6.4.5 余弦定理、正弦定理应用举例(2)学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

6．4.5　余弦定理、正弦定理应用举例(2)
1. 掌握正、余弦定理在实际问题中的应用．
2. 综合运用正、余弦定理求解三角形和几何计算有关的实际问题．
活动一 距离问题
例1　隔河可看到A，B两目标，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求目标A，B之间的距离．
在三角形中，知道了一边及三个角的大小，一般用正弦定理求出其他的边长．若在三角形中，知道了两边及其夹角，则利用余弦定理求出第三边的长度．
如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，计划沿直线AC开通穿山隧道．为求出隧道DE的长度，在山顶P处测得三点的俯角分别为α，β，γ，测得AD＝m，EB＝n，BC＝p.用以上数据(或其中的部分数据)表示隧道DE的长度．
活动二　高度问题　
例2　为测量河对岸的塔高AB时，可选取与塔底B 在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝s，并在C处测得塔顶A的仰角为30°，求塔高AB.
解三角形在实际中的运用，需要根据题意找到对应的三角形中的关系，再利用正、余弦定理求解．
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在北偏西45°的方向上，仰角为30°，行驶4 km后到达B处，测得此山顶在北偏西30°方向上．
(1) 求此山的高CD；
(2) 设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为θ，求tan θ的值．
活动三　角度问题　
例3　位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船，那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是北偏东多少度(精确到1°)？需要航行的距离是多少海里(精确到1 n mile)
对于实际中的角度问题，要分清方向角、方位角、俯角、仰角等概念．
甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，测得乙船以a n mile/h的速度向正北方向行驶，甲船以a n mile/h的速度追击，问甲船如何航行才能最快地与乙船相遇？
活动四 综合应用　　
例4　如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上的任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，问：点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？
运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，首先要在理解题意的基础上，将实际问题数学化，然后利用有关定理、性质、公式解决这个数学问题．步骤如下：分析题意→画示意图→化成数学问题→运用有关知识解决(计算).
如图，有一块三角形的绿地ABC，其中AB的长为7 m，由C处看AB的张角为45°，在边AC上的D处看AB的张角为60°，且AD＝2DC，求这块绿地的面积．
1. 海上A，B两个小岛相距10 n mile，从岛A看岛C和岛B成60°的视角，从岛B看岛C和岛A成75°的视角，则B，C间的距离是(　　)
A. 10 n mile　 B. n mile C. 5 n mile　 D. 5 n mile
(第1题) (第2题) (第3题) (第4题)
2. 如图，位于A处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在A处南偏西30°，且相距20 n mile的C处有一艘救援船，以50 n mile/h的速度前去救援，则该船到B处所需的时间为(　　)
A. 24 min B. 36 min C. 48 min D. 60 min
3. (多选)如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定两点A，B，测出A，B间的距离为20 m，∠DAB＝75°，∠CAB＝30°，AB⊥BC，∠ABD＝60°，则下列结论中正确的是(　　)
A. BD＝10(3＋) m　　 B. DC＝10 m　
C. DC＝10 m　　 D. BC＝10 m
4. (2023榆树实验高级中学高一联考)开封铁塔是宋都开封具有代表性的文物，是文物价值最高、分量最重的宝物之一.1961年，它被国务院定为中国首批国家重点保护文物之一．如图，为测量开封铁塔的高度，选择C和一个楼房DE的楼顶E为测量观测点，已知A，C，D在水平地面上，开封铁塔AB和楼房DE都垂直于地面．已知DE＝15 m，∠ACD＝45°，∠ADC＝60°，在点C处测得点E的仰角为15°，在点E处测得点B的仰角为45°，则开封铁塔AB的高度为________m.
5. (2023西安高一期中)测量河对岸某一高层建筑物AB的高度时，可以选择与建筑物的最低点B在同一水平面内的两个观测点C和D，如图，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，求建筑物AB的高度．
【答案解析】
6．4.5　余弦定理、正弦定理应用举例(2)
【活动方案】
例1　在△BCD中，由题意，得∠CBD＝60°.
由正弦定理，得＝，
所以BC＝×sin 75°＝.
在△ACD中，∠CAD＝30°，
所以AC＝CD＝.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 75°
＝3＋－2×××＝5，
所以AB＝，
故目标A，B之间的距离为 km.
跟踪训练　在△PBC中，∠BPC＝β－γ，∠PBC＝π－β，∠PCB＝γ，
则由正弦定理，得＝，整理可得PC＝.
在△PAC中，∠PAC＝α，∠APC＝π－α－γ，
则由正弦定理，得＝，整理可得AC＝，
则DE＝AC－AD－EB－BC＝－m－n－p.
例2　在△BCD中，∠CBD＝180°－75°－60°＝45°，
由正弦定理，得＝，
所以BC＝＝＝s.
在Rt△ABC中，
AB＝BC·tan ∠ACB＝s·tan 30°＝s，
故塔高AB为s.
跟踪训练　(1) 设此山的高CD为h km，
则AC＝.　
在△ABC中，∠ABC＝120°，∠BCA＝180°－120°－45°＝15°，AB＝4.
根据正弦定理，得＝，
即＝，
解得h＝2(＋).
故此山的高CD为2(＋)km.
(2) 由题意可知，当点C到公路距离最小时，仰望山顶D的仰角达到最大，
所以过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接DE，
则∠DEC＝θ，CE＝AC·sin 45°，DC＝AC·tan 30°，
所以tan θ＝＝.
例3　根据题意，画出示意图，
由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝202＋72－2×20×7×＝589，
所以BC≈24 n mile.
由正弦定理，得＝，
所以sin C＝＝.
因为0°故乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46°＋30°＝76°，大约需要航行24 n mile.
跟踪训练　根据题意，画出示意图．
设两船在点C处相遇，甲船经过t h追上乙船.
因为甲船在点A处发现乙船在北偏东60°的点B处，所以∠B＝120°.
设甲船的航行方向为北偏东θ，
所以在△ABC中，＝，
所以sin (60°－θ)＝.
因为0°<θ<90°，
所以－30°<60°－θ<60°，所以θ＝30°，
所以甲船沿北偏东30°方向航行才能最快与乙船相遇．
例4　设∠AOB＝α.
在△AOB中，由余弦定理，得
AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos ∠AOB
＝22＋12－2×1×2×cos α＝5－4cos α，
则S四边形OACB＝S△AOB＋S△ABC＝OA·OB·sin α＋AB2＝×2×1×sin α＋(5－4cos α)＝sin α－cos α＋＝2sin (α－)＋.
因为0<α<π，所以当α－＝，即∠AOB＝α＝时，四边形OACB的面积最大．
跟踪训练　设DC＝x m.
因为∠C＝45°，∠ADB＝60°，
所以∠CBD＝15°.
在△BCD中，由正弦定理，
得BD＝·x＝·x＝(＋1)x.
在△ABD中，AB＝7，AD＝2x，∠BDA＝60°，
根据余弦定理，
得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos ∠ADB，
即49＝4x2＋(＋1)2x2－2·2x·(＋1)x·，
解得x＝，
所以S△ABC＝S△ABD＋S△BDC＝AD·BD·sin ∠ADB＋BD·DC·sin∠BDC
＝(m2)，
故这块绿地的面积为 m2.
【检测反馈】
1. D　解析：在△ABC中，C＝180°－(B＋A)＝45°，由正弦定理，可得＝，所以BC＝×10＝5(n mile).
2. A　解析：由题意可知∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos ∠BAC＝400＋1 600＋800＝2 800，所以BC＝20，则该船到B处所需的时间t＝×60＝24(min).
3. AC　解析：因为AB⊥BC，所以∠ABC＝90°.在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，∠ABC＝90°，AB＝20，所以AC＝＝＝40，BC＝40×＝20.在△ABD中，∠DAB＝75°，∠ABD＝60°，∠ADB＝45°，AB＝20.根据正弦定理，得＝，解得AD＝30.在△ACD中，由余弦定理，得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos ∠DAC＝(30)2＋402－2×30×40×cos 45°＝1 000，所以CD＝10.在△ABD中，由正弦定理，得＝，所以BD＝×30＝10＋30＝10(3＋).故选AC.
4. 30＋15 　解析：过点E作EF⊥AB，交AB于点F，易知△BFE为等腰直角三角形，所以BF＝EF＝AD.在Rt△ECD中，因为∠ECD＝15°，所以CD＝＝，在△ACD中，由正弦定理，得＝，即＝＝＝，所以AD＝＝15(＋1)，则AB＝BF＋AF＝AD＋ED＝15(＋1)＋15＝30＋15，故铁塔AB的高应为(30＋15)m.
5. 在△BCD中，∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，所以∠CBD＝135°，
由正弦定理，得＝，
所以BC＝＝15.
在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，
所以AB＝BC tan 60°＝15×＝15，
则建筑物AB的高度为15 m.