6.4.5 余弦定理、正弦定理应用举例(1)学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

6．4.5　余弦定理、正弦定理应用举例(1)
熟练运用余弦定理、正弦定理解决三角形中的综合问题．
活动一 巩固余弦定理和正弦定理
1. 复习余弦定理和正弦定理：
2. 常见结论：在△ABC中，
①A＋B＋C＝π；
②sin (A＋B)＝sin C，cos (A＋B)＝－cos C，cos ＝sin ，sin ＝cos ；
③S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B.
活动二　掌握解三角形中的边角问题及面积问题　
例1　已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝8，b＝7，B＝60°，求c及S△ABC.
正、余弦定理体现了三角形的边角关系，根据已知条件，选择适当的定理及定理的变形形式去解决问题．
(1) 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝5，c＝5，B＝30°，求C，A，a；
(2) 已知在四边形ABCD中，A＝120°，B＝D＝90°，BC＝5，CD＝8，求四边形ABCD的面积．
例2　已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a＝b＋c，sin2A＝sinB sin C，试判断△ABC的形状．
利用正、余弦定理将条件中的边角关系转换为边的关系或角的关系，从而判断三角形的形状．
(1) 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2b cos C，试判断△ABC的形状；
(2) 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a2＋b2)sin (A－B)＝(a2－b2)sin (A＋B)，试判断△ABC的形状．
活动三　掌握三角形中的综合问题　
例3　在△ABC中，已知cos ∠ABC＝，AB＝，边AC上的中线BD＝，求sin A的值．
灵活使用正、余弦定理去解决三角形中的边、角及面积问题．
已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB，△ABC外接圆的半径为.求：
(1) 角C的大小；
(2) △ABC面积的最大值．
1. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　)
A. － B. C. －　 D.
2. 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2－bc－2c2＝0，a＝，cos A＝，则△ABC的面积为(　　)
A. 　　 B. C. 2　 D. 3
3. (多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝2，A＝.若△ABC有唯一解，则a的值可以是(　　)
A. 1 B. C. D.
4. 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝________．
5. (2023吕梁高一联考)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝2，c sin B＝a－b cos C.
(1) 求角B的大小；
(2) 若△ABC的周长为6，求△ABC的面积．
【答案解析】
6．4.5　余弦定理、正弦定理应用举例(1)
【活动方案】
1. 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C；
正弦定理：＝＝.
例1　在△ABC中，根据余弦定理，
得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
即49＝64＋c2－16c×，
整理，得c2－8c＋15＝0，
解得c＝3或c＝5.
①当c＝3时，
S△ABC＝ac sin B＝×8×3×＝6；
②当c＝5时，
S△ABC＝ac sin B＝×8×5×＝10.
跟踪训练　(1) 在△ABC中，根据正弦定理，
得sin C＝sin B＝×＝，
因为0°所以C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，A＝90°，a＝10；
当C＝120°时，A＝B＝30°，a＝b＝5.
(2) 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，则AC为⊙O的直径，∠BCD＝60°.
在△BCD中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos ∠BCD＝25＋64－2×5×8×＝49，
所以BD＝7.
在△BCD中，＝2R＝AC，
所以AC＝，
所以AD＝＝，AB＝＝，
则S△ACD＝AD·DC＝××8＝，
S△ABC＝AB·BC＝××5＝，
所以S四边形ABCD＝＋＝.
例2　在△ABC中，由sin2A＝sinB sin C，得a2＝bc.
又2a＝b＋c，
两边平方，得b2＋c2＋2bc＝4a2＝4bc，
即(b－c)2＝0，所以b＝c.
又2a＝b＋c＝2b，所以a＝b，
所以a＝b＝c，
所以△ABC为等边三角形．
跟踪训练　(1) 在△ABC中，由a＝2b cos C，
得sin A＝2sin B cos C，即sin (B＋C)＝2sin B cos C，
化简，得sin (B－C)＝0，
所以B＝C，
所以△ABC为等腰三角形．
(2) 在△ABC中，由(a2＋b2)sin (A－B)＝(a2－b2)sin (A＋B)，
得(a2＋b2)(sin A cos B－cos A sin B)＝(a2－b2)(sin Acos B＋cos A sin B)，
整理，得a2cos A sin B＝b2sin A cos B，
即＝＝，
所以sinA cos A＝sin B cos B，
所以sin 2A＝sin 2B，
所以A＝B或A＋B＝，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
例3　由题意，得＝(＋)，
所以||2＝(||2＋||2＋2·)，
即5＝(＋||2＋2××||×)，
整理，得3||2＋8||－28＝0，
解得||＝2.
在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝＋4－2××2×＝，
所以AC＝，
故＝，解得sin A＝.
跟踪训练　(1) 由题意，得2＝
(a－b)，
所以2＝(a－b)，
化简，得a2＋b2－c2＝ab，
所以cos C＝＝.
因为C∈(0，π)，
所以C＝.
(2) 因为＝＝2，
所以a＝2sin A，b＝2sin B，
则S△ABC＝ab sin C＝ab×
＝×2sin A×2sin B
＝2sin A sin B
＝2sin A·sin
＝2sin A
＝3sin A cos A＋sin 2A
＝sin 2A＋
＝＋
＝sin ＋，
所以当2A－＝，即A＝时，△ABC的面积有最大值，最大值为.
【检测反馈】
1. B　解析：设等腰三角形的底边长为a，顶角为θ，则腰长为2a，cos θ＝＝.
2. A　解析：因为b2－bc－2c2＝0，所以(b－2c)(b＋c)＝0，所以b＝2c.因为a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以c＝2，b＝4.因为cos A＝，所以sin A＝，所以S△ABC＝bc sin A＝×4×2×＝.
3. BD　解析：因为b＝2，A＝，△ABC有唯一解，所以a＝b sin A＝或a≥b＝2，即a∈{}∪[2，＋∞)，故选BD.
4. 　解析：因为b2＝ac，c＝2a，所以b2＝2a2，所以cos B＝＝＝.
5. (1) 由c sin B＝a－b cos C，
得sin C sin B＝sin A－sin B cos C，
即sin C sin B＝sin (B＋C)－sin B cos C，
所以sin C＝0.
因为sin C≠0，0所以sin B－cos B＝0，即tan B＝，
则B＝.
(2) 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos ＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，
因为△ABC的周长为6，b＝2，所以a＋c＝4，
则3ac＝(a＋c)2－b2＝42－22＝12，ac＝4，
所以S△ABC＝ac sin B＝ac＝×4＝，所以△ABC的面积为.