6.4.3 余弦定理(2)学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

6．4.3　余弦定理(2)
1. 熟练掌握余弦定理的应用．
2. 能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
活动一 巩固余弦定理
1. 回顾余弦定理(两种形式)：
2. 用余弦定理证明：
在△ABC中，当C是锐角时，a2＋b2＞c2；当C是钝角时，a2＋b2＜c2.
思考1
上述结论反过来也成立吗？
若C为最大角，且a2＋b2>c2，则△ABC是锐角三角形；
若a2＋b2若a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
活动二 利用余弦定理判断三角形的形状
例1　在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，试判断△ABC的形状．
判断三角形形状，可以用边之间的关系去判断(如满足勾股定理就是直角三角形)，也可以用角(包括三角函数值)去判断．
已知在钝角三角形ABC中，B＞90°，a＝2x－5，b＝x＋1，c＝4，求实数x的取值范围．
活动三　利用余弦定理证明三角形中的有关结论　
例2　如图，AM是△ABC中BC边上的中线，求证：AM＝.
思考2
本题还有其他解法吗？
　　
三角形中边之间的关系，主要依靠余弦定理来连接．
平面四边形ABCD如图所示，其中△ABD为锐角三角形，AB＝4，BC＝1，CD＝3，C＝2A，cos A＝，求AD的长．
活动四 利用余弦定理解决一些实际问题
　 例3　A，B两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C，测得CA＝182m，CB＝126m，∠ACB＝60°，求A，B两地之间的距离(精确到1m).
对于实际问题，先构造三角形，然后利用余弦定理，解决边角问题，最后回到实际中去．
在长江某渡口处，江水以5km/h的速度向东流．一渡船在江南岸的A码头出发，预定要在0.1h后到达江北岸B码头．设为正北方向，已知B码头在A码头的北偏东15°，并与A码头相距1.2km.该渡船应按什么方向航行？速度是多少？(角度精确到0.1°，速度精确到0.1km/h)
1. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则·的值为(　　)
A. 79　 B. 69 C. 5　 D. －5
2. 已知锐角三角形的三边长分别为1，3，a，那么实数a的取值范围是(　　)
A. (8，10)　 B. (2，) C. (2，10)　 D. (，8)
3. (多选)(2023西安铁一中学高一期末)由下列条件解△ABC，其中只有一解的是(　　)
A. b＝20，A＝45°，C＝80° B. a＝30，c＝28，B＝60°
C. a＝14，c＝16，A＝45° D. a＝6，c＝10，A＝60°
4. (2023嘉定高一期中)已知一个三角形的三边长分别是4，5，7，则这个三角形是________三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”).
5. 如图，在平面四边形ABCD中，DA＝DC＝2，AB＞BC，∠ADC＝60°，∠ABC＝90°，AC交BD于点M.
(1) 若AD∥BC，求BD的长；
(2) 若BD＝，求∠CAB的大小．
【答案解析】
6．4.3　余弦定理(2)
【活动方案】
1. 形式一：
a2＝b2＋c2－2bc cos A
b2＝a2＋c2－2ac cos B
c2＝a2＋b2－2ab cos C
形式二：
cos A＝
cos B＝
cos C＝
2. 当C是锐角时，
cos C＝>0，则a2＋b2－c2>0，
即a2＋b2>c2.
当C是钝角时，
cos C＝<0，则a2＋b2－c2<0，
即a2＋b2思考1：成立
例1　在△ABC中，AB所以角B最大．
又cos B＝＝>0，
所以角B为锐角，
故△ABC为锐角三角形．
跟踪训练　在△ABC中，根据余弦定理，得
cos B＝
＝
＝<0，
所以解得综上所述，实数x的取值范围为.
例2　在△ABM中，
AB2＝AM2＋BM2－2AM·BM·cos ∠AMB.①
在△ACM中，
AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos ∠AMC
＝AM2＋BM2＋2AM·BM·cos ∠AMB.②
由①＋②，得AB2＋AC2＝2AM2＋2BM2，
即AB2＋AC2＝2AM2＋BC2，
所以AM＝.
思考2：作BD∥AC，交AM的延长线于点D，
所以∠ACB＝∠DBM，∠CAM＝∠BDM.
因为BM＝CM，所以△ACM≌△DBM，
所以AC＝DB，AM＝DM，
所以cos ∠BAC＝，
cos ∠ABD＝
＝.
因为∠BAC＋∠ABD＝180°，
所以cos ∠BAC＋cos ∠ABD＝0，
所以＋＝0，
所以4AM2＝2AB2＋2AC2－BC2，
所以AM＝.
跟踪训练　由题意，得cos C＝cos 2A＝2cos2A－1＝2×－1＝－.
在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cosC＝12＋32－2×1×3×＝12.
在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A，即12＝16＋AD2－AD，
解得AD＝2或AD＝.
若AD＝，则AD2＋BD290°，不合题意，舍去，
所以AD＝2.
例3　在△ABC中，根据余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB
＝1822＋1262－2×182×126×
＝26 068，
所以AB≈161 m.
故A，B两地之间的距离为161 m.
跟踪训练　取方向为水流方向，以AC为一边，AB为对角线作平行四边形ACBD，则船按方向航行，
其中AB＝1.2 km，AC＝5×0.1＝0.5(km).
在△ABC中，根据余弦定理，得
BC2＝1.22＋0.52－2×1.2×0.5×cos (90°－15°)≈1.38，所以BC≈1.17 km，
所以船的航行速度为1.17÷0.1＝11.7(km/h).
在△ABC中，根据余弦定理，得
cos ∠ABC＝＝≈0.911 3，
利用计算器，可得∠ABC≈24.3°，
所以∠DAN＝∠DAB－∠NAB≈9.3°.
故渡船应按北偏西9.3°的方向，并以11.7km/h的速度航行．
【检测反馈】
1. D　解析：由余弦定理，得cos ∠ABC＝＝＝，所以·＝||·||cos (180°－∠ABC)＝5×7×＝－5.
2. B　解析：因为三角形为锐角三角形，所以解得23. AB　解析：对于A，因为A＝45°，C＝80°，所以B＝55°，且b＝20，根据三角形全等(角角边)可知△ABC存在且唯一，故A正确；对于B，因为a＝30，c＝28，B＝60°，根据三角形全等(边角边)可知△ABC存在且唯一，故B正确；对于C，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即142＝b2＋162－32b×，整理，得b2－16b＋60＝0，解得b＝8－2>0或b＝8＋2>0，所以满足条件的三角形有两个，故C错误；对于D，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即62＝b2＋102－20b×，整理，得b2－10b＋64＝0，且Δ＝100－4×64＝－156<0，无解，所以此时三角形不存在，故D错误．故选AB.
4. 钝角　解析：设三边分别为a＝4，b＝5，c＝7，其所对应的角分别为A，B，C，根据大边对大角的结论知角C最大，则由余弦定理，得cos C＝＝＝－<0.又因为C∈(0，π)，所以C∈，所以三角形是钝角三角形．
5. (1) 因为DA＝DC＝2，∠ADC＝60°，
所以△DAC为等边三角形，
所以AC＝2，∠DAC＝60°.
因为AD∥BC，
所以∠BCA＝∠DAC＝60°，∠DAB＝90°，
所以在Rt△ABC中，AB＝.
在Rt△DAB中，BD2＝AD2＋AB2＝7，
所以BD＝.
(2) 设∠CAB＝θ，则AB＝2cos θ，∠DAB＝60°＋θ，
在△DAB中，由余弦定理，得DA2＋AB2－2DA·AB cos (60°＋θ)＝BD2＝7，
即4＋4cos2θ－2×2×2cosθcos (60°＋θ)＝7，
所以4cos2θ－8cosθ＝3，
所以4sin θcos θ＝3，解得sin 2θ＝.
由题意可知θ<90°－θ，得θ<45°，
所以2θ＝60°，得θ＝30°，即∠CAB＝30°.