6.4.2 向量在物理中的应用举例 学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

6．4.2　向量在物理中的应用举例
通过用向量方法解决某些简单的力学问题的过程，提高解决实际问题的能力．
活动 掌握向量在物理中的应用
物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是具有大小和方向的，因而它们都是向量．向量在物理学中最基本的应用就是力、速度、加速度、位移等的合成与分解，在物理中动量是向量的数乘，力所做的功是向量的数量积．
例1　在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？
思考
当θ为何值时，|F1|最小，最小值是多少？|F1|能等于|G|吗？为什么？
用向量法解决物理问题的一般步骤：
(1) 把物理问题中的相关量用向量表示；
(2) 转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；
(3) 将结果还原为物理问题，解释物理现象．
如图，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在点A，B处，同质量的细绳OC下端系着一个称盘，且使得OB⊥OC，试分析三根绳子受力的大小，判断哪根绳子的受力最大？
例2　如图，一条河两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝2 km/h，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到0.1 min)
在静水中划船的速度是40 m/min，水流的速度是20 m/min，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向哪里？
1. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图，一艘船从长江南岸的点A出发，以 5 km/h 的速度沿AD方向行驶，到达对岸点C处，且AC与江岸AB垂直，同时江水的速度为向东3 km/h，则船实际航行的速度为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 2 km/h B. km/h
C. 4 km/h D. 8 km/h
2. 一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5 N，则两个力的合力的大小为(　　)
A. 10 N B. 0 N C. 5 N D. N
3. (多选)如图，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是(　　)
A. 绳子的拉力不断增大
B. 绳子的拉力不断变小
C. 船的浮力不断变小
D. 船的浮力保持不变
4. (2023全国高一专题练习)已知e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，现有动点P从点P0(－1，2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为每秒|e1＋e2|，另一动点Q从点Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为每秒|3e1＋2e2|，设点P，Q在t＝0 s时分别在点P0，Q0处，则当⊥时，t＝________s.
5. 长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度d＝1 km.一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小为|v2|＝4 km/h.设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点A′在点A的正北方向．
(1) 当θ＝120°时，试判断游船航行到达北岸的位置是在点A′处的左侧还是右侧，并说明理由；
(2) 当cos θ为多少时，游船能到达点A′处？需要航行多长时间？
(3) 当θ＝120°时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？
【答案解析】
6．4.2　向量在物理中的应用举例
【活动方案】
例1　先来看共提旅行包的情况．如图，设作用在旅行包上的两个拉力分别为F1，F2，为方便起见，我们不妨设|F1|＝|F2|.另设F1，F2的夹角为θ，旅行包所受的重力为G.
由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道|F1| ＝.
这里，|G|为定值．分析上面的式子，我们发现，当θ由0逐渐变大到π时，由0逐渐变大到，cos 的值由大逐渐变小，此时|F1|由小逐渐变大；反之，当θ由π逐渐变小到0时，由逐渐变小到0，cos 的值由小逐渐变大，此时|F1|由大逐渐变小，这就是说，F1，F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．
同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．
思考：要使|F1|最小，只需cos 最大，此时cos ＝1，可得θ＝0.于是|F1|的最小值为.若要使|F1|＝|G|，只需cos ＝，此时＝，即 θ＝.
跟踪训练　设OA，OB，OC三根绳子所受的力分别为a，b，c，则a＋b＋c＝0.
因为a，b的合力为c′＝a＋b，
所以|c|＝|c′|.
如图，在 OB′C′A′中，
因为⊥，＝，
所以||>||，||>||，
即|a|>|b|，|a|>|c|，
故细绳OA的受力最大．
例2　设点B是河对岸一点，且AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方向行驶时，船的航程最短．
如图，设v＝v1＋v2，
则|v|＝＝(km/h).
此时，船的航行时间t＝＝×60≈3.1(min)，
所以当航程最短时，这艘船行驶完全程需要 3.1 min.
跟踪训练　设表示水流的速度，表示船在静水中的速度，表示船实际垂直过河的速度．
因为＋＝，
所以四边形OACB是平行四边形．
在Rt△OBC中，||＝40，||＝||＝20，
所以∠BOC＝30°，
所以要船垂直到达对岸，其航向应与水流方向的夹角为120°.
【检测反馈】
1. C　解析：如图，为船速，为水速，为实际航行的速度．又⊥，||＝5，||＝||＝3，所以||＝＝4.
2. C　解析：根据向量加法的平行四边形法则，得合力的大小为×5＝5(N).
3. AC 　解析：设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ，则|F|cos θ＝|f|，所以|F|＝.因为θ增大，cos θ减小，所以|F|增大．因为|F|sin θ增大，|F|sin θ加上浮力等于船的重力，所以船的浮力减小．故选AC.
4. 2　解析：由题意，得e1＋e2＝(1，1)，则|e1＋e2|＝，与其方向相同的单位向量为，3e1＋2e2＝(3，2)，则|3e1＋2e2|＝，与其方向相同的单位向量为，如图，则||＝t，||＝t，故＝||·(，)＝(t，t)，＝||(，)＝(3t，2t).又P0(－1，2)，Q0(－2，－1)，所以P(t－1，t＋2)，Q(3t－2，2t－1)，＝(－1，－3)，所以＝(2t－1，t－3).因为⊥，所以·＝0，即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2.故当⊥时，t＝2 s.
5. (1) 由题意，得v1在v2反方向上的分速度的大小为|v1|cos 60°＝5(km/h)>|v2|＝4 km/h，
所以游船航行到达北岸的位置是在点A′处的左侧．
(2)要使游船能到达点A′处，则v1在v2反方向上的分速度的大小为|v1|cos (π－θ)＝|v2|＝4 km/h，
所以cos (π－θ)＝，即cos θ＝－，
又0°<θ<180°，所以sin θ＝，
则垂直方向上的速度的大小为sin θ＝2(km/h)，
所以航行时间t＝＝(h).
(3) 由(1)知，垂直方向航行时间为＝(h)，
所以水平方向航行距离为(|v1|cos 60°－|v2|)×＝(km)，
所以游船航行到达北岸的实际航程为＝(km).