6.3.4 平面向量数量积的坐标表示 学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

6．3.4　平面向量数量积的坐标表示
1. 掌握平面向量数量积的坐标表示．
2. 掌握向量垂直的坐标表示．
活动一 掌握平面向量数量积的坐标表示
1. 两个非零平面向量a与b垂直的等价条件：
2. 设x轴上单位向量为i，y轴上单位向量为j，则i·i＝________，j·j＝________，i·j＝j·i＝________．　
3. 若两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).i，j分别是x轴，y轴上的单位向量．
(1) 将a，b用向量i和j表示；
(2) 根据向量数量积的定义及上面的结论计算a·b；
(3) 由(1)(2)得出用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b.
4. 平面向量数量积的坐标表示．
(1) 平面向量数量积的坐标表示：
根据上述探究，如果两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么平面两向量数量积的坐标表示为：
特别地，设a＝(x，y)，则a·a的几何意义是什么？你能得到什么结论？(|a|2＝？，即|a|＝？)
(2) 平面内两点间的距离公式：
①已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，求；
②能否用(1)的结论求||
③||的几何意义是什么？
④根据①②③得出A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离公式．
(3) 两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)：
①设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角是θ，根据向量数量积的定义，如何用向量a和b的坐标来表示它们夹角的余弦？
②特别地，若a⊥b，则向量a和b的坐标满足什么条件？
③反之，向量a和b的坐标满足上述条件，则a⊥b成立吗？
由此得出：a⊥b a·b＝0 __________.
活动二 掌握平面向量数量积的坐标表示的应用
例1　若点A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC是什么形状？证明你的猜想．
因为两个平面向量垂直的充要条件是a·b＝0，又两个向量的数量积的坐标运算为a·b＝x1x2＋y1y2，所以在平面直角坐标系中，要得到垂直关系，只要说明x1x2＋y1y2＝0，其中(x1，y1)，(x2，y2)分别表示两个向量的坐标．
在△ABC中，＝(2，3)，＝(1，k)，且△ABC是直角三角形，求k的值．
例2　已知a＝(3，－1)，b＝(1，2)，求满足x·a＝9与x·b＝4的向量x.
已知a＝(4，3)，则与a垂直的单位向量的坐标是____________________．
例3　已知平面向量a＝(－，)，b＝(－，－1).
(1) 求证：a⊥b；
(2) 若存在不同时为零的实数k，t，使得x＝a＋(t2－2)b，y＝－ka＋t2b，且x⊥y，试把k表示为t的函数．
利用两个平面向量垂直的充要条件x1x2＋y1y2＝0，列出相应的关系，从而解决一些相关问题．
在平面直角坐标系xOy中，已知向量a＝(，－1)，b＝(cos 60°，sin 60°).
(1) 求证：|a|＝2|b|，且a⊥b；
(2) 设向量x＝a＋(t＋4)b，y＝a＋tb，且x⊥y，求实数t的值．
1. 若向量a＝(1，x)，b＝(1－x，2)，且a⊥(a－b)，则x的值为(　　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. 0或1
2. (2023黔东一中模拟)已知向量a＝(1，0)，b＝(－，)，记向量a与b的夹角为θ，则cos 2θ等于(　　)
A. B. － C. D. －
3. (多选)已知点A(2，4)，B(4，1)，C(9，5)，D(7，8)，则下列结论中正确的是(　　)
A. ⊥
B. 四边形ABCD为平行四边形
C. 与 夹角θ的余弦值为
D. |＋|＝
4. 已知点A(7，5)，B(2，3)，C(6，－7)，那么△ABC的形状为____________．
5. (2023天津滨海新区高一期中)已知向量a＝(－1，3)，b＝(1，－2).
(1) 求|a＋2b|；
(2) 若(a－b)∥(a＋kb)，求k的值；
(3) 若a－b与a＋kb的夹角为锐角，求k的取值范围．
【答案解析】
6．3.4　平面向量数量积的坐标表示
【活动方案】
1. a·b＝0
2. 1　1　0
3. (1) a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.
(2) a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2.
(3) a·b＝x1x2＋y1y2.
4. (1) a·b＝x1x2＋y1y2
a·a的几何意义是向量a在向量a上的投影向量与向量a的数量积．
|a|2＝x2＋y2，即|a|＝．
(2) ①＝(x2－x1，y2－y1)
②||＝
③表示A，B两点间的距离．
④AB＝
(3) ①cos θ＝＝
②x1x2＋y1y2＝0
③成立
x1x2＋y1y2＝0
例1　在平面直角坐标系中画出点A，B，C(画图略)发现△ABC是直角三角形，证明如下：
由题意，得＝(1，1)，＝(－3，3)，
所以·＝0，即⊥，
所以△ABC是直角三角形．
跟踪训练　由题意，得＝－＝(－1，k－3).
①当∠BAC＝90°，
即·＝2＋3k＝0时，k＝－；
②当∠ABC＝90°，
即·＝－2＋3k－9＝0时，k＝；
③当∠ACB＝90°，
即·＝－1＋k2－3k＝0时，k＝.
综上，k的值为－或或或.
例2　设x＝(m，n)，
则解得
所以x＝.
跟踪训练　或　解析：设与a垂直的单位向量为(x，y)，则解得或所以所求的单位向量为或(－，).
例3　(1) 因为a·b＝·(－，－1)＝－＝0，所以a⊥b.
(2) |a|2＝＋＝1，|b|2＝3＋1＝4，
x·y＝[a＋(t2－2)b]·(－ka＋t2b)＝0，
即－k＋4t2(t2－2)＋(t2－kt2＋2k)a·b＝0，
所以k＝4t4－8t2.
跟踪训练　(1) 由题意，得b＝，|a|＝2，则|b|＝1，
所以|a|＝2|b|.
因为a·b＝－＝0，所以a⊥b.
(2) 因为x⊥y，所以x·y＝0.
由(1)，得x·y＝[a＋(t＋4)b]·(a＋tb)＝a2＋t(t＋4)b2＝t2＋4t＋4＝(t＋2)2＝0，
解得t＝－2.
【检测反馈】
1. D　解析：a－b＝(1，x)－(1－x，2)＝(x，x－2).由a⊥(a－b)，得x＋x2－2x＝0，即x2－x＝0，解得x＝0或x＝1.
2. D　解析：因为a＝(1，0)，b＝，所以|a|＝1，|b|＝＝1，a·b＝－， 所以cos θ＝＝－，则cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－.
3．BD　解析：由题意，得＝(2，－3)，＝(7，1)，＝(2，－3)，＝(3，7).对于A，·＝14－3＝11≠0，故A错误；对于B，由＝(2，－3)，＝(2，－3)，得＝，所以AB与DC平行且相等，故B正确； 对于C，cos θ＝＝＝，故C错误；对于D，|＋|＝＝，故D正确．故选BD.
4. 直角三角形　解析：由题意，得＝(－5，－2)，＝(－1，－12)，＝(4，－10)，所以·＝－20＋20＝0，即AB⊥BC.又||≠||，故△ABC是直角三角形．
5. (1) 由题意，得a＋2b＝(1，－1)，
所以|a＋2b|＝.
(2) 由题意，得a－b＝(－2，5)，a＋kb＝(k－1，3－2k)，
因为(a－b)∥(a＋kb)，
所以－2(3－2k)－5(k－1)＝0，解得k＝－1.
(3) 因为a－b与a＋kb的夹角为锐角，
所以(a－b)·(a＋kb)>0且〈a－b，a＋kb〉≠0，
即－2(k－1)＋5(3－2k)>0，解得k<.
由(2)可知当k＝－1时，a－b＝a＋kb，此时〈a－b，a＋kb〉＝0，
所以k的取值范围为(－∞，－1)∪(－1，).