第六章 平面向量及其应用 复习(1) 学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

第六章 平面向量及其应用 复习(一)
1. 梳理本章知识点，形成知识体系．
2. 掌握向量在几何、物理学等方面的应用，提高解决实际问题的能力．
活动一 构建知识网络
活动二 理解概念，掌握基本方法
例1　给出下列说法：①若非零向量与共线，则A，B，C，D一定四点共线；②若|a|＝|b|，则a＝±b；③如果a·c＝b·c(c≠0)，那么a＝b；④(a·b)2＝a2·b2；⑤(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直(a，b，c均不为0).其中正确的是________．(填序号)
例2　已知向量e1，e2不共线．
(1) 若＝e1－e2，＝2e1－8e2，＝3e1＋3e2，求证：A，B，D三点共线；
(2) 若向量λ－与－λ共线，求实数λ的值．
例3　已知a＝(－3，1)，b＝(1，－2)，若(－2a＋b)⊥(a＋kb)，求实数k的值．
掌握向量，就是从它的定义出发，大小与方向体现向量的本质，解决向量问题无非就是从几何与代数(坐标)两方面去处理．
在例3的条件下，若(－2a＋b)∥(a＋kb)，求实数k的值．
在例3的条件下，若－2a＋b与a＋kb的夹角θ为60°，求实数k的值．
在例3的条件下，若－2a＋b与a＋kb的夹角为钝角，求实数k的取值范围．
活动三　提升探究能力　
例4　如图，在Rt△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以A为中点，问与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值．
在Rt△ABC中，AC＝6，斜边AB＝10，点M，N在其内切圆上运动，且MN是一条直径，点P在△ABC的三条边上运动，求·的最大值．
1. 已知向量＝(1，0)，＝(0，2)，＝t，则当||取最小值时，实数t的值为(　　)
A. B. C. D.
2. 已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为(　　)
A. 1 B. C. D.
3. (多选)已知在Rt△ABC中，斜边BC上有异于端点的E，F两点，直角边AB，AC(ABA. 2 B. C. 3 D. 9
4. 已知向量a＝(m，n)，b＝(1，－2)，若|a|＝2，a＝λb(λ<0)，则m－n＝________．
5. 若a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(3，－1).
(1) 若|c|＝2，且a∥c，求c的坐标；
(2) 若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
【答案解析】
第六章 平面向量及其应用 复习(一)
【活动方案】
例1　⑤　解析：若AB∥CD，则与共线，故①错误；若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，不一定有a＝±b，故②错误；若a·c＝b·c(c≠0)，则a·c－b·c＝0，即(a－b)·c＝0，故a＝b或(a－b)⊥c，故③错误；设a与b的夹角为θ，则(a·b)2＝(|a||b|·cos θ)2＝|a|2|b|2cos2θ，故④错误；[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·a·c－(c·a)·b·c＝0，故⑤正确．
例2　(1)因为＝＋＝5e1－5e2＝5，
所以与共线．
又与有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
(2) 设λ－＝μ(－λ)，
所以解得λ＝±1.
故实数λ的值为±1.
例3　由题意，得－2a＋b＝(7，－4)，a＋kb＝(－3＋k，1－2k).
因为(－2a＋b)⊥(a＋kb)，
所以－21＋7k－4＋8k＝0，解得k＝.
跟踪训练1　由题意，得7－14k＝12－4k，解得k＝－.
跟踪训练2　由题意，得cos θ＝＝＝，
解得k＝.
跟踪训练3　因为－2a＋b与a＋kb的夹角为钝角，且不为180°，
所以解得
所以实数k的取值范围为(－∞，－)∪(－，).
例4　以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系．
设AB＝c，AC＝b，则点A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)，
且PQ＝2a，BC＝a，A为PQ的中点．
设点P的坐标为(x，y)，则点Q(－x，－y)，
所以＝(x－c，y)，＝(－x，－y－b)，
＝(－c，b)，＝(－2x，－2y)，
所以·＝－x(x－c)＋y(－y－b)＝－(x2＋y2)＋cx－by.
因为cos θ＝＝，
所以cx－by＝a2cos θ，
所以·＝－a2＋a2cos θ＝a2(cos θ－1)，
故当cos θ＝1，即θ＝0时，·最大，最大值为0.
跟踪训练　由题意，得BC＝＝8，△ABC的内切圆的半径 r＝＝＝2.
设△ABC内切圆的圆心为O，由＋＝2，得(＋)2＝4||2，
即||2＋||2＋2·＝4||2.①
由－＝，得(－)2＝||2，
即||2＋||2－2·＝16，②
由①－②，得4·＝4||2－16，
即·＝||2－4.
当点P在点B时，||最大，
||＝||＝＝2，
所以·的最大值为||2－4＝40－4＝36.
【检测反馈】
1. C　解析：由＝t知点P在直线MN上，当OP⊥MN时，||最小，MN＝＝，所以NP＝＝＝，即NP＝NM，所以＝，t＝.
2. D　解析：因为向量c与a＋b共线，所以可设c＝t(a＋b)(t∈R)，所以a＋c＝(t＋1)a＋tb，所以(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)a·b＋t2b2.因为向量a，b为单位向量，且a·b＝－，所以(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1＝＋≥，所以|a＋c|≥，所以|a＋c|的最小值为.
3. BC　解析：因为边AB，AC(AB4. －6　解析：由题意，得m2＋n2＝20.由a＝λb(λ<0)，得解得所以m－n＝－6.
5. (1) 设c＝(x，y)，因为a∥c，a＝(3，－1)，
所以x＋3y＝0.
又|c|＝2，所以x2＋y2＝40，
解得或
所以c＝(6，－2)或c＝(－6，2).
(2) 因为|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，
所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，
又|a|＝，代入上式解得a·b＝－5，
所以|a|·|b|cos θ＝×cos θ＝－5，
所以cos θ＝－1，又θ∈[0，π]，所以θ＝π.