6.4.4 正弦定理(1)学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

6．4.4　正弦定理(1)
1. 掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形中边与角的计算．
2. 体会“由特殊到一般”的数学思想方法．
活动一 了解正弦定理的探求过程
探究：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式．如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？
问题1：如图，在Rt△ABC中，C＝90°，边a，b，c与角A，B的关系是什么？
问题2：在Rt△ABC中，＝＝，对于锐角三角形和钝角三角形，这个关系式是否仍然成立？如何证明？
结论：正弦定理：
思考1
你能用其他方法推导出正弦定理吗？
思考2
在正弦定理中，比值＝＝与△ABC的外接圆的直径之间存在怎样的关系？
正弦定理指出了三角形中三条边与对应角的正弦之间的关系，描述了三角形中边与角的一种数量关系．
活动二　掌握正弦定理的简单应用　
例1　在△ABC中，已知b＝16，A＝45°，a＝16，求角B，C及边c.
(1) 在例1的条件下，将“a＝16”改为“a＝16”，结论如何？
(2) 在例1的条件下，将“a＝16”改为“a＝8”，结论又如何？
解三角形有三种情况，两解，一解，无解．要考虑大角对大边，大边对大角，及正弦定理有a>b sin A>sin B，由此确定解的情况．
在△ABC中，已知B＝30°，b＝，c＝2，解这个三角形．
活动三　掌握正弦定理在实际问题中的应用
例2　在△ABC中，已知A＝75°，C＝60°，A，C之间的距离b为100m，求A，B之间的距离c.
如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
思考3
下列哪些条件可以直接使用正弦定理来解三角形？
(2)
(3) (4)
思考4
哪些类型的解三角形问题可以直接用正弦定理解决呢？
1. (2023宿迁高一阶段练习)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，则cos C等于(　　)
A. B. － C. D. －
2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A>sin B，则下列选项中正确的是(　　)
A. aC. a>b　 D. a，b的大小无法判定
3. (多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则角B的大小为(　　)
A. 30° B. 150° C. 60° D. 120°
4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝，A＝，则角C的大小为________．
5. (2023郑州中牟县第一高级中学高一阶段练习)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且(b2＋c2－a2)＝4S.
(1) 求角A的大小；
(2) 若a＝，求b＋2c的最大值．
【答案解析】
6．4.4　正弦定理(1)
【活动方案】
问题1：sin A＝，sin B＝.
问题2：成立，证明如下：
在锐角三角形ABC中，过点A作与垂直的单位向量j，则j与的夹角为－A，j与的夹角为－C.
因为＋＝，
所以j·(＋)＝j·，
即|j|||cos ＋|j|||cos ＝|j|||cos ，化简，得a sin C＝c sin A，
所以＝.
同理，过点C作与垂直的单位向量m，可得＝.　
综上可得＝＝.
当△ABC是钝角三角形时，同样可得＝＝.　
结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝.
思考1：如图，在△ABC中，作AD⊥BC于点D，则c sin B＝b sin C＝AD，
所以＝，
同理可得＝，
所以＝＝.
思考2：＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)
例1　在△ABC中 ，由正弦定理＝，
得sin B＝sin A＝×＝，
所以B＝60°或B＝120°.
①当B＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°.
由＝，
得c＝·a＝×16＝8(＋).
②当B＝120°时，C＝180°－120°－45°＝15°.
由＝，
得c＝·a＝×16＝8(－).
综上所述，B＝60°，C＝75°，c＝8(＋)或B＝120°，C＝15°，c＝8(－).
跟踪训练1　(1) 在△ABC中，由正弦定理＝，
得sin B＝sin A＝×＝.
因为a>b，所以sin A>sin B，即A>B，
所以B＝30°，C＝180°－45°－30°＝105°.
由＝，
得c＝·a＝×16＝8(＋3).
(2) 因为b sin A＝16×＝8>8，
所以不存在满足条件的三角形．
跟踪训练2　由正弦定理，得sin C＝＝＝.
因为c>b，B＝30°，
所以30°所以C＝45°或C＝135°.
①当C＝45°时，A＝105°.
此时a＝＝＝＝＋1.
②当C＝135°时，A＝15°.
此时a＝＝＝＝－1.
例2　在△ABC中，B＝180°－75°－60°＝45°，
由正弦定理，得＝，
得c＝·b＝×100＝50，
所以A，B之间的距离c为50 m.
跟踪训练　在△ABD中，设∠ABD＝α，
则＝，
所以sin α＝.
因为AB>AD，所以α<60°，
所以α为锐角，
所以cos α＝，A＝120°－α，
所以sin A＝sin (120°－α)＝.
因为＝，
所以BD＝16.
在△BCD中，由正弦定理，得
＝，
所以BC＝×sin 30°＝8.
思考3：(1)(3)
思考4：已知两边一角(非夹角)或已知两角一边．
【检测反馈】
1. A　解析：由正弦边角关系知a∶b∶c＝4∶5∶6，设a＝4x，b＝5x，c＝6x，所以cos C＝＝＝.
2. C　解析：因为＝，所以＝.因为在△ABC中，sin A>0，sin B>0，且sin A>sin B，所以＝>1，所以a>b.
3. CD　解析：由正弦定理＝，得sin B＝＝＝.又b>a，0°4. 　解析：由正弦定理，得＝，所以sin B＝，又a＞b，所以A＞B，所以B＝，所以C＝π－＝.
5. (1) 由题意，得(b2＋c2－a2)＝4S＝2bc sin A，
由余弦定理，得2bc cos A＝2bc sin A，
所以tan A＝，
又A∈(0，π)，所以A＝.
(2) 由正弦定理，得＝＝，即b＝2sin B，c＝2sin C，
由(1)知B＋C＝，
所以b＋2c＝2sin B＋4sin C＝2[sin B＋2sin (－B)]＝4sin B＋2cos B＝2sin (B＋φ)，
其中φ∈，sin φ＝，cos φ＝，故b＋2c≤2，
当且仅当B＋φ＝，即B＝－φ时取等号，
故b＋2c的最大值为2.