6.4.1 平面几何中的向量方法 学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

6．4　平面向量的应用
6.4.1　平面几何中的向量方法
会用向量方法解决简单的平面几何问题．
活动 向量在平面几何中的应用
例1　如图，DE是△ABC的中位线，用向量方法证明：DE∥BC，DE＝BC.
在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°.
(1) 求边BC的长；
(2) 求边BC的中线AD的长．
平面几何的问题可以转化为向量问题，解决向量问题又有两种方法，一是利用向量的几何方法解决，二是建系解决．
例2　在边长为2的等边三角形ABC中，D为边AB的中点，若P为线段CD上的动点，求(＋)·的最小值．
向量中的最值问题可以用代数方法解决，主要是列出函数表达式，也可以用几何方法，主要是画出适合条件的图形．
在四边形ABCD中，若＝，|＋|＝|－|，试判断四边形的形状．
例3　如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3) 把运算结果“翻译”成几何关系．
如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明).
1. 已知点G是△ABC的重心，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若∠BAC＝120°，·＝－2，则||的最小值是(　　)
A. B. C. D.
2. (2023聊城一中高一期中)已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则·的取值范围是(　　)
A. [2，4] B. [2，3]
C. D.
3. (多选)在△ABC中，＝c，＝a，＝b，则下列命题中为真命题的是(　　)
A. 若a·b<0且b·c<0，则△ABC为锐角三角形
B. 若a·b>0，则△ABC为钝角三角形
C. 若a·b＝c·b，则△ABC为等边三角形
D. 若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则△ABC为直角三角形
4. 在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则·(＋)的最小值为________．
5. (2023济南莱芜一中阶段练习)在△ABC中，CA＝2，AB＝3，∠BAC＝，D为BC上靠近点C的三等分点．
(1) 求·的值；
(2) 若点P满足＝λ，求·的最小值，并求此时的λ.
【答案解析】
6．4　平面向量的应用
6.4.1　平面几何中的向量方法
【活动方案】
例1　如图，因为DE是△ABC的中位线，
所以＝，＝，
所以＝－＝－＝(－).
又＝－，
所以＝，所以DE∥BC，DE＝BC.
跟踪训练　(1) 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点B(3，0)，C(1，)，
所以＝(－2，)，
所以||＝＝.
(2) 由(1)得点D，则＝，
所以||＝＝.
例2　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(，3)，D(，0)，
所以＝(0，3).
设＝λ＝(0，3λ)，λ∈[0，1]，
则点P(，3－3λ)，＝(0，3λ－3)，
所以(＋)·＝2·＝18λ2－18λ.
令y＝18λ2－18λ，λ∈[0，1]，
所以ymin＝－，
故(＋)·的最小值是－.
跟踪训练　由＝，得四边形ABCD为平行四边形．
将|＋|＝|－|两边同时平方，得·＝0，
所以AB⊥AD，
所以四边形ABCD为矩形．
例3　第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：
如图，取{，}为基底，设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a－b.
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：
||2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，
||2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
上面两式相加，得||2＋||2＝2(a2＋b2).
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2).
跟踪训练　设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b－a，
所以·＝·＝b2－a2＋a·b.
又⊥，且||＝||，
所以a2＝b2，a·b＝0，
所以·＝0，所以⊥，即AF⊥DE.
【检测反馈】
1. C　解析：设BC的中点为D.由三角形重心的性质，得＝＝(＋).因为∠BAC＝120°，·＝－2，所以·＝||||·cos 120°＝－2，即||||＝4.设||＝x，||＝y，则xy＝4，||＝|＋|＝×＝≥＝，当且仅当x＝y，即||＝||＝2，即△ABC是等腰三角形时等号成立．综上可得||的最小值是.
2. B　解析：由题意，得＝＋，＝＋，因为，互为相反向量，所以·＝(＋)(＋)＝|2＋·(＋)＋·＝||2－1.因为正六边形ABCDEF的边长为2，O为正六边形的中心，所以当点P与正六边形的顶点重合时，||有最大值2，当点P在正六边形边上的中点处时，||有最小值，此时||＝＝，所以·＝||2－1∈[2，3].
3. BD　解析：对于A，a·b＝·＝－||·||cos C<0，则cos C>0，则角C为锐角．同理，由b·c<0可知角A为锐角，但角B不一定是锐角，故A错误；对于B，a·b＝·＝－||·||cos C>0，则cos C<0，则角C为钝角，故B正确；对于C，由a·b＝c·b，可得(a－c)·b＝0，即(－)·＝(＋)·＝0，即(＋)·(－)＝||2－||2＝0，故||＝||，故△ABC为等腰三角形，故C错误；对于D，由(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，得a2＝(b－c)2，即2＝(＋)2，即(－)2＝(＋)2，化简，得·＝0，故A＝，即△ABC为直角三角形，故D正确．故选BD.
4. －2　解析：因为M为BC的中点，所以＋＝2，则·(＋)＝2·＝2||·||cos 180°＝－2||||.设OA＝x(0≤x≤2)，则OM＝2－x.令y＝x(2－x)(0≤x≤2)，则ymax＝1，所以·(＋)的最小值为－2.
5. (1) 由题意，得＝＝(－)，
所以＝＋＝＋－＝＋，
所以·＝·(－)＝－||2＋||2－·＝－×9＋×4－×3×2×cos ＝.
(2) 因为＝λ，所以＝λ，
因为＝＋＝＋－＝＋(λ－1)，
所以·＝[＋(λ－1)]·λ＝λ·＋λ(λ－1)||2＝λ||||cos ＋λ(λ－1)||2＝－3λ＋4λ(λ－1)＝4λ2－7λ＝4－，
所以当λ＝时，·取得最小值－.