6.4.3 余弦定理(1)学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

6．4.3　余弦定理(1)
1. 借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系．
2. 掌握余弦定理及其简单的应用．
活动一 探索余弦定理
思考1
在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c
结论：余弦定理：
思考2
余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系．应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？
思考3
勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系．你能说说这两个定理之间的关系吗？
活动二 掌握余弦定理的简单应用　　
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫作三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形．
例1　在△ABC中，根据下列条件解三角形．
(1) 已知b＝3，c＝1，A＝60°，求a;
(2) 已知a＝2，b＝2，c＝2，求A.
如果三角形中已知两边及夹角，或已知三边，求其他边或角时，常常使用余弦定理解决．
(1) 在△ABC中，b2＋c2＝a2＋bc，求A；
(2) 在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
例2　在△ABC中，A＝120°，BC＝，D是AC的中点．若AB＋AC＝2，求BD的长．
在认清余弦定理的特征，求边和角时，要放在恰当的三角形中解决．
在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足b2＝a2＋c2－ac.
(1) 求角B的大小；
(2) 若a＋c＝4，求b的最小值．
1. 在△ABC中，若a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)
A. 　　 B. C. 　 D.
2. 在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A的大小为(　　)
A. 60° B. 45° C. 120°　 D. 30°
3. (多选)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足B＝，a＋c＝b，则的值为(　　)
A. 2 B. 3 C. D.
4. 已知O为△ABC的外心，且＝＋，则cos ∠BOC＝________．
5. (2023湛江一中开学考试)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos A＝.
(1) 若b＝，c＝2，求a的值；
(2) 若＝2－，求角B，C的大小．
【答案解析】
6．4.3　余弦定理(1)
【活动方案】
思考1：因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数量积来探究．
如图，设 ＝a， ＝b， ＝c，则c＝a－b，
所以|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cos C，
所以c2＝a2＋b2－2ab cos C.
同理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
b2＝c2＋a2－2ca cos B.
结论：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2＝b2＋c2－2bc cos A，
b2＝c2＋a2－2ca cos B，
c2＝a2＋b2－2ab cos C.
思考2：由余弦定理，可以得到如下推论：
cos A＝，cos B＝，cos C＝.　
利用推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角．从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式．
思考3：如果△ABC中有一个角是直角，例如，C＝90°，这时cos C＝0.由余弦定理可得c2＝a2＋b2，这就是勾股定理．由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例．
例1　(1) 在△ABC中，根据余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bc cos A＝9＋1－6×＝7，
所以a＝.
(2) 在△ABC中，根据余弦定理，得
cos A＝＝＝－，
因为0°跟踪训练　(1) 由b2＋c2＝a2＋bc，
得b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝.
因为0°所以A＝60°.
(2) 由A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，得B＝.
又a＋c＝8，ac＝15，
所以a2＋c2＝(a＋c)2－2ac＝64－30＝34.
根据余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2ac cos B＝34－30×＝19，
所以b＝.
例2　在△ABC中，由余弦定理，得
3＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 120°，
则3＝(AB＋AC)2－AB·AC，
所以AB·AC＝1.①
又AB＋AC＝2，②
所以联立①②，解得AB＝AC＝1，
所以在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A＝1＋－2×1××＝，
即BD＝.
跟踪训练　(1) 因为b2＝a2＋c2－ac，
所以ac＝a2＋c2－b2，
则cos B＝＝＝.
因为0(2) 因为a＋c＝4，所以c＝4－a，则0所以b2＝a2＋c2－ac＝a2＋(4－a)2－a(4－a)＝3a2－12a＋16＝3(a－2)2＋4.
当a＝2时，b2有最小值为4，
所以b的最小值为2.
【检测反馈】
1. B　解析：因为c2. C　解析：由题意，得b2＋c2－a2＝－bc，故由余弦定理，得cos A＝＝＝－，又0°3. AC　解析：因为B＝，a＋c＝b，所以(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝3b2①.由余弦定理，得a2＋c2－2ac cos ＝b2②，联立①②，可得2a2－5ac＋2c2＝0，即2－5＋2＝0，解得＝2或＝.故选AC.
4. －　解析：设圆O为△ABC的外接圆，半径为2，因为＝＋，所以－＝OB，＝，∥，CA＝OB＝1.设∠BOC＝θ，则∠OCA＝π－θ，在△OAC中，由余弦定理，得cos (π－θ)＝＝，所以cos θ＝－.
5. (1) 根据余弦定理，得cos A＝＝，b＝，c＝2，
则＝，解得a＝1.
(2) 因为cos A＝＝，＝2－，
所以＝＝，则＝0，即b＝c，
所以△ABC为等腰三角形．
因为cos A＝，A∈(0，π)，所以A＝，
故B＝C＝.