6.3.2 平面向量的正交分解及加、减运算的坐标表示 学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

6．3.2　平面向量的正交分解及加、减运算的坐标表示
1. 掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
2. 会用坐标表示平面向量的加、减运算．
活动一 理解平面向量的正交分解及坐标表示
1. 正交分解的定义：
思考1
我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示．那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？
问题：如图：
(1) i，j为互相垂直的单位向量，请用i，j表示图中的向量，，，这三个向量是否相等？如何用坐标表示一个向量？
(2) 写出各个向量的起点和终点的坐标；
(3) 探究各个向量的起点坐标、终点坐标，与向量坐标之间的关系．
例1　如图，已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，求向量的坐标．
从原点引出的向量的坐标(x，y)就是点M的坐标．　　
如图，取与x轴，y轴相同方向的两个单位向量i，j作为基底，分别用i，j表示，，，并求出它们的坐标．
活动二　平面向量加、减运算的坐标表示　
2. 平面向量的坐标运算．
根据平面向量坐标表示的几何意义及向量的运算性质思考下列问题：
思考2
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，求a＋b，a－b.
两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
3. 平面向量的坐标运算的应用．
例2　在平面直角坐标系中，已知点A(－1，3)，B(1，－3)，C(4，1)，D(3，4)，求向量，，，的坐标．
思考3
例2中的四边形OCDA是平行四边形吗？为什么？
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
已知a＝(3，4)，b＝(－1，4)，求a＋b，a－b的坐标．
已知a＝(10，－4)，b＝(3，1)，c＝(－2，3)，试用b，c表示a.
1. 下列可作为正交分解的基底的是(　　)
A. 等边三角形ABC中的和
B. 锐角三角形ABC中的和
C. 以角A为直角的直角三角形ABC中的和
D. 钝角三角形ABC中的和
2. (2023全国高一专题练习)在四边形ABCD中，A(－2，0)，B(－1，3)，C(3，4)，D(2，3)，E，F分别为AB，CD的中点，则等于(　　)
A. (4，2) B. (－4，－2) C. (8，4) D. (－8，－4)
3. (多选)已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对平面内的任一向量a，下列结论中错误的是(　　)
A. 存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)
B. 若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2
C. 若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O
D. 若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)
4. 已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，则顶点D的坐标为________.
5. (2023全国高一专题练习)如图，已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求和的坐标．
【答案解析】
6．3.2　平面向量的正交分解及
加、减运算的坐标表示
【活动方案】
1. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量作正交分解．
思考1：如图，在平面直角坐标系中，设与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x，y)①.其中，x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标，①叫作向量a的坐标表示．
问题：(1) ＝＝＝4i＋2j.
存在有序数对x，y使a＝xi＋yj，把有序数对(x，y)称为向量a的坐标．
(2) ：A(－5，－4)，B(－1，－2)；
：O(0，0)，C(4，2)；
：D(2，4)，E(6，6).
(3) 向量坐标＝终点坐标－起点坐标．
例1　设点A(x，y)，所以x＝OA·cos 60°＝2，
y＝OA·sin 60°＝6，所以点A(2，6)，
所以＝(2－0，6－0)＝(2，6).
跟踪训练　＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－＝－4i＋2j.　
它们的坐标表示为＝(6，2)，＝(2，4)，＝(－4，2).
思考2：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2).
例2　＝(－1，3)，＝(1，－3)，＝(1，－3)，＝(－1，3).
思考3：是，因为与为相等向量且不重合，所以OA∥CD，OA＝CD，所以四边形OCDA是平行四边形．
跟踪训练1　a＋b＝(2，8)，a－b＝(4，0).
跟踪训练2　设a＝mb＋nc，则a＝(3m－2n，m＋3n)，即解得所以a＝2b－2c.
【检测反馈】
1. C　解析：A中，与的夹角为60°；B中，与的夹角为锐角；D中，与的夹角为锐角或钝角，故A，B，D都不符合题意；C中，与的夹角为90°，故C符合题意．
2. A　解析：因为A(－2，0)，B(－1，3)，C(3，4)，D(2，3)，E，F分别为AB，CD的中点，所以E，F，所以＝－＝(4，2).
3. BCD　解析：由平面向量基本定理，可知A中结论正确；若a＝(1，0)≠(1，3)，1＝1，0≠3，故B错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故D错误．故选BCD.
4. (2，2)　解析：设点D(x，y).在平行四边形ABCD中，＝，即(3－x，4－y)＝(1，2)，所以点D的坐标为(2，2).
5. 由题意，得B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．
设B(x1，y1)，D(x2，y2).由三角函数的定义，
得x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，
所以B.
x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，
所以D.
因为A(0，0)，
所以＝，＝，
所以＝＋＝，＝－＝.