则％，解得，
故该校100名生学身高的75％分位数为．
（3）由题得①；②
又
同理，
∴
.
19．（本题满分17分，第一小题5分，第二小题12分）
解：（1）斜三棱柱中，为的中点，为的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面， 所以平面；
（2）因为AC=BC，为的中点，所以CD⊥AB，
因为平面⊥平面，交线为AB，CD平面ABC，
所以CD⊥平面，故⊥平面，所以,
又与互相垂直，,面
故面,得.即为直角三角形，
在中，为中点，，所以为的三等分点，
设，由余弦定理可得：
解之：，
所以 故
∵⊥平面， 在中，.
所以与所成的角的正切值为
（3）过作于，过作于，连
为直截面，小球半径为的内切圆半径
因为，所以，故AC⊥BC，则
设所以，由解得，
；
由最小角定理
由面,易知，
内切圆半径为：，则。准考证号： 姓名：
（在此卷上答题无效）
2023~2024学年第二学期福建省部分优质高中高一年级第二次阶段性检测
数 学 试 卷
（考试时间：120分钟；总分：150分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2. 下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向
3. 已知、、是三个不同的平面，、、是三条不同的直线，则（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，且，则
4. 已知向量，满足，，且，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5. 有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（ ）
A．11 B．13 C．16 D．17
如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图形中边上的高为（ ）
A． B． C． D．
7. 圣 索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度约为（ ）
A． B． C． D．
“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有（ ）
A．该半正多面体的体积为 B．该半正多面体过，，三点的截面面积为
C．该半正多面体外接球的表面积为 D．该半正多面体的表面积为
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
如果平面向量，，那么下列结论中错误的是（ ）
A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量的模为
10. 某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效问卷4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A．a＝0.028
B．在4000份有效问卷中，短视频观众年龄在10~20岁的有1320人
C．估计短视频观众的平均年龄为32岁
D．估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁
11. 如图，正三棱柱的上底面上放置一个圆柱，得到一个组合体，其中圆柱的底面圆内切于，切点，分别在棱，上，为圆柱的母线.已知圆柱的高为，侧面积为，棱柱的高为，则（ ）
A． 平面
B．
C．组合体的表面积为
D．若三棱柱的外接球面与线段交于点，则与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．设，，为虚数单位，若是关于的二次方程一个虚根，则 ．
13．已知的内角所对的边分别是，点是的中点.若，且
，则 .
14．一个正方体形状的容器，是两个侧面的面对角线，且，该容器如图放置，点A恰在水平面上，使得矩形恰与水平面垂直．已知点B到平面的距离为，点C到平面的距离为，点D到平面的距离为．容器中装有水，若水面到平面的距离为，则所装的水的体积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知复数．
(1)若复数为纯虚数，求的值；
(2)若在复平面上对应的点在第三象限，求的取值范围．
16．（15分）已知，，与的夹角为.
(1)求；
(2)求与夹角的余弦值；
(3)若，，，，求的值.
17．（15分）我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．
(1)证明：三棱锥为鳖臑；
(2)若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为．
①证明：直线平面；
②判断与的位置关系，并证明你的结论．
18．（17分） 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示：
（1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数；
（2）估计该校100名生学身高的75％分位数．
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
①；
②．
19．（17分）如图，斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面⊥平面．
(1)求证：直线平面；
(2)设直线与直线的交点为点，若三角形是等边三角形且边长为2，侧棱，且异面直线与互相垂直，求异面直线与所成角的正切值；
(3)若，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱的高．
2023~2024 学年第二学期福建省部分优质高中高一年级第二次阶段性检测
草 稿 纸
答案第1页，共2页
