江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月数学素养测试卷（无答案）

江西师大附中高一年级数学素养测试卷
2024．5
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，内角的对边分别为，已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，用斜二测画法得到的直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．设向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，用表示，则（ ）
A． B．
C． D．
6．江南三大名楼滕王阁，位于江西省南昌市，因唐代诗人王勃的诗作《滕王阁序》而流芳后世．如图，某同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处测得建筑物顶部，滕王阁顶部的仰角分别为和，在处测得阁顶部的仰角为，则滕王阁的高度约为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，为上一点，且满足，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在直角梯形中，分别为的中点，以为圆心，为半径的半圆分别交及其延长线于点，点在上运动（如图）．若，其中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．▲已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量是
10．在中，内角所对的边分别为，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，且，则为直角三角形
B．若，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
C．若平面内有一点满足，且，则为等边三角形
D．若，则为钝角三角形
11．在中，所对的边为，已知，且满足，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．它的外接圆半径为
三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知复数满足，则______．
13．▲已知是单位向量，向量满足，且，则______．
14．在中，点分别在边上，，若交于点，则______；当时，的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知向量，且．
（1）求的值；
（2）若向量与互相垂直，求的值．
16．（15分）已知向量．记函数．
（1）求函数的单调增区间；
（2）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．
17．（15分）记的内角所对的边分别为，已知
．
（1）求的值；
（2）若外接圆的半径为，且为锐角，求面积的最大值．
18．（17分）如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点．
（1）若，求的值；
（2）若，求的最小值．
19．（17分）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔．德费马（1601—1665）于1643年提出的平面几何最值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试根据以上知识解决下面问题：
（1）若，求的最小值；
（2）在中，角所对应的边分别为，点为的费马点．
①若，且，求
的值；
②若，求实数的最小值．